problemas probabilidad, Ejercicios de Ingeniería Mecánica

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ESTADÍSTICA

HOJAS DE PROBLEMAS

MÓDULO II

MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

Grado en Ingeniería Mecánica (Grupos 513 y 514)

Primer Curso (2012-2013)

PROBLEMAS: TEMA 3

PROBABILIDAD

1. El departamento de calidad de una empresa ha elaborado la siguiente tabla (en porcentajes de ocurrencias) en los últimos seis meses.

Motivos de la reclamación Periodo de reclamación Eléctrica Mecánica Aspecto Durante la garantía 0’ 18 0’ 13 0’ 32 0’ 63 Después de la garantía 0’ 12 0’ 22 0’ 03 0’ 37 0’ 30 0’ 35 0’ 35 1

Si se recibe una queja de un consumidor durante el periodo de garantía, ¿cuál es la probabilidad de que sea debida al aspecto?

2. Un sistema S 1 está formado por 50 componentes que deben funcionar todos ellos correctamente para que igualmente lo haga el sistema. La probabilidad de que cada componente funcione pasadas 100 horas es 0’99. i) Sabiendo que los componentes se averían independientemente, ¿cuál es la fiabilidad del sistema pasadas 100 horas? ii) Si se instala otro sistema S 2 (idéntico a S 1 ) en paralelo a S 1 , ¿en cuanto aumenta la fiabilidad del nuevo sistema?
3. Se han analizado doce neumáticos de la misma marca y características en vehículos que han circulado con ellos 25000 km, obteniéndose que uno seguía estando en perfectas condiciones; 3 tenían ligeros defectos en el dibujo; 2 tenían graves defectos en el dibujo; 1 tenía un defecto estructural y 5 tenían dos de los defectos anteriores. Suponiendo que los doce neumáticos elegidos sean representativos de toda la población de neumáticos:

i) ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro neumáticos elegidos al azar sean perfectos? ii) ¿Y de que los cuatro sean, o perfectos o con ligeros defectos en el dibujo? iii) ¿Y de que no se encuentre ninguno de los cuatro con dos de los defectos comentados?

4. En una cadena de fabricación de piezas en serie, tres máquinas M 1 , M 2 y M 3 producen una cantidad diaria de 2000, 1000 y 1000 piezas respectivamente, siendo sus porcentajes de piezas defectuosas de 2%, 3’5% y 2’5%. Al finalizar la jornada diaria se toma una pieza al azar del total de 4000 piezas producidas entre las tres máquinas. ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?
5. Se lanza una moneda tres veces. Sean los sucesos A=” obtener al menos dos cruces ”, B=” obtener una o dos caras ”. Demostrar que los sucesos A y B son independientes.

14. Sean A y B dos sucesos de un espacio muestral, tales que P(A) = 0’5, P(B) = 0’ 2 y P( A B) = 0’1. Indicar, razonadamente, cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas y cuáles falsas:

i) A y B son independientes. ii) A y B son incompatibles. iii) P( A B) = 0’7. iv) P( AB) = 0’5.

15. Calcular la fiabilidad (en función de p) del sistema de la figura, sabiendo que las componentes son independientes entre sí y que la probabilidad de que una componente funcione viene indicado en la figura. Obtener el menor valor de p para que la fiabilidad del sistema sea como mínimo de 0’95.
16. Calcular la fiabilidad (en función de p) de cada sistema de la figura, sabiendo que las componentes son independientes entre sí y que la fiabilidad de cada componente viene indicada en la figura. Obtener, además, el valor de p para que ambos sistemas posean la misma fiabilidad.
17. Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas periféricas de una gran ciudad, de tal forma que el 60% de los autobuses cubren el servicio de la primera línea, el 30% cubren el servicio de la segunda línea y el 10% el de la tercera línea. Además, se sabe que la probabilidad de que diariamente un autobús se averíe, es 0’ 02 en la primera línea, 0’ 03 en la segunda y 0’ 01 en la tercera. Determinar:

i) La probabilidad de que un día cualquiera, un autobús sufra avería. ii) Sabiendo que un autobús ha sufrido una avería en un día determinado, ¿cuál es la probabilidad de que sea de los que prestan servicio en la primera línea?

