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ARITMÉTICA

P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L

Ciclo : Anual Virtual UNI

Docente: Ramiro Diaz

TEORIA DE

NUMERACIÓN I

INTRODUCCIÓN

A partir de este capítulo iniciamos el estudio

de la aritmética práctica; la cual se caracteriza

por una teoría más densa con respecto a la

aritmética razonada.

Pero cuyos problemas son mayormente de

forma algorítmica es decir de procedimiento

paro los cuales debemos tener en cuenta los

aspectos teóricos, propiedades y teoremas de

cada uno de los capítulos correspondientes.

Este primer capítulo de la aritmética práctica

nos permitirá conocer al número a sus

propiedades, características; los sistemas de

numeración y sus principios fundamentales

más comunes.

“No es de la esencia de las

matemáticas para estar al

corriente de las ideas de

número y cantidad”

GEORGE BOOLE (1815 – 1864)

NOCIONES PREVIAS

NÚMERO

Es una abstracción matemática que

nos da la idea de cantidad

NUMERAL Es la representación de un número

mediante ciertos símbolos o guarismos.

CIFRA

Son los símbolos convencionales que se

utilizan para representar un número.

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8;9;…

Cifras significativas

Cifra no

significativa

DE LA BASE

Es un número entero positivo mayor que la unidad

(≥ 2 ); el cual nos indica cuantas unidades de un

determinado orden se deben agrupar para formar

una unidad del orden inmediato superior.

La base se escribe como sub índice excepto en la

base diez (sistema decimal), en el cual se sobre

entiende.

EJEMPLO EXPLICATIVO

Expresar trece unidades en :

BASE DIEZ

U

D

BASE SIETE

BASE CINCO

orden

orden

BASE TRES

orden

SE OBSERVA : 1 6

+

- -

+

a mayor numeral

aparente

menor base

y

a menor numeral

aparente

mayor base

C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A

C U R S O D E A R I T M É T I C A

ALGUNOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN.

Base Nombre del sistema Cifras a usar

2 3 4 5 6 7 8 9

10

11

12

n

Binario

Ternario

Cuaternario

Quinario

Senario

Heptanario

Octanario

Nonario

Decimal

Undecimal

Duodecimal

0; 1

0; 1; 2

0; 1; 2; 3

0; 1; 2; 3; 4

0; 1; 2; 3; 4; 5

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

0; 1; 2; 3; … ; 7

0; 1; 2; 3; … ; 8

0; 1; 2; 3; … ; 9

0; 1; 2; 3; … ; 9; (10)

0; 1; 2; 3; … ; (10); (11)

0; 1; 2; 3; …… ( n- 1 ) enesimal

REPRESENTACIÓN LITERAL DE LOS NUMERALES

Cuando no se conoce por lo menos una cifra o la base

de un numeral, estas se pueden representar mediante

letras con las siguientes consideraciones

1. Si no se indica la base debe ser 10 ; además letras

diferentes no indica cifras distintas, a menos que se

indique.

Ejemplos

Numeral de tres cifras

abc ∶ 100 ; 101 ;102; … ; 999

Numeral de dos cifras

en base 4 ab

4

4

4

4

4

4

Numeral de dos cifras

diferentes en base 3

ab

3

3

3

3

3

EXAMEN DE ADMISIÓN UNI 1994 - I

4

, 2 bc

α

, bb

c

Si los siguientes números son diferentes de cero.

determinar :

𝛼 .c

b

A)6 B)5 C)4 D)3 E)

RESOLUCIÓN

Piden :

𝛼 .c

b

de los numerales

4

, 2 bc

α

, bb

c

Se observa

1 ≤ b < c < α < 4

𝛼. c

b

Clave:A

EXAMEN DE ADMISIÓN UNI 2003 - II

Hallar la suma de los elementos del conjunto

𝑎

2

𝑎 𝑎 + 1 ;tal que 𝑎 es entero positivo}

A)1148 B)1224 C)124 D)1272 E)

RESOLUCIÓN

Piden suma de elementos del conjunto

del numeral

𝑎

2

Se observa 𝑎 + 1 ≤ 9

Luego 𝑎: 2 , 4 , 6 , 8

Si

+

Clave:B

NUMERAL CAPICÚA

Son aquellos numerales cuyas cifras equidistantes son

iguales. También se podría decir que un numeral

capicúa es aquel que si se lee de izquierda a derecha

como de derecha a izquierda su valor no cambia

Ejemplos

7

aa ; mnnm

8

9

;somos

OBSERVACIÓN

Las palabras o frases del lenguaje con estás

características se llaman PALINDROMOS.

Ejemplos

asa; ala;

reconocer; la ruta natural ;

no traces en ese cartón

APLICACIÓN

Si el numeral m a + 2 n + 2 7 (a − 3 )

12

es capicúa,

Determine el máximo valor de : a + m + n

RESOLUCIÓN Piden el máximo valor de a + m + n

Del numeral tenemos

m a + 2 n + 2 7 (a − 3 )

12

a + 2 = 7

a = 5

m = a - 3 m = 5- 3 m = 2

También

n + 2 < 12

n < 10

n

máx

( a + m + n)

máx

2. ¿Cuántos numerales de la forma

𝑎 2𝑏 3𝑐 + 2

;existen?

Solución

El ejemplo anterior podría equivocadamente

llevarnos a, pensar que se tabulan la cantidad de

valores enteros que adopta la variable.

Lo cual no es así se tabulan los valores que adoptan

las cifras.

Para nuestro ejemplo

Las cifras son : 𝑎 , 2 𝑏 , 3 𝑐 + 2 , (

𝑑

3

Luego tendremos

Valores que

adoptan las

cifras

Cantidad de

números :

x x x 10 =

se tendrán 9000 números de dicha forma

3. ¿Cuántos numerales de la forma

𝑎 2𝑏 3𝑐 + 2

;existen si 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑦 𝑑 ∈ Ζ

Solución

Notemos que es similar al ejemplo anterior pero en

este caso nos dicen que 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑦 𝑑 ∈ Ζ

Para lo cual se observa que:

Ya que

𝑐: 1 , 2 Ya que

Luego tendremos

Cantidad de

números :

x

x

x

se tendrán 720 números de dicha forma

w w w. a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o. e d u. p e