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** Probabilidad **
Definicion. Se refiere al estudio de azar y la incertidumbre en cualquier situación en la cual varios posibles sucesos pueden ocurrir; la disciplina de la probabilidad proporciona métodos de cuantificar las oportunidades y probabilidad asociadas con un suceso.
Ejemplos:
Existen 50-50 probabilidades de que la persona con posesión de su cargo busque la reeleccion Probablemente se ofrecera por los menos una sección del curso el proximo año Las probabilidades favoreceran la rápida solución de la huelga Se espera que se vendan por lo menos 20000 boletos para el concierto
EXPERIMENTO
Es toda accion o proceso cuyo resultado esta sujeto a la incertidumbre
Ejemplos:
Lanzar al aire una moneda una vez o varias veces Seleccionar una carta o cartas de un mazo Pesar una pieza de pan El tiempo de recorrido de la casa al trabajo en una mañana particular Obtener tipos de sangre de un grupo de individuos Medir las resistencias a la compresión de diferentes vigas de acero
EXPERIMENTO DETERMINISTICO
Es un experimento que si se realiza partiendo de las mismas condiciones, producen el mismo resultado por muchas veces que se repita.
Ejemplo:
Si hoy es martes, mañana sera miercoles Si un numero natural es par, el siguiente será impar
EXPERIMENTO ALEATORIO
Es un experiemento cuyo resultado no se puede predecir con exactitud, incluso cuando se realiza en las mismas condiciones los resultados pueden ser distintos
Ejemplo:
Lanzar undado o una moneda El próximo sorteo de la loteria nacional
Supóngase que se toma una muestra de aire de un tanque de almacenamiento, para analizar la presencia de una molécula rara. Los resultados de este experimento pueden reasumirse de una manera muy sencilla: la muestra contiene o no la molécula.
RESULTADO
El resultado de un experimento quizás sea una simple elección entre dos posibilidades: ser el resultado de una medición o conteo directos, o bien, ser una respuesta obtenida despues de mediciones y cálculos exhaustivos.
Espacio muestral
El conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio recibe el nombre de espacio muestral del experimento. El espacio muestral se denota con la letra 𝑆.
Ejemplo:
1.- Supóngase que se analiza un cilindro de aire, para detectar la presencia de una molécula rara.
𝑆 = {𝑠𝑖, 𝑛𝑜}
2.- Si cuatro contratistas entrar en una licitación por un contrato para la construcción de una autopista, y con 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑 se denota que se concede a los señores Adam, Brown, Clark o Dean, respectivamente.
𝑆 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}
3.- Cuando una agencia gubernamental debe decidir dónde ubicar dos nuevas instalaciones de investigación en cómputo y que (por alguna razón) es de interés indicar cuántas de ellas se localizaran en Texas y cuántas en California.
Evento en donde Texas no tendrá ninguna instalación de investigación
Evento en donde Texas y california tendrán igual número de instalaciones
Evento en que el número de bombas en uso es el mismo en ambas gasolineras.
Evento en que el número de bombas en uso es cuatro.
Ejemplo:
1.-
𝐶 = {(1,0)(0,1)}
2.- Del ejemplo de las gasolineras
𝐴 = {(0,0)(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)} =
Ejercicios
3.1 (Miller y Freud) Un ingeniero ambiental sospecha de contaminación por mercurio en un área que contienen tres lagos y dos ríos. Verificará los cinco para indicios de contaminación por mercurio. a) Exprese cada resultado usando dos coordenadas, de modo que (2,1); por ejemplo, represente el evento de que dos de los lagos y uno de los ríos estarán contaminados. Dibuje un diagrama, similar al de la figura 3.1, que muestre los 12 resultados en el espacio muestral. b) Si 𝑅 es el evento de que igualmente tanto lagos como ríos están contaminados, 𝑇 es el evento de que ninguno de los ríos esté contaminado
1.- (Sección 2.1, Devore) Cuatro Universidades, 1,2,3 y 4 están participando en un torneo de basquetbol. En la primera ronda, 1, jugará con 2 y 3 jugara con 4. Acto seguido los ganadores jugarán por el campeonato y los dos perdedores también jugarán. Un posible resultado puede ser denotado por 1324 (1 derrota a 2 y 3 derrota a 4 en los juegos de la primera ronda y luego 1 derrota a 3 y 2 derrota a 4). a) Enumere todos los resultados en 𝑆. b) Que 𝐴 denote el evento en que 2 gana el juego de campeonato. Enumere los resultados en 𝐵.
