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CBC – UBA – MATEMÁTICA 51 – CÁTEDRA ÚNICA ÍNDICE
- Programa Índice
- Práctica
- Práctica
- Ejercicios de entrenamiento
- Ejercicios tipo parcial
- Ejercicios complementarios
- Práctica
- Ejercicios de entrenamiento
- Ejercicios tipo parcial
- Ejercicios complementarios
- Práctica
- Ejercicios de entrenamiento
- Ejercicios tipo parcial
- Ejercicios complementarios
- Práctica
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- Ejercicios complementarios
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- Práctica
- Ejercicios de entrenamiento
- Ejercicios tipo parcial
- Ejercicios complementarios
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CBC – UBA – MATEMÁTICA 51 – CÁTEDRA ÚNICA PROGRAMA
Programa
- Unidad 0: Repaso de operatoria, ecuaciones y problemas.
- Unidad 1: El número real. Inecuaciones lineales. Intervalos. Inecuaciones más genera- les. Distancia en la recta real. Módulo.
- Unidad 2: Funciones: introducción. Funciones lineales. Funciones cuadráticas. Fun- ciones polinómicas. Continuidad. Teorema de Bolzano. Composición de funciones. Inversa de funciones.
- Unidad 3: Funciones homográficas. Noción de límite. Asíntotas horizontales y vertica- les.
- Unidad 4: Funciones exponenciales y logarítmicas. Dominio, imagen, asíntotas. Aplicaciones y problemas. Funciones trigonométricas. Ecuaciones. Máximos, mínimos, amplitud y período.
- Unidad 5: Derivadas. Reglas de derivación. Regla de la cadena. Recta tangente. Derivadas sucesivas. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos relativos. Estudio de funciones.
- Unidad 6: Integrales. Primitivas de una función. Método de sustitución. Método de integración por partes. Integral definida. Regla de Barrow. Cálculo de áreas.
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e) 3 + x = x − 2 f ) (^3) xx +− 67 = − 2
g) 3 x 7 −x 2 = 0 h) 5x + 2 = x + 3 − ( 1 − 4 x)
Ejercicio 4. Marcar la única respuesta correcta en cada caso.
a) La expresión ( 2 + x)^2 es equivalente a
(i) 4 + x^2 (ii) 4 x^2 (iii) 4 + 4 x + x^2
b) La expresión (x − 3 )^2 es equivante a
(i) x^2 − 6 x + 9 (ii) x^2 − 9 (iii) x^2 − 6 x − 9
c) La fracción (^2) +^4 2 a es equivalente a
(i) (^1) +^2 2 a (ii) 42 + (^24) a (iii) (^1) +^2 a
d) La solución de la ecuación (^) x +^6 2 = 1 es
(i) x = 1 (ii) x = 2 (iii) x = 4
e) La fracción^5 + 5 b es equivalente a
(i) b (^) (ii) 1 + b 5 (iii)^
b 5
f) La solución de 5x = 0 es
(i) x = − (^5) (ii) x = 1 5
(iii) x = 0
g) La solución de (^2) x 7 − 4 − (^) x −^1 2 = 3 es
(i) x = 176 (ii)^ x^ =^3 (iii)^ x^ =^2
Ejercicio 5. Desarrollar.
a) (x − 5 )^2 b) (x + 7 )^2
c) 4(x − 3 )(x + 1 ) d) (x − y)(x + y)
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Ejercicio 6. Escribir como producto de dos factores.
a) x^2 − 81 b) x^3 − 11 x
c) x^2 − 10 x + 25 d) 4x^2 − 9
e) x^4 − 81 f ) x^4 + 3 x^3 + 5 x^2
Ejercicio 7. Sean b la longitud de la base y h la longitud de la altura de un rectángulo. Expresar, en función de b y h , las siguientes afirmaciones.
a) La base excede en 2 unidades a la altura. b) La base es el doble de la altura.
c) La diagonal del rectángulo mide 5cm.
d) La altura es igual a^25 de la base.
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Ejercicio 5. Representar en la recta real.
a) {x ∈ R / |x| = 4 } b) {x ∈ R / |x| < 3 }
c) {x ∈ R / |x| = − 2 } d) {x ∈ R/|x| ≥ 5 }
e) {x ∈ R / |x| ≥ − 1 } f ) {x ∈ R / |x| ≤ 12 }
Ejercicio 6.
a) Representar en el plano los puntos A y B y calcular la distancia entre ellos.
