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Una serie de prácticas de la asignatura matemática 2 online. Abarca temas como grafos, simetrías y proporción áurea, geometría de las formas, aplicaciones de las derivadas, probabilidades y estadística. Incluye ejercicios, problemas y actividades para que los estudiantes puedan aplicar los conceptos aprendidos. El documento está estructurado en 6 prácticas, cada una con una introducción a los temas a tratar. Además, se proporcionan pistas y sugerencias para resolver algunos de los problemas planteados. Este material podría ser útil para estudiantes universitarios que cursen asignaturas relacionadas con matemática, geometría, álgebra y estadística.
Tipo: Apuntes
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¡No te pierdas las partes importantes!
a) ¿Es un grafo plano? ¿Es un grafo simple? b) Confeccion´a una lista de sus elementos. c) Indic´a el grado de cada uno de los v´ertices. d ) Constru´ı las matrices de adyacencia de v´ertices y de incidencia del grafo.
Problema 2. Se tienen los siguientes tres grafos. Debajo est´an incompletas sus matrices de adyacencia de v´ertices.
Grafo 1 Grafo 2 Grafo 3
Matriz A Matriz B Matriz C
a) Establec´e qu´e matriz podr´ıa corresponder a cada grafo. b) Rotul´a los v´ertices de los grafos de modo que se correspondan con las matrices elegidas. c) Complet´a las matrices con los valores que correspondan.
Problema 3. El siguiente es un esquema de planta de una t´ıpica casa “chorizo”, con dos patios, y muchas habitaciones con salida a los mismos:
a) Confeccion´a el grafo asociado a la estructura circulatoria. No olvides considerar el exterior. b) ¿Qu´e tipos de recorridos admite este grafo? c) Obten´e la matriz de adyacencia de v´ertices del grafo.
d ) Obten´e la matriz de incidencia del grafo. e) Realiz´a otro grafo en el que se representen las vecindades de los locales del edificio; es decir, dos locales estar´an conectados si tienen alguna pared en com´un.
Problema 4. En un gran local a la calle se quieren construir seis locales (A, B, C, D, E) para diversos usos. Se plantean las siguientes restricciones: Todos los locales deben conectarse con el exterior (la ace- ra).
El local A debe ser contiguo a los locales B, C, D y E.
Los locales D, E y F deben estar interconectarse entre s´ı.
El local A no debe ser contiguo a F.
El local D debe estar entre el A y el F.
El local E debe estar entre el A y el F.
Debe preverse la posibilidad de conectar C con D. a) Realiz´a un esquema en el que se muestre los locales y las aberturas que permiten la circulaci´on. (Sugerencia: si est´as muy trabado pod´es ayudarte con el gr´afico que est´a escondido en alg´un lugar de esta gu´ıa.) b) Constru´ı el grafo de circulaci´on incluyendo el v´ertice X que representa al exterior. c) Constru´ı el grafo de vecindades (es decir, considerando contig¨uidad, independientemen- te de la posibilidad la circulaci´on) incluyendo el v´ertice X que representa al exterior.
Problema 5. Consider´a los siguientes cuatro grafos:
a) ¿Cu´ales de ellos admiten recorridos eulerianos? b) ¿En cu´ales de ellos hay una cantidad par de v´ertices de grado impar? ¿C´omo se relaciona esto con tu respuesta a la pregunta (a)? c) Todos estos grafos admiten ciclos hamiltonianos. ¿Por qu´e?
Problema 6. Consider´a los tres diagramas que siguen:
a) Realiz´a el grafo asociado a cada estructura circulatoria (sin considerar el exterior). b) Verific´a en cada grafo la existencia de caminos eulerianos. Justific´a la respuesta en cada caso mostrando el recorrido o argumentando a partir de los grados de sus v´ertices.
a) Indic´a dos caminos para ir de Barcelona a Sevilla. b) Indic´a dos ciclos que permitan ir de Madrid a Bilbao y luego retornar a Madrid. c) Clasific´a el grafo seg´un su tipo. d ) ¿Se trata de un grafo poligonal? Si no es as´ı, elimin´a o agreg´a elementos para que lo sea. e) ¿Cu´antos ciclos de 5 v´ertices contiene el grafo? Representalos. f ) ¿Existe un recorrido hamiltoniano que permita pasar por todas las ciudades? g) ¿Cumple este grafo la f´ormula de Descartes-Euler? h) Mostr´a un subgrafo que contenga 3 ciclos. Graficalo y luego confeccion´a el grafo dual correspondiente.