18. En una quiniela con 14 encuentros de fútbol:

i) Calcular el número de apuestas que se juegan con 4 dobles y 5 triples. ¿Cuánto costará sellar esta quiniela? ii) En una quiniela con un doble y cuatro triples, calcular el número de apuestas jugadas. Si se consigue tener una apuesta con 14 aciertos, calcular cuántas habrá de 13 y cuántas de 12 aciertos. iii) En una quiniela con cuatro dobles y dos triples, responder a las mismas preguntas que el apartado anterior.

19. Desde el año 2000, la matrícula de los vehículos españoles es del tipo “ 1231 BHS”, estando formada por 4 números (elegidos del 0 al 9) y tres letras (suprimiendo las cinco vocales y las letras Ñ y Q hacen un total de 20 letras). Con este sistema, ¿cuántas matrículas pueden formarse?
20. Al intentar detectar la presencia de antibióticos en el agua de un río mediante la extracción de muestras, se dan falsos positivos (detectar que hay antibióticos cuando no los hay) con una probabilidad de 0’02 y también falsos negativos (no detectar antibióticos cuando los hay) con una probabilidad de 0’05.

i) Sabiendo que en el 65% del curso del río hay antibióticos, calcular la probabilidad de detectarlos en una muestra. ii) Si en una muestra se ha detectado que hay antibióticos, calcular la probabilidad de que en realidad haya antibióticos.

21. Se tiene instalado un sistema de alarma. La probabilidad de que ocurra una situación de peligro es 0’1; si ésta se produce, la probabilidad de que la alarma funcione es 0’95. La probabilidad de que la alarma se dispare sin haber habido peligro es 0’03. Obtener la probabilidad de que habiendo funcionado la alarma, no haya habido peligro.
22. Calcular la fiabilidad del siguiente sistema, conociendo la fiabilidad (señalada dentro de las cajas) de cada una de sus componentes.
23. El 5% de las empresas de un país no cumple con la normativa sobre seguridad e higiene en el trabajo. Si una empresa incumple la normativa, la probabilidad de ser visitada por los inspectores de trabajo es 0’6. Por otra parte, si una empresa cumple la normativa, la probabilidad de ser inspeccionada es 0’1:

i) Probabilidad de que una empresa sea inspeccionada por los inspectores. ii) Probabilidad de que una empresa sea inspeccionada y cumpla la normativa. iii) Si una empresa no ha sido inspeccionada, calcular la probabilidad de que incumpla la normativa.

31. ¿Es posible que al lanzar una moneda se obtenga una sucesión indefinida de cruces, y que nunca salga cara?
32. ¿Es posible que al lanzar un dado se obtenga una sucesión indefinida de cifras (del 1 al 6) en las que nunca aparezca el dos?
33. El juego de la Ruleta Francesa (o Europea) consta de 37 casillas numeradas del 0 (banca) a 36 (18 números rojos (impares) y 18 negros (pares)):

i) ¿Es posible que un jugador gane de manera indefinida apostando a Negro y que nunca salga Rojo? ii) ¿Es posible que un jugador gane de manera indefinida apostando a Negro o a Rojo y que nunca gane la banca (0)?

34. Las diagonales de un polígono regular se obtienen uniendo pares de vértices no adyacentes:

i) Obtener el número de diagonales del cuadrado, del hexágono y del octógono. ii) Obtener el número de diagonales para el caso general de un polígono regular de n lados. iii) ¿Existe algún polígono regular en el que el número de lados sea igual al número de diagonales?

35. ¿Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9?

i) Permitiendo repeticiones. ii) Sin repeticiones. iii) Si no se permiten repeticiones y si el último dígito ha de ser 0.

36. El código Morse es un sistema de comunicación formado por una serie de elementos (puntos y rayas), que al ser combinados entre sí pueden formar palabras, números y otros símbolos.

i) Cuántas letras de un elemento tiene este código. ii) Cuántas letras de dos elementos tiene este código. iii) Cuántas letras de tres elementos tiene este código.