(i) A = (3, 2) y B = (7, 5) (ii) A = (−1, 0) y B = (3, − 2 ) (iii) A = (0, − 2 ) y B = (7, 5) b) Calcular el perímetro del triángulo de vértices A = (1, − 3 ) , B = (−2, − 3 ) y C = (−2, 1).
Ejercicio 7.
a) Hallar todos los puntos A de la forma A = (a, − 2 ) , con a ∈ R , que están a distancia 5 del punto B = (0, 1). b) Hallar todos los puntos P = (a, 3a) , con a ∈ R , que están a distancia 3 del punto Q = (1, 0). c) Sean A = (0, 0) y B = (4, 0). Hallar todos los puntos P = (a, b) , con a y b en R , tales que la distancia entre A y P es igual a la distancia entre B y P. Graficar.
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Ejercicios tipo parcial
Ejercicio 8. Escribir como un intervalo o una unión de intervalos y representar en la recta real el conjunto A = {x ∈ R / 1 ≤ 1 − 3 x < 2 }.
Ejercicio 9. Escribir como un intervalo o una unión de intervalos el conjunto
A =
x ∈ R /^4 x + 11 < 1
Ejercicio 10. Escribir como un intervalo o una unión de intervalos el conjunto
A =
x ∈ R / x^ + x 1 < (^2) x
Ejercicio 11. Hallar todos los puntos de la forma A = (a, 2a − 1 ) , con a ∈ R , que están a distancia 5 del punto B = (3, 3).
Ejercicio 12. Hallar todos los puntos del eje y que están a distancia 5 del punto A = (4, − 2 ).
Ejercicio 13. Hallar todos los puntos del eje x que están a distancia 3 del punto A = (1, − 3 ). Graficar.
Ejercicio 14. Dados los puntos A = (−2, 1); B = (a, 1); C = (1, − 1 ) y D = (−3, 2) , hallar los valores de a para que la distancia entre C y D sea igual a la distancia entre A y B.
Ejercicios complementarios
Ejercicio 15. Escribir como un intervalo o una unión de intervalos y representar en la recta
real el conjunto B =
x ∈ R/ 6 x
2 2 x − 5 >^3 x
Ejercicio 16. Dar cinco puntos del plano que estén a distancia 2 del punto A = (1, − 1 ).
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Ejercicio 6. Hallar, en cada caso, la función lineal cuyo gráfico es:
a) b) c)
Ejercicio 7.
a) Sea f (x) = 2 x + 5. Encontrar las intersecciones del gráfico de f con los ejes coordena- dos. Graficar. b) Encontrar el cero y los conjuntos de positividad y de negatividad de f (x) = − 12 x + 3.
Ejercicio 8. Hallar en cada caso el punto de intersección de los gráficos de f y g.
a) f (x) = x + 2 , g(x) = − 2 x + 8. b) f (x) = 2 x + 1 , g es la función lineal cuyo gráfico tiene pendiente 4 y ordenada al origen 5.
Ejercicio 9. Escribir como intervalo o unión de intervalos el conjunto
A = {x ∈ R / f (x) ≤ g(x)}.
Representar gráficamente las funciones f y g y el conjunto A.
a) f (x) = x + 10 , g(x) = 3 x + 2
b) f (x) = − 5 x + 3 , g(x) = − 7
Ejercicio 10. Sea f (x) = mx + 5. Encontrar el valor de m ∈ R tal que f ( 2 ) = −3. Para el valor hallado, determinar los puntos en los que el gráfico de f corta a los ejes coordenados.
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FUNCIONES CUADRÁTICAS
Ejercicio 11. Hallar el vértice de la parábola que es el gráfico de la función f. Dar su imagen y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Graficar.
a) f (x) = x^2 − 9 b) f (x) = (x + 2 )^2
c) f (x) = −(x − 2 )(x + 5 ) d) f (x) = 3 x^2 + 12 x − 9
Ejercicio 12. Hallar los ceros, el conjunto de positividad y el conjunto de negatividad de f.
a) f (x) = − 2 x^2 + 5 x + 3 b) f (x) = (x − 3 )^2 + 1
c) f (x) = 3 x^2 − 9 x d) f (x) = − 5 (x + 1 )^2
Ejercicio 13. Hallar, en cada caso, la función cuadrática f tal que:
a) su gráfico tiene vértice V = (4, 5) y pasa por el punto (3, 3).
b) el intervalo de crecimiento es (3; +∞) , su imagen es [−2; +∞) y f ( 4 ) = 6.
