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2º de bachillerato Matemáticas II
- TEMA 10. Probabilidad P robabilidad
- 1.Experimentos aleatorios. Espacio muestral.
- 2.Sucesos. Operaciones con sucesos.
- 3.Definición de Probabilidad. Propiedades.
- 3.1. Definición de Laplace
- 3.2. Propiedades
- Regla de la suma
- Sucesos incompatibles
- Sucesos compatibles
- Regla del producto. Probabilidad en experimentos compuestos.
- Probabilidad condicionada
- Probabilidad de sucesos independientes y dependientes
- Teorema de la probabilidad total. Diagrama de árbol.
- Tablas de contingencia.
- Teorema de Bayes
- Formulario de probabilidad
TEMA 10. Probabilidad
La probabilidad, en su definición más básica, es una medida de la certidumbre asociada a un suceso futuro.
1. Experimentos aleatorios. Espacio muestral.
Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc., sabremos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo tardará, etc. Es una experiencia determinista. Si lanzamos un dado sobre una mesa, ignoramos qué cara quedará arriba. El resultado depende del azar. Es una experiencia aleatoria.
Un experimento aleatorio es aquel que no podemos predecir el resultado, es decir, que depende de la suerte o del azar. Cuando conocemos el resultado del experimento antes de realizarlo, decimos que se trata de un experimento determinista.
Ejemplo:
De los siguientes experimentos, indica los que son deterministas y los que son aleatorios: a) Elegir un libro de la biblioteca con los ojos cerrados. b) Elegir al azar un alumno y observar el color de su pelo c) Lanzar una moneda al aire. d) Tiempo que tarda una piedra en caer desde una determinada altura.
Obtener por ejemplo múltiplo de 7 : { 7 } Obtener más de 11 puntos: { 12 }
Son sucesos compuestos : A = {Obtener múltiplo de 3} = { 3, 6, 9, 12 } B = {Obtener múltiplo de 2 } = { 2 , 4, 6, 8 , 10, 12 }
Es un suceso seguro : E = {Obtener suma menor o igual a 12} = {Obtener suma entre 1 y 13} Es un suceso imposible : = {Obtener suma 215} = {Obtener suma 1} = {Obtener suma mayor de 13}
Para empezar, vamos a prestar atención a experiencias aleatorias sencillas como lanzar dados o monedas, extraer cartas de una baraja, sacar bolas de urnas,….
Ejercicio : Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: a) Sacar dos cartas de una baraja y mirar si es pareja o no. b) Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras.
Solución. a) E = {Pareja, No pareja} b) E = {Dos bolas blancas, Dos bolas negras, Una bola negra y otra blanca}
2. Sucesos. Operaciones con sucesos.
Llamamos unión de dos sucesos A y B, y lo designamos A B (lo leemos como "A unión B") al
suceso formado por todos los elementos de A y todos los de B.
El suceso A B ocurre cuando lo hacen A o B o ambos.
Llamamos intersección de dos sucesos A y B, y lo designamos (^) A B (lo leemos como "A intersección B") al suceso formado por los elementos que pertenecen simultáneamente a A y a B. El suceso A B ocurre cuando lo hacen A y B a la vez.
Dos sucesos A y B son incompatibles cuando A B Ø. Si A B Ø se dicen compatibles.
Ejemplo: En el experimento aleatorio " lanzamiento de dos dados y suma de los puntos obtenidos en las caras superiores de ambos ", dados los sucesos A = {1, 2, 3, 6} y B = {3, 4 , 5, 6, 7} la unión y la intersección son:
A B
A B
Los sucesos A y B son compatibles, ya que tienen sucesos elementales en común. A B Ø.
Dados los sucesos C = “Sacar suma par” = {2, 4, 6, 8, 10, 12} y D = “Sacar suma impar” = {3, 5, 7, 9, 11} la unión y la intersección son: "Sacar suma par o impar" 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8, 9,10,11,12 "Sacar suma par e impar"
C D
C D
Los sucesos C y D son incompatibles, pues no tienen sucesos elementales en común. (^) A B Ø.
El suceso contrario o complementario de un suceso A se escribe A o Ac. Entre ambos ( A y AC ) se reparten los elementos del espacio muestral. Es decir, siempre ocurre uno u otro, pero nunca los dos simultáneamente.
El contrario del contrario coincide con el suceso de partida: AC (^) C A
2ª Ley de Morgan: A B A B
La diferencia de sucesos , A – B , está formado por los elementos de A que no pertenecen a B, es decir, la intersección del suceso A con el contrario del suceso B. A B A B
Ejemplos:
1. Sea E el espacio muestral del experimento consistente en “ lanzar dos dados y sumar las puntuaciones obtenidas en sus caras superiores ”. Sean los sucesos A = {ser par} y B = {ser mayor que 7}.