PROBLEMAS: TEMA 4

VARIABLES ALEATORIAS

1. La ley de probabilidad del error cometido, X, por una báscula para vehículos pesados tiene por función de densidad:

0 enel resto

x 0 x 1

Kx 1 x 0 f(x)

i) Encontrar el valor real de K para que f(x) sea función de densidad. ii) Calcular y dibujar la función de distribución F(x). iii) Probabilidad de realizar pesadas al alza. iv) Probabilidad de realizar pesadas a la baja. v) Probabilidad de realizar una pesada correcta. vi) Si cien kilos es el error máximo que puede cometer la báscula, obtener la probabilidad de cometer en una pesada un error de ± 50 kilos. vii) Obtener la media, mediana y varianza de X.

2. En un municipio, la ley de probabilidad del número de hijos por familia es una variable aleatoria X que viene dada por:

3 K six 2

2 K six 1

K six 0 p ( X x )

i) Encontrar el valor real de K para esté definida una función de probabilidad. ii) Calcular (^) P ( X 2 ) y (^) P ( 0 X 2 ). iii) En este municipio, ¿existe alguna familia con tres hijos? iv) Determinar la función de distribución de X v) Obtener la media, mediana y varianza de X. vi) El Ayuntamiento concede una ayuda anual a las familias de 2000 euros por hijo. Hallar la media y varianza de la variable aleatoria Y = “Ayuda anual (en euros) que recibe cada familia en este municipio”.

3. Se lanzan dos dados y se considera una variable aleatoria X que toma los valores
   • 1, 0 y 1 si la puntuación obtenida con el primer dado es menor, igual o mayor que la obtenida con el segundo dado, respectivamente. Obtener la distribución de probabilidad de X y representar gráficamente su función de distribución.
4. De una urna que contiene seis bolas numeradas del 1 al 6, se extraen dos bolas simultáneamente. Encontrar la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X = “ máximo de los dos números observados ”.

11. En una máquina tragaperras la jugada cuesta un euro. La máquina paga dos euros con una probabilidad p = 0’45. Sea Xi = “ cantidad de dinero ganada por la casa en la jugada i-ésima ”. Suponiendo que las jugadas son independientes:

i) Calcular el valor esperado y la varianza de la ganancia de la casa después de n jugadas en la máquina. ii) Calcular el valor esperado y la varianza de la ganancia del cliente después de n jugadas en la máquina. iii) Contestar a los apartados anteriores con p = 0’35. iv) ¿Es posible encontrar una máquina de estas características con p = 0’55?

12. En un casino puede jugarse al siguiente juego: se apuesta por un número del 1 al 6 y se lanzan tres dados; si el número elegido aparece en un dado se ganan 100 euros, si aparece en dos dados se ganan 200 euros, si aparece en los tres dados se ganan 300 euros y si no aparece en ninguno, se pierden 100 euros.

i) Obtener la distribución de probabilidad de la ganancia conseguida por el cliente en una jugada. ii) ¿Es este juego favorable o desfavorable para la sala?

13. Es conocido que de las 850 piezas que diariamente fabrica una máquina, 50 son defectuosas. Si de las 850 piezas se seleccionan al azar, sin reposición, dos de ellas:

i) Obtener la función de probabilidad de la variable X = “Número de piezas defectuosas de la muestra”. ii) Obtener la función de distribución de X.

14. Un lote contiene 300 piezas de dos proveedores: 100 piezas del A y 200 del B. Si se seleccionan al azar del lote cuatro piezas sin reposición:

i) Probabilidad de que las cuatro piezas sean del proveedor A. ii) Probabilidad de que al menos dos piezas sean del proveedor A. iii) Probabilidad de que al menos una pieza sea del proveedor A. iv) Contestar a los apartados anteriores seleccionando las piezas con reposición.

15. Una caja contiene 8 bombillas de las cuales tres están defectuosas. Se realiza el siguiente experimento aleatorio: se selecciona una bombilla de la caja y se prueba; si ésta es defectuosa se selecciona una nueva bombilla y se vuelve a probar, así hasta que se encuentre una bombilla no defectuosa:

i) Indicar cuál es el espacio muestral del experimento aleatorio. ii) Obtener la función de probabilidad de la variable X =”Número de bombillas defectuosas hasta que se encuentra una no defectuosa” iii) Calcular la esperanza de X. iv) Calcular el número esperado de bombillas que hay que probar hasta encontrar una no defectuosa.