Ejercicio 14. Hallar, si existen, los puntos de intersección de los gráficos de f y g.
a) f (x) = x^2 + 5 x + 4 , g(x) = 3 x + 7.
b) f (x) = −x^2 + x + 1 , g(x) = − 2 x + 4.
c) f (x) = 3 x^2 + 5 x − 7 , g(x) = 2 x^2 + x + 14.
d) f (x) = 2 x^2 + 5 x − 7 , g(x) = 2 x^2 − x + 5. e) f es la función lineal tal que f ( 2 ) = 5 y f ( 4 ) = 9 , g(x) = x^2 + 6 x + 5.
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FUNCIÓN INVERSA
Ejercicio 20. Hallar los x ∈ Dom( f ) tal que f (x) = b. Representar gráficamente.
a) f (x) = 2 x + 1 b = 9, b = − 1
b) f (x) = x^2 − 3 b = 13, b = − 4
Ejercicio 21. Calcular f −^1 y dar su dominio. Graficar f y f −^1.
a) f : R → R , f (x) = 2 x − 4 b) f : [0, +∞) → R , f (x) = x^2 − 9
c) f : [1, +∞) → R , f (x) =
x − 1 d) f : (−∞, 5] → R , f (x) =
5 − x
Ejercicios tipo parcial
Ejercicio 22. Sean g(x) = − 3 x + 8 y f la función lineal que verifica f (− 3 ) = 4 y f (− 1 ) = 2. Escribir como un intervalo el conjunto A = {x ∈ R / g(x) < f (x)}.
Ejercicio 23. Sean f (x) = −x + 1 y g la función lineal tal que g( 1 ) = 2 y g(− 2 ) = 8. Escribir como un intervalo el conjunto A = {x ∈ R / f (x) · g(x) ≥ 0 }.
Ejercicio 24. Sea f la función lineal cuyo gráfico pasa por los puntos (1, 6) y (−1, 2). Escribir
como intervalo o unión de intervalos el conjunto A =
x ∈ R / 3 fx^ ( −x) 1 > 1
Ejercicio 25. Sea f la función lineal que satisface que f ( 2 ) = 7 y f (− 2 ) = −1. Encontrar los dos puntos del gráfico de f que están a distancia
5 del punto (0, 3).
Ejercicio 26. Hallar la función cuadrática f tal que su gráfico es una parábola cuyo vértice tiene abscisa 2, Im f = [5; +∞) y f ( 4 ) = 13.
Ejercicio 27. Sean P = (1, 3) y V el vértice de la parábola de ecuación y = x^2 − 4 x + 5. Dar la ecuación de la recta que pasa por P y por V.
Ejercicio 28. Sea f (x) = 3 x^2 − 3 x − 18. Encontrar la función cuadrática g que tiene los mismos ceros que f y satisface g( 1 ) = 24.
Ejercicio 29. Sean P el punto donde la recta de ecuación y = 2 x + 6 corta al eje x y V el vértice de la parábola de ecuación y = x^2 − 2 x + 4. Calcular la distancia entre P y V.
Ejercicio 30. Dada f (x) = ax^2 + 8 x + 2 , hallar a de modo que el vértice del gráfico de f tenga abscisa x = 2. Para el valor de a hallado, determinar la imagen de f.
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Ejercicio 31. Dadas f (x) = 6 x^2 + kx + 2 y g(x) = x + 1 , hallar k ∈ R de modo que f ( 1 ) = g( 1 ). Para el valor de k hallado, encontrar todos los puntos de intersección de los gráficos de f y g.
Ejercicio 32. Encontrar todos los puntos donde el gráfico de f (x) = 5 (x + 1 ) x^2 + x − 2 corta al eje x. Determinar los conjuntos de positividad y de negatividad de f.
