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Unidad 2
C´alculo integral en una variable
Ejercicios
- Calcula las siguientes integrales:
a)
0 (2x
(^4) − 4 x (^3) + x − 3) dx
b)
− 1 (x^ −^ 1)(x^ + 2)(x^ −^ 3) dx
c)
1
1 t^3 dt
d)
0
√ (^3) u (^2) du
e)
0
1 1+x dx
f)
∫ (^) π/ 4 0 cos(2x) dx
g)
0 e
t+1 (^) dt
h)
0
e
√x √x dx
i)
0 x
(^2) ex (^) dx
j)
∫ (^) π/ 2 −π/ 2 (cos^ θ) (sen 2θ) dθ
k)
∫ (^) e 1 u^ ln^ u^ du l)
∫ (^) π 0 (sen^ x) e
−x (^) dx
m)
∫ (^) π 0 (cos^ u)
(^2) du
n)
0
1 − x^2 dx
- Calcula el ´area de la regi´on plana limitada por el arco de curva y = sen x y las rectas:
a) y = 0, x = 0 y x = π.
b) y = 0, x = π y x = 2π.
c) y = 0, x = 0 y x = 2π.
- Calcula el ´area de la regi´on plana limitada por las curvas:
a) y = x e y = −x^2 + 2x en el primer cuadrante.
b) y = x + 3 e y = x^2 + x − 13 en el intervalo [1; 3].
c) y = ex, y = e−x^ y x = 1.
- Calcula el ´area de una elipse de semiejes a y b.
- Calcula los vol´umenes de:
a) Un cono recto cuyo radio de la base sea r y cuya altura sea h.
b) Una esfera de radio r.
c) Un cilindro recto cuyo radio de la base sea r y cuya altura sea h.
- Calcula el volumen del s´olido engendrado al girar alrededor del eje de abscisas la figura plana limitada por la curva y = xex^ y las rectas x = 1 e y = 0.
- Calcula el volumen del s´olido engendrado al girar la curva y = 1/ 3
x alrededor del eje de abscisas en el intervalo [1; 2].
- Consideremos la figura del primer cuadrante del plano limitada por la curva y = 1 − x^2 y los ejes coordenados.
a) Calcula el volumen del s´olido engendrado al rotar la figura alrededor del eje X.
b) Lo mismo, pero alrededor del eje Y. ¿Por qu´e no coinciden?
- La curva definida por la ecuaci´on y^2 = (x − 2)^3 tiene un punto no diferenciable en (2, 0) y dos ramas que parten de ´el, una con y ≥ 0 y la otra, sim´etrica de la anterior, con y ≤ 0, y solo existe para x ≥ 2 (es conveniente hacer un esbozo).
a) Calcula la longitud de una de las ramas entre los puntos x = 2 y x = 3.
b) Partiendo del punto (2, 0), ¿en qu´e punto de la curva la longitud recorrida es 1?
Problemas
- En cada caso indica qu´e unidades pueden tener los l´ımites de integraci´on, las unidades del resultado de la integral y la interpretaci´on de dicho resultado.
a)
∫ (^) b a v(t) dt, donde^ v(t) es la velocidad de un tren en el instante^ t.
b)
∫ (^) b a λ(x) dx, donde^ λ(x) es la densidad lineal de un cable cuyo grosor var´ıa en funci´on de^ x, la distancia desde un extremo del cable.
c)
∫ (^) b a p(t) dt, donde^ p(t) es la producci´on diaria de cemento de una cementera.
- En un jard´ın se proyecta un muro decorativo de ladrillo visto. El muro tendr´a un perfil parab´olico, como se muestra en la figura, con altura en el centro de 1 metro y en los extremos de 3 metros.
La longitud total del muro es de 20 metros. Los ladrillos tienen la cara vista de 24 cm × 7 cm y el aparejo es sin llagas, es decir, sin separaci´on entre uno y otro. Estima el n´umero de ladrillos necesarios para este muro.
- La temperatura, T , de un d´ıa concreto se ha modelado en funci´on de la hora del d´ıa, t, con la siguiente funci´on: T (t) = 4 sen( 2 π( 24 t− 6)) + 15, con el tiempo en horas y la temperatura en grados Celsius. Calcula la temperatura media de ese d´ıa. Nota: para una funci´on f integrable en el intervalo [a, b] se define el valor medio como
f =
b − a
∫ (^) b
a
f (x) dx.
- Se quiere construir una escultura de hormig´on que consiste en una aguja vertical de 3 m de altura. La base es un cilindro de 2 m de di´ametro y 20 cm altura. A partir de dicha base, el di´ametro disminuye en proporci´on inversa a la altura.
a) Calcula el di´ametro de la aguja en la punta.
b) Calcula el peso de la escultura asumiendo que se emplea un hormig´on ligero de 1800 kg/m^3.