Problema 10. Consider´a el siguiente poliedro (una pir´amide de base cuadrada):
a) ¿Cu´al o cu´ales de los siguientes grafos corresponden a su grafo plano asociado?
b) ¿Cu´al de los siguientes grafos corresponde al grafo de su poliedro dual (es decir, el grafo dual de su grafo asociado)?
c) Decid´ı cu´ales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cu´ales son falsas:
Problema 11. Los siguientes son dos de los poliedros de Johnson.
Pir´amide triangular elongada Girobifastigium
Para cada uno de ellos:
a) Al ser poliedros convexos, en ellos se cumple f´ormula de Descartes-Euler. Verificala en cada caso. b) Etiquet´a cada uno de su v´ertices y realiz´a la matriz de adyacencia de v´ertices. c) Realiz´a los grafos asociados. d ) Obten´e el grafo dual.
Matem´atica y dise˜no
Si te gustan los poliedros, pod´es armar en cart´on alguno de los 92 poliedros de Johnson^2 o de los 13 poliedros arquimedianos^3 . ¿Cumple tu poliedro la f´ormula de Descartes-Euler?
¿Qu´e caras se conectan con otras?
¿C´omo pondr´ıas esa informaci´on en una matriz de adyacencia de caras? ¿Y qu´e v´ertices se conectan con otros v´ertices?
¿Admite alguna simetr´ıa de reflexi´on (respecto de un plano) en el espacio?
¿O alguna simetr´ıa de rotaci´on respec- to de alg´un centro?
(^2) https://es.wikipedia.org/wiki/S %C3 %B3lido de Johnson (^3) https://es.wikipedia.org/wiki/S %C3 %B3lidos arquimedianos (^4) Imagen tomada de: http://www.sacred-geometry.es/?q=es/content/s %C3 %B3lidos-arquimedianos
Problema 15. A continuaci´on se tienen cuatro dise˜nos formados por mosaicos.
La Alhambra (Granada, Espa˜na) La Alhambra (Granada, Espa˜na)
Aceras de Copacabana (R´ıo de Janeiro) Dise˜no de cer´amicos de Ann Sacks
a) Identific´a al menos dos de cada una de las transformaciones: traslaci´on, rotaci´on, refle- xi´on. b) Traz´a en una de las traslaciones su vector de traslaci´on. c) Traz´a en una de las reflexiones su recta de simetr´ıa axial. d ) Se˜nal´a en una de las rotaciones su centro y su ´angulo de rotaci´on.
Problema 16. En la figura se muestran cuatro dise˜nos llamados pol´ıgonos nazar´ıes, tomados de los mosaicos de la Alhambra (Granada, Espa˜na).
a) Mostr´a para las figuras (b), (c) y (d) c´omo se obtiene la figura a partir del pol´ıgono base por sustracci´on y adici´on, como en el caso (a). b) A partir de un tri´angulo equil´atero, realiz´a una sustracci´on y adici´on para producir una figura que forme un mosaico; luego mostr´a un mosaico realizado con dicha figura. c) A partir de un cuadrado, realiz´a una sustracci´on y adici´on para producir una figura que forme un mosaico; luego mostr´a un mosaico realizado con dicha figura. d ) A partir de un rect´angulo, realiz´a una sustracci´on y adici´on para producir una figura que forme un mosaico; luego mostr´a un mosaico realizado con dicha figura.
(a) Pajarita (b) Pez volador
(c) Hueso (d) Escama
Problema 17. Observ´a las siguientes im´agenes de obras arquitect´onicas.
Edificio de las Naciones Unidas Edificio Kavanagh (Nueva York, 1952) (Buenos Aires, 1936) Arq.: Le Corbusier, Niemeyer y Harrison. Arq.: S´anchez, Lagos y de la Torre.
Parten´on (Atenas, 432 a.C.). Arq.: Fidias, Ictino y Cal´ıcrates.
a) ¿En cu´ales de estas obras la base y la altura del edificio (en la vista de la imagen) se encuentran (aproximadamente) en proporci´on ´aurea? b) Eleg´ı una de las construcciones de tu respuesta anterior y realiz´a sobre ella con regla y comp´as la construcci´on del rect´angulo ´aureo.
Importante
En el desarrollo de los problemas de esta pr´actica, se debe trabajar con, al menos, cuatro cifras decimales, sobre todo en las razones trigonom´etricas obtenidas mediante la calculadora o la computadora.
Las respuestas finales de los problemas deben redondearse a tres cifras decimales.