16. Para averiguar o estimar el tamaño N de la población total de una especie animal amenazada en un lugar concreto, se utiliza el método captura-marcaje-recaptura. Se capturan t ejemplares, se marcan y se reincorporan a su hábitat natural;

pasado un tiempo se realizan n avistamientos de esta especie, contando el número de animales, X, que están marcados:

i) Obtener la función de probabilidad de la variable X. ii) Si de 4 animales capturados y marcados inicialmente, es solamente recapturado uno de ellos en un total de 25 avistamientos, obtener la estimación de la población total N de individuos que maximiza la probabilidad del hecho observado.

17. En un municipio la proporción de tramos de carretera que requieren reparación, anualmente, es una variable aleatoria continua X con función de distribución:

F(x) 2 x

x x

x

i) Representar gráficamente F(x). ii) Obtener su función de densidad, f(x). iii) Calcular la esperanza de X. iv) Calcular la probabilidad de que, anualmente, la proporción de tramos de carretera que requieren reparación en este municipio esté comprendido entre el 50% y el 70%. v) Calcular la mediana de X.

18. La longitud L de un tipo de ladrillo es una variable aleatoria con una media de 20 cm y una desviación típica de 0’25 cm. El espesor E del mortero entre dos ladrillos es una variable aleatoria con una media de 1’25 cm y una desviación típica de 0’08 cm. Si todas las variables aleatorias implicadas en el problema son independientes, obtener la media y varianza de la longitud de una fila de 50 ladrillos.
19. Ante la proximidad de un semáforo, un conductor acelera, para o continúa a la misma velocidad a la que circula, según su luz sea ámbar, roja o verde, respectivamente. Si el semáforo permanece encendido en ámbar durante 5 segundos, durante 30 segundos en verde y durante 30 segundos en rojo:

i) Distribución de probabilidad de la variable aleatoria X =”Reacción del conductor al acercarse a un semáforo”. ii) Probabilidad de que un conductor no acelere al acercarse a un semáforo.

20. Un ingeniero de control de calidad muestrea cinco piezas de un lote grande para determinar si tienen defectos. Aunque el inspector no lo sabe, tres de las cinco piezas muestreadas tienen defectos. El ingeniero examina las cinco piezas en un orden escogido al azar hasta que observa una pieza defectuosa (en cuyo caso se rechaza todo el lote). Si X = “Número de piezas que debe examinar el ingeniero de control de calidad hasta que observa una pieza defectuosa”:

i) Obtener la función de probabilidad de X. ii) Obtener la esperanza de X. iii) Si el coste de inspeccionar una pieza sin defectos es de 100 euros y si tiene defectos el coste es de 200 euros, obtener el coste esperado del control de calidad realizado por el ingeniero.

8. Una máquina realiza una operación de mecanizado con una frecuencia constante de 4 piezas por minuto, de forma que la probabilidad de que una pieza salga defectuosa es 0’01. Las piezas defectuosas fabricadas en un turno de 8 horas son separadas para su posterior reparación. Esta reparación la realiza un operario que invierte en cada pieza un tiempo constante de 20 minutos:

i) ¿Qué probabilidad hay de que en 8 horas de trabajo, el operario consiga reparar la totalidad de piezas defectuosas fabricadas en un turno de 8 horas?

ii) ¿Qué tiempo debería trabajar el operario para terminar la totalidad de las piezas defectuosas con una probabilidad de 0’95?

9. El número de petroleros que llegan cada día a cierta refinería tiene una distribución de Poisson de parámetro  = 2. Las actuales instalaciones portuarias permiten despachar un máximo de tres petroleros al día. Si en un día llegan cuatro o más petroleros, los que están en exceso deben ser enviados a otro puerto para ser debidamente atendidos:

i) Encontrar la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X=” Número de petroleros atendidos diariamente en dicha refinería ”.

ii) Calcular la esperanza del número de petroleros atendidos diariamente en la refinería.

iii) Calcular la esperanza del número de petroleros que son desviados diariamente a otro puerto.

iv) ¿En cuánto deben aumentarse las instalaciones portuarias actuales para permitir la atención de los petroleros al menos el 95% de los días?

