PRÀCTIQUES DE CRISTAL·LOGRAFIA, Ejercicios de Cristalografía

¡Descarga PRÀCTIQUES DE CRISTAL·LOGRAFIA y más Ejercicios en PDF de Cristalografía solo en Docsity!

PRÀCTIQUES

DE CRISTAL·LOGRAFIA

1r CURS GRAU DE GEOLOGIA

CURS 2018-

PRESENTACIÓ

En aquesta guia es presenta una col·lecció de pràctiques i problemes ordenats d’acord amb els diferents blocs de l’assignatura. La seva tria i elaboració respon a la tasca duta a terme per molts membres del Departament de Cristal·lografia, Mineralogia i Dipòsits Minerals al llarg dels anys d’ensenyament de la Cristal·lografia. Amb la seva realització l’estudiant pot progressar en el coneixement i pràctica de l’assignatura juntament amb el necessari estudi i comprensió dels aspectes teòrics explicats a classe. Es proposa un nombre d’exercicis superior al que es realitzaran en les sessions de pràctiques presencials, de tal manera que en un mateix document, l’alumne compti amb un ampli ventall d’exercicis que pot resoldre pel seu compte per tal d’assolir el nivell exigit en l’assignatura. Cal dir que tots els problemes i pràctiques que es presenten, tot i tenir una dificultat variable, s’adeqüen al nivell de l’assignatura i per tant, l’alumne ha de saber resoldre’ls gairebé tots per a aconseguir un bon domini de la mateixa. Les sessions de pràctiques estan pensades per que sigui el propi estudiant el que realitzi els problemes i pràctiques proposades amb l’ajuda i explicacions dels professors. Per a un bon rendiment en aquestes sessions és imprescindible que l’alumne estudiï la matèria que ja ha estat explicada. També cal portar el material necessari per a la seva realització: regle, calculadora, paper mil·limetrat, paper vegetal, llapis, goma i tot aquell que el professorat indiqui. Finalment, es recorda que a més de la present guia de pràctiques, l’alumnat disposa d’altres col·leccions de problemes de Cristal·lografia que es donen a la bibliografia de l’assignatura. Els professors

9. Trobeu els espaiats reticulars del pla (111) i del pla ( 1 11). a) Per un cristall de paràmetres a = 16.2 Å; b = 5.6 Å i c = 10.0 Å , α = β = γ = 90. b) Per un cristall amb a = b = 5.6 Å; c = 10.0 Å , α = β = 90º i γ = 120
10. Per a un cristall triclínic (a ≠ b ≠ c, α ≠ β ≠ γ ≠ 90º), trobeu els índexs de Miller del pla reticular que passa pels nusos de coordenades (2,0,0), (0,1,0) i (0,0,3). Trobeu també el vector de la xarxa recíproca perpendicular al pla.
11. Un cristall de paràmetres de la cella a = b = 5 Å ; c = 6.55 Å, α = β = 90º i γ = 120 , té un àtom A a (0,0,0), un B a (2/3,1/3,1/4) i un C a (1/3,-1/3,1/4). Determineu el vector perpendicular al pla que defineixen aquests tres àtoms.
12. En una transformació de sistemes d'eixos s'obtingueren els següents canvis en els índexs de plans: (210)  (212) (101)  (102) (012)  (012) Trobeu els nous índexs per a (111) i [111] en el nou sistema d'eixos.
13. La baddeleyita (ZrO 2 ) cristal·litza en el sistema monoclínic, amb els paràmetres a = 5.15, b = 5.20 i c = 5.31 Å, α = γ = 90 i β = 99.19. Els àtoms de Zr ocupen les posicions: x y z x y z Zr 1 0.2742 0.0389 0.2095 Zr 3 0.7258 0.9611 0. Zr 2 0.2742 0.4611 0.7095 Zr 4 0.7258 0.5389 0. i els oxígens O 1 0.0628 0.3279 0.3471 O 5 0.9372 0.6721 0. O 2 0.0628 0.1721 0.8471 O 6 0.9372 0.8279 0. O 3 0.4485 0.7754 0.4819 O 7 0.5515 0.2246 0. O 4 0.4485 0.7246 0.9819 O 8 0.5515 0.2754 0. a) Representeu la cel·la elemental i projecteu els àtoms en les seves posicions correctes. b) Trobeu les distàncies entre els àtoms Zr 1 O 1 i Zr 1 O 2 ', sent l'àtom O 2 ', l'equivalent de l'O 2 per una translació [ 001 ] c) Calculeu l'angle O 1 Zr 1 O 2 ' d) Trobeu l'espaiat reticular dels plans (110) i (121) e) Determineu l'equació del pla definit pels àtoms O 1 , Zr 1 i O 2 ' f) Calculeu l'angle que fa aquest pla amb els eixos cristal·logràfics. g) Determineu el volum de la cel·la.

