teoria, Apuntes de Análisis Matemático

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Oscar Blasco

AN ´ALISIS DE VARIAS

VARIABLES: TEOREMAS Y

CUESTIONES

4 ´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo VI: Funciones y conjuntos medibles 55 6.1 Funciones medibles......................... 55 6.2 Conjuntos medibles y medida de Lebesgue............ 56

Cap´ıtulo I

Espacio eucl´ıdeo

1.1 Norma y producto escalar

Definici´on 1.1.1 Sean x = (x 1 , ..., xn) e y = (y 1 , ..., yn) con xi, yi ∈ R, A ⊂ Rn^ definimos

〈x, y〉 =

∑^ n

i=

xiyi,

‖x‖ =

√ x^21 + ... + x^2 n,

Si x, y ∈ Rn^ son no nulos, se dicen ortogonales ( x ⊥ y) si 〈x, y〉 = 0. Se definen las bolas unidad abierta (respect. cerrada) y la esfera unidad del espacio como

B 1 = {x ∈ Rn^ : ‖x‖ < 1 }(respect. B¯ 1 = {x ∈ Rn^ : ‖x‖ ≤ 1 } ),

S 1 = {x ∈ Rn^ : ‖x‖ = 1}.

Se define el ´angulo Ang(x, y) = θ como el valor θ ∈ [0, 2 π) tal que

cos(θ) =

〈x, y〉 ‖x‖‖y‖

Ejercicio 1.1.1 Probar que si x, y ∈ Rn (1) ‖x‖ ≤ m´ax{‖x + y‖, ‖x − y‖}. (2) Si x ⊥ y entonces ‖z‖^2 + ‖z − x − y‖^2 = ‖z − x‖^2 + ‖z − y‖^2.

1.2. Distancia y topolog´ıa 7

Si A, B ⊂ Rn^ denotamos

d(x, A) = ´ınf{d(x, y) : y ∈ A},

d(A, B) = ´ınf{d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}. Dados x ∈ Rn^ and r > 0 se definen las bolas abiertas y cerradas de centro x y radio r como

Br(x) = {y ∈ Rn^ : d(x, y) < r}, B¯r(x) = {y ∈ Rn^ : d(x, y) ≤ r}.

Un conjunto A ⊂ Rn^ se dice abierto si para todo x ∈ A existe ε > 0 tal que Bε(x) ⊂ A. Un conjunto A ⊂ Rn^ se dice cerrado si Rn^ \ A es abierto. Un conjunto A ⊂ Rn^ se dice acotado si existe R > 0 tal que A ⊆ BR(0). Un conjunto A ⊂ Rn^ se dice convexo si para todo x, y ∈ A se tiene que [x, y] ⊂ A. Un conjunto A ⊂ Rn^ se dice conexo (por poligonales) si para todo x, y ∈ A se tiene que existen N ∈ N y xi ∈ A (i = 1, ..., N ) tales que x 1 = x, xN = y y adem´as [xi, xi+1] ⊂ A para i = 1, ..., N − 1. Un hiperplano de Rn^ es un conjunto

H = {y ∈ Rn^ : 〈y, x〉 = α}

para cierto elemento no nulo x ∈ Rn^ (que llamamos vector normal del hiper- plano) y cierto α ∈ R.

Ejercicio 1.2.1 Probar las siguientes afirmaciones: (1) Una bola abierta es un abierto de Rn. (2) Una bola cerrada es un cerrado de Rn. (3) Un hiperplano es un cerrado de Rn. (4) Un hiperplano es un convexo. (5) Si A, B son abiertos de Rn^ y definimos A+B = {x+y : x ∈ A, y ∈ B} entonces A + B es un abierto. ¿ Es cierto para cerrados? (6) Si A es un abierto de Rn^ y λ ∈ R{ 0 } y definimos λA = {λx : x ∈ A} entonces λA es un abierto. ¿ Es cierto para cerrados?

Ejercicio 1.2.2 Calcular la distancias d(x, y), d(x, A) y d(A, B) (1) x = ei e y = ej para i = j siendo ei = (0, ..., 1 , ...0). (2) x = ai e y = ej para i = j siendo ai =

∑i j=1 ej^.