10. El número de accidentes laborales en el sector de la construcción en determinado municipio español es de cuatro a la semana. ¿Qué probabilidad hay de que en una semana elegida al azar no se produzcan accidentes?, ¿y de que se produzcan como mucho dos?
11. La contaminación superficial es un problema importante en los discos de almacenamiento óptico. El número de partículas contaminantes que aparece en un disco tiene un promedio de 0’1 partículas por cm^2 de superficie. Si un disco tiene 100 cm^2 de superficie, calcular la probabilidad de encontrar 12 partículas contaminantes en un disco.
12. Debido a que la probabilidad de que una persona que ha comprado un billete de avión no se presente es 0’01, en ciertas ocasiones algunas compañías aéreas suelen vender billetes de más (overbooking). Si para un avión de 120 plazas se venden 125 billetes:

i) ¿Cuál es la probabilidad de que se presenten las 125 personas? ii) ¿Cuál es la probabilidad de que el avión parta vacío? iii) ¿Cuál es la probabilidad de que se presenten exactamente 120 pasajeros? iv) ¿Cuál es la probabilidad de que algún pasajero se quede en tierra?

13. Una empresa analiza los envíos de sus proveedores para detectar productos que no cumplan las especificaciones reglamentadas. Se acaba de recibir un lote de mil artículos del que se conoce que la fracción defectuosa es de un 1%. ¿Cuál debe ser el tamaño de muestra para que la probabilidad de que se encuentre por lo menos un artículo defectuoso en la misma sea de, al menos, 0’90?
14. La probabilidad de ensamblaje óptimo de un aparato es 0’80:

i) Probabilidad de que el primer aparato montado con éxito haya requerido exactamente 4 montajes. ii) Probabilidad de que el primer aparato montado con éxito haya requerido como máximo 4 montajes. iii) Probabilidad de que el primer aparato montado con éxito haya requerido como mínimo 4 montajes. iv) Probabilidad de que el primer aparato montado con éxito requiera al menos 7 montajes, sabiendo que se han realizado ya al menos 4.

15. El número de averías diarias sufridas por las máquinas de determinada fábrica puede aproximarse mediante una variable aleatoria de Poisson de parámetro =3. Cada avería precisa una jornada completa de un técnico del departamento de mantenimiento para su total reparación. ¿De cuántos técnicos debe disponer el departamento para que elegido un día al azar, todas las averías queden reparadas con una probabilidad mínima de 0’90?
16. El número de hombres que llegan a un comercio sigue una distribución de Poisson, a razón de una media de uno por minuto. El número de mujeres que llegan al mismo comercio sigue también una distribución de Poisson, pero a razón de una media de dos por minuto. Suponiendo que hay independencia entre la llegada de hombres y de mujeres:

i) Probabilidad de que lleguen menos de tres clientes en un minuto. ii) Probabilidad de que lleguen cinco hombres en media hora, si en esa media hora han llegado diez clientes en total.

17. Un examen tipo test consta de 15 preguntas con respuesta verdadero o falso. El examen se aprueba contestando correctamente por lo menos 9 preguntas. Una persona opta por realizar el examen usando una moneda para decidir el resultado de cada pregunta. Actuando así, ¿cuál es su probabilidad de aprobar?
18. El número de llamadas que se reciben en un domicilio particular es una variable aleatoria de Poisson con una media de cuatro al día. ¿Qué probabilidad hay de que elegido un día al azar se reciban más de cinco llamadas?
19. En una inmobiliaria, el número de pisos vendidos por semana sigue una ley de Poisson. Si se produce un promedio de dos ventas semanales, calcular:

i) La probabilidad de que en una semana cualquiera haya alguna venta. ii) La probabilidad de que se vendan dos pisos en una semana y otros dos en la semana siguiente.