CÀLCUL MORFOLÒGIC

1. Trobeu els índexs de Miller de les arestes determinades pels següents parells de cares: (212) i (120); (311) i (201); ( 2 10) i (32 2 ).
2. Trobeu els índexs de Miller de les cares determinades per les arestes: [100] i [110]; [212] i [312].
3. Comproveu si la cara (112) pertany a la zona [ 2 01].
4. Trobeu el símbol de la zona que conté les cares (112) i (341).
5. Pot pertànyer una cara simultàniament a les zones [121], [101] i [343]. Raoneu la resposta.
6. Demostreu que les cares (111), (231) i ( 1 24 )són tautozonals. Trobeu el símbol de la zona i calculeu l'angle entre aquesta i la zona [100] en el sistema cúbic (a = b = c, α = β = γ = 90).
7. En un cristall tetragonal (a = b  c, α = β = γ = 90) l'angle entre les normals a les cares (hk0) i (h k 0) és de 5310'. Calculeu els índexs h i k.
8. En un cristall ròmbic amb relació paramètrica a:b:c = 0.813:1:1.903 hi ha un pla (hkl) orientat de tal manera que els angles (001)^(hkl) i (010)^(hkl) mesuren respectivament 5530' i 7733'. Determineu els índexs (hkl).
9. Trobeu l’angle entre l’aresta [111] i la normal a la cara (111) en els casos següents: a) Un cristall cúbic b) Un cristall tetragonal amb a = 5.67 Å i c = 12.70 Å SIMETRIA PUNTUAL
10. Determineu la simetria, el grup puntual i el sistema cristal·lí dels políedres de fusta que es proporcionen.
11. Una rotació de 90 al voltant de l'eix Z, s'expressa matemàticament com la següent matriu: 

Trobeu les matrius corresponents a les rotacions de 180 , 270  i 360 . Comproveu que el conjunt de les quatre matrius té estructura de grup cíclic d'ordre quatre amb l'operació producte.

( x, y,z ); ( x, y,z); ( 1 / 2  x, 1 / 2 y,z); ( 1 / 2 x, 1 / 2 y,z) amb x = 0.21; y = 0.37; z = 0. c) Dos àtoms d'un tipus per cel·la situats a: (1/2,0,0); (0,1/2,1/2). Dos d'un altre tipus localitzats a: (0,0,1/2); (1/2,1/2,0).

3. El CdCl 2 pertany al sistema trigonal. Les coordenades dels àtoms en la cel·la hexagonal són: Cd: (0,0,0); Cl: (2/3,1/3,1/12) més les translacions de la xarxa múltiple hexagonal: (0,0,0), (2/3,1/3,1/3), (1/3,2/3,2/3) projecteu vàries cel·les sobre el pla (0001) i identifiqueu la cel·la romboèdrica de volum més petit. Expresseu les coordenades atòmiques pel Cd i el Cl.
4. Per a les xarxes monoclíniques existeixen vàries possibilitats d'orientació, segons es prengui l'angle més gran de 90 com α, β o γ. Normalment es pren α = γ = 90, β > 90. Tanmateix, s'empra també l'orientació en que γ > 90. Trobeu la matriu de transformació d'un a l’altre sistema de referència i expresseu gràficament aquestes dues possibilitats.
5. Com aplicació de l’exercici anterior, projecteu sobre el pla definit per a y b el grup espacial monoclínic C1m1 (Cm), emprant α = γ = 90, β > 90. Projecteu el mateix grup espacial, però prenent α = β = 90, γ > 90. Doneu la notació en la nova orientació.
6. Siguin les xarxes següents amb els paràmetres de la cel·la elemental que s’indiquen: Monoclínica P: a = 5.5, b= 4.5, c = 4.0 Å; β = 105º Monoclínica C: a = 5.5, b= 4.5, c = 4.0 Å; β = 105º Ròmbica P: a = 3.0, b = 4.5, c = 4.0 Å Tetragonal P: a = 4.0, c = 3.0 Å Hexagonal P: a = 4.0, c = 3.0 Å Trigonal R: a = 4.0, c = 3.0 Å a) Projecteu les cel·les unitat de cadascuna de les xarxes en el pla (001), en el cas de la xarxa monoclínica en el pla (010). Utilitzeu l’escala de 1 Å = 1 cm. b) Determineu les operacions de simetria de les xarxes i dibuixeu-les a les projeccions de les cel·les respectives. Diferencieu amb diferents colors els elements de simetria segons la direcció de la cel·la a la que corresponen. c) Doneu el símbol del grup espacial en cada cas.