Problema 1. La se˜nal de tr´ansito que se muestra en la imagen muestra una pendiente del 12 %. Esto significa que por cada 100 m recorridos, el desnivel aumenta 12 m. ¿Qu´e ´angulo forma la autopista con la horizontal? Si se recorren 538 m sobre esa autopista, ¿cu´antos metros se ascienden (sobre el nivel del mar)?
Problema 2. A partir de los datos de la figura, calcul´a la longitud de la escalera, la altura de la pared, y la altura aproximada de cada ladrillo.
Problema 3. Un barrilete queda atorado en las ramas de la copa de un ´arbol. Si el hilo de 100 m del barrilete forma un ´angulo de 23◦ con el suelo, calcul´a la distancia del barrilete al suelo.
Problema 4. Un top´ografo usa un instrumento llamado teodolito para medir el ´angulo de elevaci´on entre el nivel del piso y la cumbre de una monta˜na. En un punto, se mide un ´angulo de elevaci´on de 51◦. Cinco kil´ometros m´as lejos de la base de la monta˜na, el ´angulo de elevaci´on medido es de 33◦. ¿Qu´e altura tiene la monta˜na?
Problema 5. Un carpintero corta el extremo de una tabla de 5 pulgadas, formando un bisel de 30◦^ con respecto a la vertical, comenzando en un punto a 2 pulgadas del extremo de la tabla. Calcul´a las longitudes del corte oblicuo y del lado restante.
Problema 6. Un poste de tel´efono forma un ´angulo de 81◦^ con la horizontal. Como se ve en la figura, el ´angulo de elevaci´on del Sol es de 75◦. Calcul´a la longitud del poste telef´oni- co, sabiendo que su sombra mide 4 m.
Sea un tri´angulo ABC, con ´angulos Aˆ, Bˆ y Cˆ, y cuyas medidas de los lados opuestos a ellos son, respectivamente, a, b, c.
Teorema del seno En este teorema se establece una proporci´on entre las longitudes de los lados de un tri´angulo y los senos de sus correspondientes ´angulos opuestos.
a sin( Aˆ)
b sin( Bˆ)
c sin( Cˆ)
Teorema del coseno Este teorema es una generalizaci´on del teorema de Pit´agoras en los tri´angulos rect´angulos en trigonometr´ıa: relaciona un lado de un tri´angulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ´angulo formado por estos dos lados.
a^2 = b^2 + c^2 − 2 · b · c · cos( Aˆ)
b^2 = a^2 + c^2 − 2 · a · c · cos( Bˆ) c^2 = a^2 + b^2 − 2 · a · b · cos( Cˆ)
Problema 7. Un edificio est´a al lado de una co- lina que baja formando un ´angulo de 17◦. El Sol est´a sobre la colina, y desde el edificio tiene un ´angulo de elevaci´on de 43◦. Calcul´a la altura del edificio, sabiendo que su sombra mide 12 metros de longitud.
Problema 11. La siguiente figura muestra el terreno triangular ocupado por la planta baja de una casa. A partir de las medidas indicadas, calcul´a el ´area que ocupa el terreno.
Realizar representaciones de objetos tridimensionales (vectores, planos, superficies cu´adri- cas).
Comprender y aplicar los conceptos de paralelismo y ortogonalidad de vectores.
Identificar y graficar curvas c´onicas reconociendo sus elementos principales.
Identificar y graficar superficies cu´adricas indicando sus elementos principales.
Calcular e identificar trazas de superficies cu´adricas, y a partir de ellas obtener una repre- sentaci´on aproximada de dicha superficie.
Problema 1. Sean los puntos en R^3 los puntos P = (1; −2; 4) y Q = (2; 3; −5).
a) Grafic´a ambos puntos en R^3. b) Calcul´a la distancia entre P y Q. c) Propon´e un punto R que tenga sus coordenadas x e y iguales a las coordenadas de P , y que tenga distancia a Q igual a
Vectores
Un vector en R^3 con su punto inicial en el origen, puede representarse mediante una terna ordenada que, en coordenadas cartesianas, se expresa:
~v = (vx, vy , vz ) = vxˆi + vyˆj + vzˆj
Dados dos vectores no nulos ~v, w~ y α el ´angulo comprendido entre ellos, su producto escalar es:
~v · w~ = vx · wx + vy · wy + vz · wz = ‖~v‖ · ‖ w~‖ · cos(α)
Dos vectores no nulos son ortogonales si su producto escalar es igual a cero.
Dos vectores no nulos son paralelos si existe un k ∈ R tal que ~v = k · w~.