8 Cap´ıtulo 1. Espacio eucl´ıdeo

(3) En R^4 donde x = (1, − 1 , 0 , 1) e y = (− 1 , 1 , 1 , 0). (4) () En R^2 donde x = (5, 3) y A = {(x, y) : (x − 1)^2 + (y − 2)^2 ≤ 1 }. (5) () En R^3 donde x = (0, 0 , 0) y A = {(x, y, z) : x

2 4 +^

y^2 9 +^

z^2 16 = 1}. (6) (*) En R^2 donde A = {(x, y) : x−y = 10} y B = {(x, y) : x^2 +y^2 ≤ 1 }.

Ejercicio 1.2.3 Si A ⊂ Rn^ definimos el di´ametro de A por la f´ormula

diam(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}.

Probar que (1) |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y) para x, y ∈ Rn (2) A es acotado s´ı y s´olo si diam(A) < ∞

Ejercicio 1.2.4 Sea d 1 (x, y) una distancia cualquiera en Rn. Probar (1) φ(t) = (^) 1+tt es creciente. (2) d 2 (x, y) = (^) 1+d^1 d( 1 x,y(x,y)) es tambi´en una distancia. (Ayuda: Usar (1)).

Ejercicio 1.2.5 (*) Sea A ⊂ Rn, denotamos co(A) la envoltura convexa de A, es decir

co(A) = {

∑^ m

j=

λj xj : N ∈ N, 0 ≤ λj ≤ 1 ,

∑^ N

j=

λj = 1, xj ∈ A}.

(1) Probar que A = {x, y} entonces co(A) = [x, y]. (2) Probar que co(A) es el menor convexo que contiene a A. (3) A es convexo s´ı y s´olo si co(A) = A. (4) Sea A = {(1, 1), (1, −1), (− 1 , 1), (− 1 , −1)}. Calcular co(A).

Ejercicio 1.2.6 (1) Probar que las bolas son conjuntos convexos. (2) Probar que los hiperplanos son conjuntos convexos. (3) Dar un ejemplo de un conjunto conexo por poligonales y no convexo. (4) Probar que un hiperplano no es acotado.

10 Cap´ıtulo 1. Espacio eucl´ıdeo

Teorema 1.3.2 (Teorema de encaje de Cantor). Sea Fk una familia de cerrados no vacıos verificando (i) F 1 ⊇ ... ⊇ Fk ⊇ Fk+1... (ii) l´ımk diam(Fk) → 0. Entonces ∩k∈NFk = {x}.

Teorema 1.3.3 (Teorema de Bolzano-Weierstrass) Todo conjunto infinito y acotado posee un punto de acumulaci´on.

Ejercicio 1.3.5 (*) (i) Probar que si suprimimos (ii) en el teorema de Can- tor por (ii’) F 1 acotado entonces ∩k∈NFk = ∅. (ii) ¿ Puede suponerse Fk una familia de abiertos no vacıos y obtener la misma conclusi´on?.

Definici´on 1.3.4 Sea K ⊂ Rn. A dice compacto si de todo cubrimiento de abiertos, es decir {Gi : i ∈ I}, Gi es abierto y K ⊂ ∪i∈I Gi, se puede extraer un subrecubrimiento finito, es decir existe {i 1 , ..., iN } ⊂ I tal que K ⊂ ∪Nj=1Gij.

Proposici´on 1.3.5 (i) Si K es compacto entonces toda sucesi´on de puntos de K posee una subsucesi´on convergente a un punto de K. (Ayuda: Usar Teorema de Bolzano-Weierstrass) (ii) Si K es compacto entonces K es cerrado y acotado.

Ejercicio 1.3.6 (i) Probar que si F es finito entonces F es compacto. (ii) Sea (xk)k∈N convergente a x. Sea A = {xk : k ∈ N}. ¿Es A com- pacto?. ¿Es A ∪ {x} compacto?.

Teorema 1.3.6 (Caracterizaci´on sucesional de la compacidad) Sea K ⊂ Rn. K es compacto si y s´olo si de toda sucesi´on de puntos de K se puede extraer una subsucesi´on convergente a un punto de K.

Teorema 1.3.7 (Teorema de Heine-Borel). Sea K ⊂ Rn. K es compacto si y s´olo si K es cerrado y acotado.

Ejercicio 1.3.7 Decir cuales de los siguientes conjuntos son compactos: (1) A 1 = {x ∈ Rn^ : 〈x, x 0 〉 = 0} para x 0 ∈ Rn. (2) A 2 = {(x, y) ∈ R^2 : x = cos(t), y = sen(t), t ∈ R}. (3) A 3 = {(x, y) ∈ R^2 : x = tcos(t), y = tsen(t), t ∈ R}. (4) A 4 = {(x, y) ∈ R^2 : (x − a)^2 < y − b} para a, b ∈ R. (5) A 5 = {(xn, yn) ∈ R^2 : xn = (−1)n, yn = sen(1/n), n ∈ N}.