SIMETRIA ESPACIAL

1. En les figures d’Escher
   • i altres dibuixos periòdics bidimensionals reproduïts en les pàgines següents, es demana: a) Definiu les cel·les fonamentals. b) Busqueu els elements de simetria c) Definiu el contingut de la cel·la i la unitat asimètrica. d) Analitzeu si la cel·la prèviament definida i la simetria trobada són compatibles. e) Busqueu la multiplicitat (nombre d'unitats asimètriques contingudes en la cel·la) i compareu aquest nombre amb la multiplicitat del grup de simetria. f) Digueu a quin tipus de xarxa plana pertany cada dibuix periòdic. g) Si cal, traslladeu la cel·la definida inicialment de manera que coincideixi amb els elements de simetria.

• (^) MacGillavry, C. H. Symmetry aspects of M.C. Escher's periodic drawings. 2nd ed. International Union of Crystallography by Bohn, Scheltema & Holkema. Utrecht, 1976.

2. Demostreu que una línia de reflexió combinada amb una translació perpendicular produeix una nova línia de reflexió a mig camí entre les línies de reflexió equivalents per la translació.
3. Dibuixeu els grups plans cg i cm mostrant tots els elements de simetria. Digueu quina relació hi ha entre ambdós grups.
4. Feu una representació convencional del grup espacial C2/c: a) Projecteu una xarxa monoclínica de tipus C sobre el pla (001), segons la direcció de la translació c. b) Col·loqueu un eix binari i un pla de lliscament de tipus c en posicions compatibles amb la xarxa. c) Col·loqueu en una posició general (x,y,z) un símbol (per exemple una F) que representi un àtom. Apliqueu-li les translacions de la xarxa C i a tots els àtoms així obtinguts apliqueu-les-hi la simetria de la notació del grup 2/c. d) Deduïu les restants operacions de simetria del grup espacial i doneu les coordenades de tots els àtoms equivalents a l'àtom inicial (x,y,z). e) Representeu el mateix grup espacial projectat sobre el pla (010), repetint els mateixos passos que en el cas anterior.
5. Pels següents grups espacials: P2 1 /c; Pna2 1 i Pbcn determineu: a) Les posicions equivalents a la (x,y,z). b) Les posicions especials del grup c) La multiplicitat del grup d) Feu-ne una representació convencional.
6. El diòxid de plom cristal·litza en el sistema ròmbic, a = 4.99; b = 5.95 i c = 5.47 Å Els àtoms d'oxigen ocupen les posicions: (x,y,z); (1/2-x,1/2+y,z); (x,-y,1/2+z); (1/2+x,1/2+y,1/2-z); (-x,-y,-z); (1/2+x,1/2-y,-z); (-x,y,1/2-z); (1/2-x,1/2-y,1/2+z) x = 0.27, y = 0.40 i z = 0.43. I els àtoms de plom: (0,y',0.25); (0.5,y'+1/2,0.25); (0,-y',0.75); (0.5,1/2-y',0.75) y' = 0.18. Projecteu l'estructura i indiqueu: La fórmula del compost Elements de simetria, grup espacial i la multiplicitat del grup La unitat asimètrica i Z Quins àtoms estan en posició especial