Es el evento en donde Texas y California tendrán una de las dos instalaciones de investigación
Evento en que ni Texas ni California obtendrán las dos nuevas instalaciones
Evento en el que Texas no conseguirá ninguna de las nuevas instalaciones y California obtendrá solo una
Evento en el que Texas obtendrá, al menos , una de las nuevas instalaciones de investigación en computación.
Tarea
Ejercicio 2 de la sección 2.1 del libro de Devore 8va edición. Inciso a, b y c
Algunas relaciones de la teoría de conjuntos
- El complemento de un evento 𝐴, denotado por 𝐴′, es el conjunto de todos los resultados en 𝑆 que no están contenidos en 𝐴.
- La unión de dos eventos 𝐴 y 𝐵. Denotados por 𝐴 ∪ 𝐵 y leídos "𝐴 𝑜 𝐵", es el evento que consiste en todos los resultados que están 𝑒𝑛 𝐴 o 𝑒𝑛 𝐵 o 𝑒𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 (de tal suerte que la unión incluya resultados donde tanto 𝐴 como 𝐵 ocurren, así también resultados donde ocurre exactamente uno), es decir, todos los resultados en por los menos uno de los eventos.
- La intersección de dos eventos 𝐴 y 𝐵, denotada por 𝐴 ∩ 𝐵 y leída "𝐴 𝑦 𝐵", es el evento que consiste en todos los resultados que están tanto en 𝐴 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝐵.
Ejemplo:
1.- Con referencia al espacio muestral de la figura 3.1 y los eventos 𝐶, 𝐷 y 𝐸,
𝑆 = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)}
𝐶 = {(1,0)(0,1)} 𝐷 = {(0,0)(0,1)(0,2)} 𝐸 = {(0,0)(1,1)},
mencione los resultados que comprenden cada uno de los siguientes eventos; asimismo, exprese los eventos con palabras:
a) 𝐶 ∪ 𝐸; b) 𝐶 ∩ 𝐷; c) 𝐷′
Resultado
a) 𝐶 ∪ 𝐸 = {(1,0)(0,1)(0,0)(1,1)} =
b) 𝐶 ∩ 𝐷 = {(0,1)} =
d) 𝐷′^ = {(1,0)(2,0), (1,1)} =
Ejercicios
3.3 (Miller y Freud). Con referencia al ejercicio 3.1, mencione los resultados que comprenda cada uno de los siguientes eventos, y también exprese con palabras los eventos.
𝑆 = {(0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)(1,2)(2,0)(2,1)(2,2)(3,0)(3,1)(3,2)}
𝑅 = {(0,0)(1,1)(2,2)} 𝑇 = {(0,0)(1,0)(2,0)(3,0)} 𝑈 = {(0,1)(0,2)(1,2)}
a) 𝑅 ∪ 𝑈 b) 𝑅 ∩ 𝑇 c) 𝑇’
3.5 (Miller y Freud). Para construir espacios muestrales para experimentos donde se trata con datos no numéricos, a menudo se codifican las diversas alternativas al asignarles números. Por ejemplo, si a un mecánico se le pregunta si trabajar en cierto modelo de automóvil es muy fácil, fácil, promedio, difícil o muy difícil, puede asignarse a dichas alternativas los códigos 1, 2, 3, 4, y 5. Si 𝐴 = {3,4}, 𝐵 = {2,3} (^) y 𝐶 = {4,5}, exprese simbólicamente, y también con palabras, cada uno de los siguientes resultados al mencionar sus elementos. a) 𝐴 ∪ 𝐵 = {2,3,4} b) 𝐴 ∩ 𝐶 = {3} c) 𝐶′ = {1,2,3}
3.3 (Miller y Freud). Con referencia al ejercicio 3.5, ¿cuál de los tres pares de eventos, 𝐴 y 𝐵, 𝐴 y 𝐶 y 𝐵 y 𝐶, son mutuamente excluyentes?