Ejercicio 33. Determinar los conjuntos de positividad de f (x) = (− 2 x + 1 )
x^2 + 3 x − 10
Ejercicio 34. Hallar la función polinómica de grado 3 cuyo gráfico pasa por los puntos (−3, 0) , (1, 0) , (2, 0) y (3, 30).
Ejercicio 35. Sean f (x) = x^2 + 5 x y g(x) = 2 x − 4. Hallar los puntos de intersección de los gráficos de f ◦ g y g ◦ f.
Ejercicios complementarios
Ejercicio 36. a) La relación funcional entre grados Celsius y grados Kelvin es lineal. Sabiendo que 0◦C = 273 K y que 27◦C = 300 K , encontrar la función f que da la temperatura en grados Celsius conocida la misma en grados Kelvin. b) La función g(x) = 1, 8 x + 32 expresa la temperatura en grados Fahrenheit, conocida la misma en grados Celsius. Encontrar la expresión de la temperatura en grados Fahrenheit en función de la temperatura en grados Kelvin. ¿Es lineal?
Ejercicio 37. La función f (x) = 1, 8 x + 32 expresa la temperatura en grados Fahrenheit, conocida la misma en grados Celsius. Dar la función que permite, dada una temperatura cualquiera en grados Fahrenheit, obtener la misma en grados Celsius. Sabiendo que el papel arde aproximadamente a 451◦F , ¿a cuántos grados Celsius tendrá que exponer esta práctica para quemarla? (¿Conoce la novela de Ray Bradbury?).
Ejercicio 38. (Regla de Ruffini o calculadora) Encontrar el conjunto de ceros de f (x) = x^6 − x^5 − 5 x^4 − 3 x^3 , sabiendo que f (− 1 ) = 0.
Ejercicio 39. (Teorema de Bolzano) Sea f : R → R una función continua que corta al eje x en exactamente 3 puntos y de la cual se conoce la siguiente tabla de valores:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 f (x) 2 -2 3 5 4 1 - a) Para cada uno de los ceros de f indicar un intervalo de longitud 1 que lo contenga.
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Práctica 3
Ejercicios de entrenamiento
FUNCIONES HOMOGRÁFICAS
Ejercicio 1. Hallar el dominio, la imagen, los ceros, los intervalos de positividad y de nega- tividad y las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de f. Hacer un gráfico de f.
a) f (x) = (^) x −^1 2 b) f (x) = (^) x− +^2
c) f (x) = (^3) xx ++ 1 5 d) f (x) = (^3) x 4 − 1 − 3
Ejercicio 2. Sea f (x) = 53 xx^ ++^1 k. Determinar el valor de k ∈ R de tal forma que f ( 1 ) = 6. Para el valor de k hallado, determinar las ecuaciones de todas las asíntotas de f.
Ejercicio 3. Dadas las funciones f y g , calcular f ◦ g y g ◦ f.
a) f (x) = −x + 1 , g(x) = (^3) −^1 x + 2
b) f (x) = x − 4 , g(x) = (^2) xx −+ 3 1
Ejercicio 4. Sean f (x) = 2 x − 1 y g(x) = (^) x +^1 3 − 2. Hallar las funciones f ◦ g y g ◦ f. Escribir las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de ambas funciones.
Ejercicio 5. Sean f (x) = kx − 2 y g(x) = (^) −^2 xx^ ++^6 4. Hallar el valor de k ∈ R de modo que (g ◦ f )( 1 ) = 5. Para el valor de k hallado, calcular ( f ◦ g)( 1 ).
Ejercicio 6. Dada f (x) = 3 xx^ − +^2 1 , hallar los valores de x ∈ Dom( f ) tales que :
a) f (x) = − 14 b) f (x) = 13 c) f (x) = 0
Representar gráficamente.
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Ejercicio 7. Sea f (x) = (^3) x 1 − 2. Dar el dominio y la imagen de f. Calcular f −^1 y hallar su dominio e imagen. Graficar ambas funciones.
Ejercicio 8. Sea f (x) = (^) x −^4 3 + 2. Hallar la función inversa f −^1 y dar el conjunto de
positividad de f −^1.