DIFRACCIÓ DE RAIGS X

1. El paràmetre de la cel•la cúbica del NaCl és de 5.64Å. a) Calculeu l'angle de Bragg corresponent a les reflexions d'índexs 200 i 420 utilitzant la radiació Kα1 del Mo de λ=0.709Å. b) Per a les mateixes reflexions 200 i 420, calculeu l'increment de l'angle de reflexió Δθ, que separa les posicions d’aquestes per a les dues components Kα1 i Kα2 del Mo, sabent que Kα2=0.713Å.
2. A 25C, el α-Fe cristal·litza en el sistema cúbic amb paràmetre a=2.86Å. Les coordenades dels àtoms són (0,0,0) i ( 1 / 2 , 1 / 2 , 1 / 2 ) que corresponen a una xarxa I. Els factors de difusió atòmica del Fe (Z=26) són els següents: sin θ/λ (^) 0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0. fFe 26.00 25.30 23.68 21.85 20.09 18.40 16.77 15.29 13. sin θ/λ 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 1. fFe 11.47 9.71 8.47 7.60 6.99 6.51 6.12 5. La longitud d'ona utilitzada en els experiments de difracció de raigs X és la Kα del Cu, λ=1.542Å. a) Dibuixeu el gràfic dels factors de difusió atòmica del Fe en un paper mil·limetrat. b) Calculeu els factors de difusió atòmica de les reflexions del α-Fe: 200, 110, 111 i 321. c) Calculeu els factors d'estructura Fhkl dels plans reticulars de la pregunta b). Indiqueu les extincions sistemàtiques. d) El Fe també cristal·litza en una xarxa cúbica compacta. El paràmetre de la cel·la és 3.59Å. Repetiu les qüestions b) i c) per a aquest cas.
3. El compost NiSi és ròmbic. El seu espectre de difracció presenta les següents reflexions: 111 121 211 231 241 331... hkl 022 013 026 051 046 011... 0kl 102 201 304 105 101 103... h0l 210 220 410 420 630 650... hk 200 400 600 800 10, 0, 0... h 020 040 060 080 0 ,10, 0... 0k 002 004 006 008 0, 0, 10... 00l Determineu el grup espacial del compost, sabent que el seu grup puntual és el mmm.
4. Determineu els grups espacials que poden presentar les següents reflexions: hkl 319 329 227 115 0kl 022 021 031 h0l 202 402 102 104 304 hk0 110 220 240 h00 200 400 0k0 040 060 Un dels possibles pertany al grup puntual mm2 i l'altre al mmm. En el primer cas,

per expressar el símbol del grup espacial en la forma estàndard, cal realitzar un canvi d'eixos de (XYZ) a (ZYX). En el segon cas, cal realitzar el canvi de (XYZ) a (ZXY). Feu aquests canvis i doneu els nous símbols.

5. Determineu el paràmetre de xarxa i el tipus de xarxa, si el difractograma de l'Au (cúbic) presenta els màxims de difracció en el següents valors de d(Å): 2.355; 2.039; 1.442; 1.230; 1.1774; 1.0196; 0.9358; 0.9120, 0.8325Å.
6. Identifiqueu a partir de les fitxes JCPDS que s'adjunten, els compostos existents en la mostra el difractograma de la qual s'indica a continuació d(Å) I rel d(Å) I rel 4.0411 2 2.1667 1 3.8861 1 2.0864 1 3.7028 4 2.0643 3 3.5066 15 2.0148 9 3.2597 8 1.9948 47 3.1239 1 1.8700 2 2.8898 84 1.8474 3 2.8242 100 1.8027 14 2.6714 6 1.7857 13 2.5389 5 1.7491 2 2.4761 1 1.7016 2 2.4049 5 1.6488 1 2.3305 2 1.6292 11 2.2134 3 1.5655 2 2.1926 17 1.5444 4
7. En un diagrama de difracció de pols d’un compost tetragonal trobem els màxims de difracció 210 i 002 en els angles 21.87º i 32.42º respectivament. La radiació utilitzada és la K del Cu de  = 1.542Å. Determineu els paràmetres de la cel·la fonamental.