Cap´ıtulo II

C´alculo diferencial

2.1 Continuidad y continuidad uniforme

Definici´on 2.1.1 Sean n, m ∈ N, D ⊂ Rn^ abierto, x 0 ∈ D y sea f : D → Rm^ una funci´on. Diremos que f es continua en x 0 si para todo ε > 0 existe δ > 0 (que depende de x 0 ) tal que ‖f (x) − f (x 0 )‖ < ε para todo x ∈ D tal que ‖x − x 0 ‖ < δ. Sea A ⊆ D. f se dice continua en A si es continua en todo punto de A. Diremos que f es uniformemente continua en A si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que ‖f (x) − f (y)‖ < ε para todo x, y ∈ A tal que ‖x − y‖ < δ.

Ejercicio 2.1.1 (i) Probar que f : Rn^ → R dada por f (x) = ‖x‖ es continua para todo x ∈ Rn. (ii) Probar que si x 0 = 0, x 0 ∈ Rn^ entonces f : Rn^ → R dada por f (x) = 〈x, x 0 〉 es continua en todo punto. (iii) Sea D = B(0, 1) \ {(0, ..., 0)} Probar que f : D → R dada por f (x) = (^) ‖^1 x‖ es continua en D. ¿Es uniformemente continua en D?.

Ejercicio 2.1.2 Sea D ⊂ Rn^ abierto, x 0 ∈ D y sea f : D → Rm^ donde f (x) = (f 1 (x), ..., fm(x)) A las funciones fi : D → R se les llama funciones coordenadas. Probar que f es continua en x 0 si y s´olo si fi son continuas en x 0 para i = 1, ..., m.

Proposici´on 2.1.2 (Continuidad por sucesiones) Sea D ⊂ Rn^ abierto, x 0 ∈ D y sea f : D → Rm^ una funci´on. f es continua en x 0 si y s´olo si para toda sucesi´on (xk)k∈N de puntos de D convergente a x 0 se tiene que (f (xk))k∈N converge a f (x 0 ).

2.2. Derivadas parciales, direccionales y diferenciabilidad. 13

Ejercicio 2.1.5 Sea f (x, y) = √xyx (^2) y 2.

Estudiar los limites en (0, 0) a trav´es de los siguientes conjuntos: S 1 = {(x, y) : x > 0 , y > 0 }, S 2 = {(x, y) : x = y} y S 3 = {(x, y) : xy < 0 }.

Ejercicio 2.1.6 Probar que si existe el limite a traves de S en un punto x 0 ∈ S′^ y se tiene que T ⊂ S y x 0 ∈ T ′^ entonces existe el limite a traves de T en un punto x 0 y coincide.

Ejercicio 2.1.7 Sean n, m, k ∈ N, D 1 abierto en Rn, D 2 abierto en Rm^ y sea f : D 1 → Rm^ continua en x 0 ∈ D 1 con y 0 = f (x 0 ). Suponer que f (D 1 ) ⊂ D 2 y g : D 2 → Rk^ es continua en y 0. Probar que h(x) = g(f (x)) es continua en x 0.

Ejercicio 2.1.8 Sea f : R^2 → R una funci´on continua en (0, 0). Si g : R → R es tal que l´ımx→ 0 g(0) = 0. Probar que si S = {(x, y) : y = g(x), x ∈ R} entonces l´ım(x,y)∈S,(x,y)→(0,0) f (x, y) = f (0, 0).

2.2 Derivadas parciales, direccionales y dife-

renciabilidad.

Definici´on 2.2.1 Sea D ⊂ Rn^ un abierto, x 0 ∈ D y f : D → Rm^ donde f = (f 1 , ..., fm). Escribimos la derivada parcial i-´esima para cada i = 1, ..., n

Dif (x 0 ) = l´ım t→ 0

f (x 0 + tei) − f (x 0 ) t

N´otese que el limite se toma con t ∈ R. Otra posible notaci´on es (^) ∂x∂fi (x 0 ). Observar que Dif (x 0 ) = (Dif 1 (x 0 ), ..., Difm(x 0 )) para i = 1, ..., n. Dados i ∈ { 1 , ..., n} y j ∈ { 1 , ..., m}, si definimos φ : (−ε, ε) → R la funci´on φ(t) = fj (x 0 + tei). Se tiene que φ′(0) = Difj (x 0 ). Sea u ∈ Rn^ con ‖u‖ = 1, escribimos la derivada direccional seg´un la direcci´on u en el punto x 0 ∈ D,

Duf (x 0 ) = l´ım t→ 0

f (x 0 + tu) − f (x 0 ) t

Observar que Duf (x 0 ) = (Duf 1 (x 0 ), ..., Dufm(x 0 )) y que Dif (x 0 ) coincide con Duf (x 0 ) para u = ei.