27. Cada motor de un avión funciona correctamente en un vuelo con una probabilidad p = 0’95 y cada motor falla con independencia del resto. Un avión puede seguir volando, y el vuelo es seguro, si funcionan, al menos, la mitad de sus motores. ¿Qué avión tiene la probabilidad más alta de seguir volando con seguridad, uno de dos motores o uno de cuatro?

PROBLEMAS: TEMA 6

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

1. El tiempo de espera cuando se llega a la parada de un autobús es una variable aleatoria uniforme entre 0 y 20 minutos. ¿Cuál es el tiempo medio de espera? ¿Cuál es la probabilidad de estar esperando más de l0 minutos?
2. El tiempo que un tipo especial de satélite artificial militar está operativo se puede considerar normal de media 7000 horas y desviación típica de 600 horas: i) ¿Cuál es la probabilidad de que el satélite falle antes de 5000 horas? ii) ¿Cuál es la probabilidad de que falle pasadas 6000 horas? iii) ¿Cuál es la probabilidad de que falle pasadas 8500 horas? iv) ¿Cuál es la probabilidad de que falle antes de 7500 horas? v) ¿Cuál es la duración excedida por el 95% de los satélites de este tipo? vi) ¿Cuál es la duración excedida por el 10% de los satélites de este tipo? vii) ¿Cuál es el intervalo centrado en la vida media y que contiene al 75% de los satélites? viii) ¿Cuál es la probabilidad de que dure entre 5000 y 9000 horas? ix) ¿Cuál es la probabilidad de que dure entre 6000 y 9000 horas? x) Se utilizan tres satélites en una operación militar y se supone que fallan de manera independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que fallen los tres después de 7500 horas?
3. La estatura de los jóvenes en determinada comunidad autónoma puede considerarse normal de media 170 cm y desviación típica 6 cm. Se rechaza para un puesto de guarda de seguridad a aquéllos que miden menos de 150 cm: i) Proporción de jóvenes que son admitidos? ii) De los admitidos, qué proporción mide menos de 180 cm.
4. La estatura de los jóvenes puede considerarse una distribución normal, rechazándose para un puesto de seguridad los que son más bajos de 155 cm o más altos de 200 cm. Sabiendo que P(X<155) = P(X>200) y que P(X<190’3) = 0’90, calcular la probabilidad de que de 20 solicitudes, sean rechazados por cuestión de estatura, exactamente dos.
5. La duración de un componente puede suponerse normal con una media de 6 años y desviación típica de un año. ¿Cuánto debe durar la garantía para que, como mucho, e1 15% se estropee antes de terminar la garantía?
6. El tiempo de reacción de un conductor a un estímulo visual tiene una distribución normal con media 0’4 segundos y desviación típica de 0’05 segundos:

condiciones, al apartado anterior. ¿Qué se puede decir sobre la memoria de la distribución normal?

13. Por un punto de una autopista el tiempo entre dos vehículos consecutivos es una variable aleatoria exponencial de media 10 segundos. Si una persona quiere cruzar inmediatamente después del paso de un coche, ¿qué probabilidad tiene de poder cruzar sin ser atropellado sabiendo que le cuesta 10 segundos atravesar la autopista?
14. Una compañía constructora tiene adjudicada la edificación de un nuevo puente sobre el Ebro que debe terminar en un plazo de siete meses. Por diversos motivos los plazos no suelen cumplirse y, en realidad, se produce una desviación aleatoria sobre la fecha de terminación prevista que se distribuye normalmente con media nula y una desviación típica de 10 días. Si se consigue adelantar la finalización del puente en más de 15 días, se obtiene una bonificación de 3 millones de euros. Si el adelanto es de hasta 15 días, la bonificación es de un millón de euros. Si se produce un retraso de hasta 10 días, la penalización es de 2 millones de euros, y, si el retraso es mayor, una penalización de 5 millones de euros. Calcular el coste esperado debido a desfases en la edificación del puente sobre el río.
15. Dada una variable aleatoria X con distribución normal N(, ^2 ), calcular la probabilidad de que la variable se encuentre en el intervalo (  ,  ) , e interpretar el resultado obtenido.
16. El salario mensual (en euros) de un trabajador es una variable aleatoria X con distribución normal de media 1000 euros desviación típica 50, y sus gastos mensuales, son otra variable aleatoria Y, independiente de X, también con distribución normal, de media 800 euros y desviación típica 100. Calcular la probabilidad de contraer deuda a final de mes.
17. Puede considerarse que el ph de una disolución sigue una distribución uniforme en el intervalo (0, 14). Un medidor de ph únicamente discrimina si el ph es menor de 6, si está entre 6 y 8, o si es mayor de 8; es decir, indica un ph ácido, neutro o alcalino. Obtener la distribución de probabilidad del medidor de ph de la disolución.
18. Sea X una variable aleatoria continua que toma valores en el intervalo [100, 300], pero de la que se desconoce su distribución de probabilidad. Justifica, razonadamente, la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

