Pr`actica 4, GDC-Grup A, 06/07
Curvatura de corbes planes. Circumfer`encia osculatriu, evoluta
Siga αuna corba plana parametritzada per la seua longitud d’arc i definida en ]a, b[ i siga
s∈]a, b[ tal que κ(s)6= 0. Es defineix la circumfer`encia osculatriu a la corba αen el punt
α(s) com a la circumfer`encia de radi 1
|κ(s)|i de centre
α(s) + 1
κ(s)
−→
nα(s).
El centres d’aquestes circumfer`encies s’anomenen centres de curvatura i la corba que de-
scriuen s’anomena l’evoluta de la corba α.
(1) Quina ´es la corba evoluta d’una circumfer`encia de radi R?
(2) Calcula i dibuixa les circumfer`encies osculatrius a l’el·lipse x2
4+y2= 1 en els
seus v`ertexs. (Nota: quan la corba no est`a parametritzada per la longitud d’arc,
α(t) = (x(t), y(t)), aleshores κ(t) == x0y00−x00 y0
(x02+y02)3
2
(t).
(3) Demostra que si ˙κno canvia de signe entre dos punts d’una corba plana, α,
aleshores la difer`encia dels radis de curvatura en tals punts ´es igual a la longi-
tud d’arc compresa entre els punts corresponents de la corba descrita pels centres
de curvatura.)
(4) Suposem que α´es la cicloide invertida
α(t) = (t−sin(t),cos(t)−1), t ∈R.
Calculeu l’evoluta, β, de la corba α.
(5) Demostreu que
β(t) = α(t−π)+(π, 2).
´
Es a dir, l’evoluta de la cicloide ´es una altra cicloide.
1 2 3 4 56
-2
-1
1
2
α(t)
β(t)
α(0) = β(0)
β(π)
1