14 Cap´ıtulo 2. C´alculo Diferencial

Dados i ∈ { 1 , ..., n} y u ∈ Rn^ con ‖u‖ = 1, si φ : (−ε, ε) → R denota la funci´on φ(t) = fi(x 0 + tu). Se tiene que φ′(0) = Dufi(x 0 ). Si D ⊂ Rn, x 0 ∈ D y f : D → R definimos el gradiente de f en x 0 como el vector ∇f (x 0 ) = (D 1 f (x 0 ), ..., Dnf (x 0 )). Si D ⊂ Rn, x 0 ∈ D y f : D → Rm^ definimos la matriz jacobiana de f en x 0 como la matriz m × n de entradas aj,i = Difj (x 0 ),

J(f, x 0 ) =

   

D 1 (f 1 )(x 0 ) D 2 (f 1 )(x 0 ) ... Dn(f 1 )(x 0 ) D 1 (f 2 )(x 0 ) D 2 (f 2 )(x 0 ) ... Dn(f 2 )(x 0 ) ... ... ... ... D 1 (fm)(x 0 ) D 2 (fm)(x 0 ) ... Dn(fm)(x 0 )

   

N´otese que la fila i-´esima coincide con ∇fi(x 0 ) = (D 1 fi(x 0 ), ..., Dnfi(x 0 )).

Ejercicio 2.2.1 Sea f (x, y) = φ(x)ϕ(y) donde φ , ϕ : R → R son derivables en R con φ′(0) = 1 y ϕ′(0) = − 1. Calcular D 1 f (0, 0), D 2 f (0, 0) y Duf (0, 0) para u = ( √^12 , √^12 ).

Ejercicio 2.2.2 Sea f (x, y) = φ(xy) donde φ : R → R es derivable en R. Calcular D 1 f (0, 0), D 2 f (0, 0) y Duf (0, 0) para u = ( √^12 , − √^12 ).

Ejercicio 2.2.3 (1) Sea f : Rn^ → R dado por f (x) = 〈x, a〉 para a ∈ Rn^ no nulo. Calcular ∇f (x) para x ∈ Rn. (2) Sean f : Rn^ → R+^ dada por f (x) = φ(‖x‖^2 ) para φ : R → R derivable con φ(0) = 1. Calcular ∇f (0).

Definici´on 2.2.2 Sea {ei}ni=1 la base can´onica de Rn^ y {e′ j }mj=1 la base can´onica de Rm. Una aplicaci´on lineal T : Rn^ → Rm^ tiene asociada la matriz m × n (m filas y n columnas) A = A(T ) respecto de las bases anteriores ai,j = 〈T (ei), e′ j 〉. De este modo si y = T (x) se tiene yj =

∑n i=1 ai,j^ xi. En efecto ∑^ m

j=

yj e′ j = T (x)

= T (

∑^ n

i=

xiei) =

∑^ n

i=

xiT (ei)

∑^ n

i=

xi

∑m

j=

〈T (ei), e′ j 〉e′ j =

∑^ m

j=

∑^ n

i=

xi〈T (ei), e′ j 〉)e′ j

∑^ m

j=

∑^ n

i=

ai,j xi)e′ j

16 Cap´ıtulo 2. C´alculo Diferencial

Ejercicio 2.2.6 Sea T : Rn^ → Rm^ una aplicaci´on lineal. (i) Calcular DiT (x) para i = 1, ..., n y Duf (x) para ‖u‖ = 1. (ii) Calcular la matriz jacobiana en x.

Proposici´on 2.2.4 Sea f : D → Rm, D ⊂ Rn, x 0 ∈ D.

(i) Si f es diferenciable en x 0 entonces f es continua en x 0.

(ii) Si f es diferenciable en x 0 entonces existen Du(f )(x 0 ) para toda direcci´on u ∈ Rn^ con ‖u‖ = 1. Adem´as

Duf (x 0 ) = Df (x 0 )(u) =

∑^ n

i=

Dif (x 0 )ui.