Ecuaci´on del plano en R^3
Dados un punto P = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) y un vector ~n = (a; b; c) , la ecuaci´on vectorial del plano que pasa por el punto P y cuyo vector normal es ~n, es:
[(x; y; z) − (x 0 ; y 0 ; z 0 )] · (a, b, c) = 0
[(x; y; z) − P ] · ~n = 0 Esta ecuaci´on es equivalente a la ecuaci´on impl´ıcita:
a · (x − x 0 ) + b · (y − y 0 ) + c · (z − z 0 ) = 0
a · x + b · y + c · z + d = 0
Problema 5. Encontr´a en cada caso la ecuaci´on general del plano que cumple las condiciones pedidas.
a) Pasa por el punto P = (−1; 1; 3) y es normal al vector ~v = (−1; 2; −1). b) Contiene al punto Q = (−1; 2; 3) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A = (2; 0; 1) y B = (3; 1; 2). c) Contiene al punto N = (−3; −2; −1) y tiene como vector normal al vector RN~ , con R = (5; 2; 1). d ) Es paralelo al plano 2x − 2 y + z = 2 y pasa por el punto K = (1; −1; 1).
Problema 6. Dadas las ecuaciones de las rectas:
L 1 : (x; y; z) = (1; 2; 2) + k(−3; −1; −1)
L 2 : (x; y; z) = (0; −1; −3) + t(2; −2; −4)
a) Comprob´a que las rectas se intersecan en el punto (−2; 1; 1). b) Hall´a la amplitud del ´angulo que forman las rectas. c) Calcul´a, en forma aproximada, el ´angulo que forma la recta L 1 con cada uno de los ejes coordenados.
Problema 7. Dadas las ecuaciones de los planos:
α 1 : x + 2y − 2 z − 5 = 0 α 2 : 3x − 6 y + 3z − 2 = 0 α 3 : 2x + y + 2z + 1 = 0 α 4 : x − 2 y + z − 7 = 0
a) Entre ellos hay un par de planos que son paralelos. ¿Cu´ales? ¿Por qu´e? b) Entre ellos hay un par de planos que forman un ´angulo recto. ¿Cu´ales? ¿Por qu´e? c) Calcul´a la distancia entre los planos paralelos. d ) Hall´a el ´angulo β que forman α 2 y α 3.
Problema 8. Hall´a el punto de intersecci´on entre la recta definida por x = y −− 12 = z −− 23 y el plano x + 2y + z − 7 = 0.
Circunferencia Elipse (a > b ; c^2 = a^2 − b^2 ;e = ca )
(x − h)^2 + (y − k)^2 = r^2 x
2 a^2 +^
y^2 b^2 = 1^
x^2 b^2 +^
y^2 a^2 = 1
Centro = (h, k), radio = r F 1 , 2 = (±c, 0) F 1 , 2 = (0, ±c)
Par´abola Hip´erbola (c^2 = a^2 + b^2 ;e = ca )
(y−k)^2 =2p(x−h) (x−h)^2 =2p(y−k) x
2 a^2 −^
y^2 b^2 = 1^
y^2 a^2 −^
x^2 b^2 = 1
V = (h, k) F 1 , 2 = (±c, 0) F 1 , 2 = (0, ±c) p = distancia foco-directriz As´ıntotas: y = ± (^) ab x As´ıntotas: y = ± ab x
Problema 9. Dadas las siguientes ecuaciones:
α 1 : y = 3x^2 α 2 : x^2 + y^2 = 4 α 3 : y^2 + x^2 = 9
α 4 :
x^2 9
y^2 16
= 1 α 5 :
x^2 9
y^2 16
= 1 α 6 : x = −
y^2
a) Identific´a a qu´e curva corresponde cada una de ellas. b) Decid´ı si el punto (− 3 , 0) pertenece o no a cada una de ellas. c) Indic´a tres puntos que pertenezcan a cada una de ellas. d ) Decid´ı en cada caso cu´al debe ser la coordenada x para que el punto (x, 3) pertenezca a la curva.
Problema 10. Calcul´a las coordenadas del foco, la ecuaci´on de la directriz y represent´a gr´afica- mente las par´abolas de ecuaci´on:
a) y = − 2 x^2 b) 3y^2 + 8x = 0
Te ofrecemos las siguientes pistas para resolver este problema:
Plante´a la ecuaci´on general para cada par´abola. Indic´a cu´al es la ecuaci´on del eje de simetr´ıa. ¿En qu´e eje est´an ubicados el v´ertice y el foco? ¿Por qu´e? ¿A qu´e eje es paralela la recta directriz?