Ejercicio 9. Dadas f y g , calcular h = g ◦ f y h−^1. Dar, en cada caso, las ecuaciones de las asíntotas de h y de h−^1.
a) f (x) = − 2 x + 1 , g(x) = − 4 xx −+ 13
b) f (x) = 4 x − 2 , g(x) = 2 xx^ + −^2 3 + 1
c) f (x) = (^3) x 2 − 1 + 5 , g(x) = x + 2
LÍMITE DE FUNCIONES Y ASÍNTOTAS
Ejercicio 10. Analizando el gráfico de f , determinar (^) x→lim+∞ f (x) y (^) x→−lim∞ f (x).
a) f (x) = − 3 x + 2 b) f (x) = x^2 − 2 x
c) f (x) = (^2) xx +− 3 4
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b) f (x) = 2 x
(^2) − 2 x − 40 x^2 − x − 12
x→−^ lim 3 −^ f^ (x)^ ,^ x→−lim 3 +^ f^ (x)^ ,^ xlim→ 4 −^ f^ (x)^ ,^ xlim→ 4 +^ f^ (x)^ ,^ x→lim+∞^ f^ (x)^ ,^ x→−lim∞^ f^ (x)
Ejercicio 15. En cada caso, hallar el dominio y analizar la existencia de asíntotas verticales. Si existen, dar sus ecuaciones.
a) f (x) = (^) x −^1 3 b) f (x) = (^) x 2 − (^) +^5 x 3 +x −^1
c) f (x) = (^) x^32 − 1 d) f (x) = (^) x (^24) −x 4
Ejercicio 16. Hallar, en cada caso, el dominio y las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales.
a) f (x) = 3 − (^) x +^1 2 b) f (x) = (^) x^23 + 1
c) f (x) = −^2 x
(^2) + x 5 x^2 + 25 d)^ f^ (x) =^
− 6 x + 3 x + 3
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Ejercicios tipo parcial
Ejercicio 17. Sean f (x) = (^) x +^1 2 , g(x) = 3 x + 1 y h = f ◦ g. Hallar los ceros de h−^1.
Ejercicio 18. Sean f (x) = (^) x 5 −x 5 y g(x) = x − 1. Hallar h = f ◦ g y encontrar las asíntotas de h.
Ejercicio 19. Sea f (x) = − kx^20 +x^ + 10 4. Determinar el valor de k ∈ R para que la recta de ecuación x = 2 sea asíntota vertical de f. Para el valor hallado, dar la ecuación de la asíntota horizontal de f.
Ejercicio 20. Sea f (x) = (^6) axx^ − −^35 8. Hallar el valor de a ∈ R para que la recta de ecuación y = 3 sea asíntota horizontal de f. Para el valor hallado, escribir la ecuación de la asíntota vertical de f.
Ejercicio 21. Sean f (x) = x + k y g(x) = (^2) x. Hallar el valor de k ∈ R de manera que (g ◦ f )( 1 ) = −4. Para el valor de k encontrado, calcular ( f ◦ g)( 1 ).
Ejercicio 22. Sea f (x) = 5 x
(^2) + 2 x x^2 + x − 2.^ Determinar todas las asíntotas de^ f^ y escribir sus ecuaciones.
Ejercicio 23. Sea f (x) = 4 x
2 ax^2 − 3. Hallar^ a^ ∈^ R^ de modo que la recta^ y^ =^ 12 sea una asíntota horizontal de f. Para el valor de a encontrado, dar las ecuaciones de todas las asíntotas de f.
Ejercicios complementarios
Ejercicio 24. Sea f (x) = (^) x +^2 a − b. Determinar a y b ∈ R para que las rectas de ecuaciones
x = −3 , y = 53 sean asíntotas de f.
Ejercicio 25. Sea f (x) = ax bx^ ++^31. Determinar a y b ∈ R para que^32 sea un cero de f y la recta y = 6 sea asíntota horizontal de f.
Ejercicio 26. Hallar la expresión de la longitud L de un lado de un rectángulo en función de la longitud x del otro lado, si el área es 36. Dar el dominio de L y calcular (^) xlim→ 0 + L(x) y
x→lim+∞ L(x)^.
Ejercicio 27. Hacia un tanque que contiene agua pura, fluye agua salada de modo que la concentración de sal en un tiempo t está dada por la función