En particular m = 1 se tiene Duf (x 0 ) = 〈∇f (x 0 ), u〉.

Ejercicio 2.2.7 Una funci´on se dice homogenea de grado 1 si

f (λ(x 1 , ..., xn)) = λf (x 1 , ..., xn)

para todo (x 1 , ..., xn) y λ ∈ R. Sea f es homogenea de grado 1. (i) Probar que existen las derivadas direccionales en x = 0 para toda direcci´on. (ii) () f es diferenciable en x = 0 si y solo si es lineal. (iii) () Dar un ejemplo de una funci´on homogenea de grado 1 no lineal.

Definici´on 2.2.5 Si D ⊂ Rn, x 0 ∈ D y f : D → R diferenciable en x 0 con ∇f (x 0 ) = 0. Se llama hiperplano tangente a f en x 0 a la soluciones de la ecuaci´on

y = f (x 0 ) + Df (x 0 )(x − x 0 ) = f (x 0 ) + 〈∇f (x 0 ), x − x 0 〉.

Ejercicio 2.2.8 (i) Dar las expresiones del hiperplano tangente de una funci´on f : R^2 → R en el punto x = (0, 0) en t´erminos de las derivadas parciales. (ii) Mismo problema para funciones f : R^3 → R en el punto (0, 0 , 0).

Ejercicio 2.2.9 (i) Hallar los puntos donde el plano tangente de f (x, y, z) = 4 x + 2y − x^2 + xy − y^2 es paralelo a plano XY. (ii) Calcular la ecuaci´on del plano tangente en el punto (1, 0 , 1).

2.2. Derivadas parciales, direccionales y diferenciabilidad. 17

Proposici´on 2.2.6 Sea f : D → R, D ⊂ Rn^ con f diferenciable x 0 ∈ D y ∇f (x 0 ) = 0. Entonces

m´ax{|Duf (x 0 )| : ‖u‖ = 1} = ‖∇f (x 0 )‖

y se alcanza en la direcci´on del gradiente.

Ejercicio 2.2.10 Determinar los valores a, b para que la derivada direccional de la funci´on f (x, y) = abx^2 y + bxy^3 en el punto x = (1, 1) tenga un valor m´aximo de 1 en la direcci´on del eje OY.

Teorema 2.2.7 (REGLA DE LA CADENA) Sean f : Rn^ → Rm^ diferen- ciable en x 0 ∈ Rn^ y g : Rm^ → Rk^ diferenciable en y 0 = f (x 0 ) ∈ Rm^ entonces h = g ◦ f es diferenciable en x 0 y adem´as

D(g ◦ f )(x 0 ) = Dg(f (x 0 )) ◦ Df (x 0 ).

Si ponemos f = (f 1 , ..., fm) con fi : Rn^ → R y g = (g 1 , ..., gk) con gj : Rm^ → R entonces h = g ◦ f = (h 1 , ..., hk) con hl : Rn^ → R la f´ormula de la regla de la cadena es la siguiente:

Dihj (x 0 ) =

∑^ m

l=

Dlgi(y 0 )Di(fl)(x 0 ),

   

D 1 (h 1 )(x 0 ) ... Dn(h 1 )(x 0 ) D 1 (h 2 )(x 0 ) ... Dn(h 2 )(x 0 ) ... ... ... D 1 (hk)(x 0 ) ... Dn(hk)(x 0 )

   

   

D 1 (g 1 )(y 0 ) ... Dm(g 1 )(y 0 ) D 1 (g 2 )(y 0 ) ... Dm(g 2 )(y 0 ) ... ... ... D 1 (gk)(y 0 ) ... Dm(gk)(y 0 )

   

   

D 1 (f 1 )(x 0 ) ... Dn(f 1 )(x 0 ) D 1 (f 2 )(x 0 ) ... Dn(f 2 )(x 0 ) ... ... ... D 1 (fm)(x 0 ) ... Dn(fm)(x 0 )

   

Ejercicio 2.2.11 Usar la regla de la cadena para probar las siguientes pro- piedades:

(i) Sean f, g : Rn^ → Rm^ diferenciables en x 0 y sean λ, μ ∈ R. Entonces λf + μg es diferenciable en x 0 y adem´as

D(λf + μg)(x 0 ) = λDf (x 0 ) + μDg(x 0 ).