i) P(X=200) = 0’5. ii) La mediana de X vale 200. iii) La media de X vale 200. iv) P(X 100) = 1.

19. El tiempo de espera (en minutos) de un usuario hasta que llega el autobús se distribuye uniformemente en el intervalo [0, 8], si el autobús no lleva retraso. Pero si el autobús lleva retraso, la distribución es exponencial de media 10 minutos. Sabiendo que el autobús se retrasa en uno de cada tres servicios:

i) Calcular la probabilidad de que un usuario tenga que esperar al autobús un tiempo inferior a 5 minutos. ii) Si el autobús viene sin retraso, calcular el tiempo medio de espera. iii) Si el autobús viene con retraso, calcular la probabilidad de esperar al menos dos minutos.

20. Se sabe que la resistencia total de un circuito con varias componentes instaladas en serie es la suma de las resistencias individuales de cada componente. Se tiene un sistema con 7 componentes instaladas en serie. Para cada una de ellas, su resistencia sigue una distribución normal de media 3 ohmios y desviación típica 0’5 ohmios. Si se supone independencia entre las componentes:

i) Obtener la distribución de la variable R=”Resistencia total del sistema” y la probabilidad de que esta resistencia total sea superior a 18 ohmios. ii) Se conecta el circuito a una fuente de intensidad I constante de 3 amperios y se mide la tensión V en los bornes del circuito (se sabe que V = I·R). Obtener la distribución de la variable V=”Tensión en los bornes”. ¿Qué probabilidad hay de que la tensión en los bornes sea inferior a 70 voltios?

21. Indicar, razonadamente, cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas y cuáles falsas:

i) Si X es Poisson de parámetro 20 e Y es Poisson de parámetro 2, entonces P(X30)=P(Y3). ii) Si X es binomial de parámetros n=20, p=0’3 e Y es binomial de parámetros n=2, p=0’3, entonces P(X  10)=P(Y  1). iii) Si X es exponencial de parámetro 0’01 e Y es exponencial de parámetro 0’1, entonces P(X  60) = P(Y  6). iv) Si X es normal de media 100 y varianza 100 e Y es normal de media 0 y varianza 1, entonces P(X  70) = P(Y  3).

22. El tiempo de vida, en horas, de una batería recargable se supone distribuido según una variable aleatoria exponencial con una vida media de 100 horas:

i) ¿Cuál es la probabilidad de que la batería dure menos que su vida media?

ii) La empresa que fabrica dichas baterías quiere promocionarlas con la siguiente frase: “ si la batería dura menos de t horas le devolvemos su dinero ”. Calcular el valor de t para que únicamente al 20% de los clientes haya que devolverles el dinero. iii) Las baterías se consideran defectuosas si duran menos de las t horas de la propaganda. Estas baterías se empaquetan en cajas de 10 unidades para su distribución. ¿Cuál es la probabilidad de que en una de esas cajas aparezcan un máximo de dos defectuosas? iv) Si en una caja hay 200 baterías, calcular la probabilidad de que haya como mucho 40 baterías defectuosas. v) Suponer que a una tienda se ha vendido una caja con 10 baterías en la que se sabe que hay una defectuosa. Calcular la probabilidad de que a una persona que compre tres baterías de esa caja le toque la defectuosa.