𝐴 y 𝐵 𝐴 y 𝐶 𝐵 y 𝐶
- Cada muestra de cuatro hipotecas residenciales está clasificada como tasa fija (𝐹) o tasa variable (𝑉). a) ¿Cuáles son los 16 resultados en 𝑆? b) ¿Qué resultados están en el evento en que exactamente tres de las hipotecas seleccionadas son de tasa fija? R= 2,3,5, c) ¿Qué resultados están en el evento en que las cuatro hipotecas son del mismo tipo? R= 1, d) ¿Qué resultados están en el evento en que a lo sumo una de las cuatro es una hipoteca de tasa variable? R= 1,2,3,5, e) ¿Cuál es la unión de eventos en los incisos c) y d) y cuál es la intersección de estos dos eventos? R= La unión (1, 2, 3, 5, 9,16) describe el evento de que las cuatro hipotecas son del mismo tipo o que a lo sumo una de las cuatro hipotecas es de tasa variable. La intersección (1) es el evento donde todas las hipotecas son fijas.
f) ¿Cuáles son la unión e intersección de los eventos en los incisos b) y c)? R= La unión (1, 2, 3, 5, 9, 16) es el evento donde exactamente tres de las hipotecas son de tasa fija o que las cuatro hipotecas son del mismo tipo. La intersección con palabras es el evento de que exactamente tres de las hipotecas sean de tasa fija y que cuatro hipotecas sean del mismo tipo. Esto no puede suceder (No hay resultados en común): 𝐵 ∩ 𝐶 = ∅
Tarea
2.1 (Wackerly) Suponga que una familia contiene dos hijos de edades diferentes y estamos interesados en el género de estos niños. Denotemos con 𝐹 que una hija es mujer y 𝑀 que el hijo es hombre y denote con un par, por ejemplo 𝐹𝑀, que le hijo de mayor edad es la niña y el más joven es el niño. Hay cuatro puntos en el conjunto 𝑆 de posibles observaciones:
𝑆 = {𝐹𝐹, 𝐹𝑀, 𝑀𝐹, 𝑀𝑀}
Denote con 𝐴 el subconjunto de posibilidades que no contenga hombre; 𝐵, el subconjunto que tiene dos hombres; y 𝐶, el subconjunto que contenga al menos un hombre. Indique los elementos de:
𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐶, 𝐴 ∪ 𝐶, 𝐵 ∩ 𝐶 y 𝐶 ∩ 𝐵′.
Diagrama de Venn
Los espacios y eventos, en particular las ralaciones entre eventos, a menudo se representan con diagramas de Venn
Ejercicios
3.9 (Miller y Freud). En la figura 3.6, 𝐶 es el evento de que una veta contenga cobre y 𝑈 es el evento de que contenga uranio. Explique con palabras qué eventos se representan con las regiones 1, 2, 3 y
3.10 (Miller y Freud). Con referencia al ejercicio 3.9, ¿qué eventos se representan mediante a) las regiones 1 y 3 juntas; b) las regiones 3 y 4 juntas; c) las regiones 1, 2 y 3 juntas?
2-16 (Montgomery). El diagrama de Venn de la figura 2-10 contiene tres eventos. Reproduzca la figura y sombree la región que corresponde a cada uno de los siguientes eventos. a) 𝐴′ b) 𝐴 ∩ 𝐵 c) ( 𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐶 d) (𝐵 ∪ 𝐶)′ e) ( 𝐴 ∩ 𝐵)′ ∪ 𝐶
2-17 (Montgomery). El diagrama de Venn de la figura 2-11 contiene tres eventos. Reproduzca la figura y sombree la región que corresponde a cada uno de los eventos siguientes. a) 𝐴′ b) ( 𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵′) c) ( 𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐶 d) (𝐵 ∪ 𝐶)′ e) ( 𝐴 ∩ 𝐵)′ ∪ 𝐶
Tarea
3.11 (Miller y Freud). Con referencia a la figura 3.4, ¿Qué eventos se representan mediante a) la región 5; b) las regiones 4 y 6 juntas; c) las regiones 7 y 8 juntas; d) las regiones 1, 2, 3 y 5 juntas?
3.13 (Miller y Freud). Utilice diagramas de Venn para verificar que a) (𝐴 ∩ 𝐵)′^ = 𝐴′ ∪ 𝐵′ b) 𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴 c) (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵′) = 𝐴