2.3. Teoremas clave de c´alculo diferencial. 19

En particular, existe z ∈ [x, y] tal que

‖f (x) − f (y)‖ ≤ ‖Df (z)‖‖x − y‖.

Para m = 1: Dados x, y ∈ D tal que [x, y] ⊂ D existe z ∈ [x, y] tal que

f (x) − f (y) = 〈∇f (z), x − y〉 =

∑^ n

i=

Dif (z)(xi − yi).

Ejercicio 2.3.1 Sea D un conjunto conexo por poligonales. Si f es dife- renciable en D y Df (x) = 0 para todo x ∈ D entonces f es constante en D.

Teorema 2.3.2 Sea D un abierto de Rn, x 0 ∈ D y f : D → Rm^ una funci´on. Si existen Dif (x) (i = 1, ..., n) para todo x ∈ B(x 0 , r) para alg´un r > 0 tal que B(x 0 , r) ⊂ D y adem´as son continuas en B(x 0 , r) entonces f es diferenciable en x 0.

Ejercicio 2.3.2 (*) (El reciproco del resultado anterior no es cierto) Existen f diferenciables en un punto de modo que las derivadas parciales no son continuas en el punto. (i) Probar que φ(x) = x^2 sen( (^) x^1 ) si x = 0, x ∈ R y φ(0) = 0 es derivable con derivada φ′^ no continua en x = 0. (ii) Construir f (x 1 , ..., xn) = φ(x 1 ) + ... + φ(xn). Probar que es diferen- ciable en (0, ..., 0) y las Dif no son continuas en (0, ..., 0).

Definici´on 2.3.3 Sea D un abierto de Rn, x 0 ∈ D y f : D → Rm^ una funci´on. Supongamos que existen Dif (x) (i = 1, ..., n) para todo x ∈ B(x 0 , r) para alg´un r > 0. A la derivada parcial de Di : B(x 0 , r) → Rm^ respecto a la variable xj la denotamos Djif (x 0 ) = Dj (Dif )(x 0 ), a veces denotada ∂^2 f ∂xj ∂xi (x^0 ), y se llama derivada segunda de orden^2 respecto de las variables xi y xj. En el caso particular de D un abierto de Rn^ y f : D → R que tiene derivadas parciales de segundo orden, definimos la matriz Hessiana de f en el punto x 0 como

H(f ; x 0 ) =

  

D 11 (f )(x 0 ) D 12 (f )(x 0 ) ... D 1 n(f )(x 0 ) D 21 (f )(x 0 ) D 22 (f )(x 0 ) ... D 2 n(f )(x 0 ) ... ... ... ... Dn 1 (f )(x 0 ) Dn 2 (f )(x 0 ) ... Dnn(f )(x 0 )

  

20 Cap´ıtulo 2. C´alculo Diferencial

Ejercicio 2.3.3 Probar que si f (x, y) = xy(x

(^2) −y (^2) ) x^2 +y^2 con^ f^ (0,^ 0) = 0^ se cumple que D 12 f (0, 0) = D 21 f (0, 0).

Ejercicio 2.3.4 Sea D = {(x, y, z) ∈ R^3 : yz > 0 } y f : D → R dada por f (x, y, z) = x^2 + (^) yz^1. Calcular el vector gradiente ∇f (1, 1 , 1) y calcular la

matriz Hessiana en (1, 1 , 1).

Teorema 2.3.4 (Teoremas de igualdad de las derivadas cruzadas) (1) Teorema de Young: Sea D un abierto de Rn, x 0 ∈ D y f : D → Rm una funci´on. Supongamos que existen Dif y Dj f en una B(x 0 , r) ⊂ D para i = j y son diferenciables en x 0. Entonces Dij f (x 0 ) = Djif (x 0 ). (2) Teorema de Schwartz: Sea D un abierto de Rn, x 0 ∈ D y f : D → Rm una funci´on. Supongamos que existen Dif , Dj f y Dij f en una B(x 0 , r) ⊂ D para i = j y adem´as Dij f es continua en x 0. Entonces existe Djif (x 0 ) y cumple Dij f (x 0 ) = Djif (x 0 ).

Definici´on 2.3.5 Sea D un abierto de Rn. Una funci´on f : D → Rm^ se dice de clase C^1 en D (denotado f ∈ C^1 (D, Rm)) si existen las derivadas parciales de primer orden y son continuas. En general, se dice de clase Ck^ en D (denotado f ∈ Ck(D, Rm)) si existen las derivadas parciales de orden k y son continuas.