Podemos obtener:
Unión de sucesos : A ∪ B = { obtener un número par o mayor que 7 } = { 2, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12 } Intersección de sucesos : A ∩ B = { obtener un número par mayor que 7 } = { 8, 10, 12 } Diferencia de sucesos : A – B = { obtener un número par menor o igual que 7 } = { 2, 4, 6 } Suceso contrario : A = {No obtener número par} = { obtener un número impar } = { 3, 5, 7, 9, 11 } B = {Ser menor o igual que 7} = {2, 3, 4, 5, 6, 7}
2. De una urna con 50 bolas numeradas de 1 a 50 se extrae una. Se consideran los sucesos: A = { sacar un número múltiplo de 2 } B = { sacar un número múltiplo de 3 } C = { sacar un número múltiplo de 5 } Determina los elementos de los siguientes conjuntos:
a) A^ B = {sacar múltiplo de 2 o 3}
b) A^ C = {sacar múltiplo de 2 o 5}
c) B^ C = {sacar múltiplo de 3 o 5}
d) A^ B = {sacar múltiplo de 2 y 3} = {sacar múltiplo de 6}
e) A^ C = {sacar múltiplo de 2 y 5} = {sacar múltiplo de 10}
f) B^ C = {sacar múltiplo de 3 y 5} = {sacar múltiplo de 15}
g) A^ B = {sacar número que no sea múltiplo de 2 y si de 3} = {sacar múltiplo de 3 e impar}
h) B^ C = {sacar múltiplo de 3 y no de 5}={sacar múltiplo de 3 que no acabe ni en 5 ni en 0}
P A P B P C 1/ 2 ; P A B 1 , P A B 0 , P A C 5 / 6,
P A C 1/ 6 , P B C 4 / 6, P B C 2 / 6
3. Definición de Probabilidad. Propiedades.
3.1.Definición de Laplace
Si el espacio muestral de un experimento aleatorio está formado por n sucesos elementales
E x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ,..., xn y todos ellos tienen la misma probabilidad de que ocurran en la
realización del experimento (son equiprobables ), entonces:
Probabilidad de que se verifique un suceso A= Número de casos favorables al suceso A Número de casos posibles
P A
3.2. Propiedades
1. P A 1– P A
2. P Ø 0
3. P E 1
4. P A ( B ) P A P B P A ( B )
¡¡ IMPORTANTÍSIMO !!
0 P A ( ) 1
Ejemplos:
1. Al girar una ruleta como la de la figura, ¿cuál es la probabilidad de cada color?
1 parte es roja, 4 azules, 3 verdes, 2 naranjas y 2 amarillas.
Al encontrarnos en una situación de equiprobabilidad, aplicamos la Regla de Laplace para poder calcular la probabilidad de cada color, teniendo en cuenta que la ruleta se encuentra dividida en 12 partes. Los sucesos elementales presentan la misma probabilidad.
P A Número de casos favorables al suceso ANúmero de casos posibles
P rojo 4
P azul 3
P verde 2
P naranja P amarillo
2. Si extraemos una bola al azar de una urna que contiene 3 bolas verdes, 5 bolas blancas y 2 bolas azules, calcula la probabilidad de los sucesos: A = {obtener una bola verde} , B = {obtener una bola blanca} y C = {obtener una bola azul}.
Como en total hay 10 bolas, los casos posibles son 10 y los casos favorables para el suceso A son 3, 5 para B y 2 para C.
Por lo tanto:
P A 5 1
P B 2 1
P C
3. Si lanzamos un dado al aire, calcula la probabilidad de que ocurran los siguientes sucesos: a) Sacar un 3. b) Sacar un número par. c) Sacar un número primo. d) Sacar un número menos que 5.
Definimos en primer lugar el espacio muestral del experimento.
E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Aplicando la regla de Laplace, calculamos ahora las probabilidades de cada uno de los sucesos.
4. De la baraja de cartas española de 40 cartas se extrae una carta al azar. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos: a) Sacar el as de espadas. b) Sacar un rey. c) Sacar un oro. d) Sacar una figura e) Sacar una carta que no sea figura. f) Sacar as o un 2.
Aplicando la regla de Laplace, calculamos las probabilidades de cada uno de los sucesos.
P As de espa das 4 1
P r y e 10
P Oro
P Figura 1 3 7
P No figura 8 1
P As o
5. En un sorteo de lotería observamos la cifra en que termina el “gordo”. a) ¿Cuál es el espacio muestral? b) Describe los sucesos: A = “Menor que 5”; B = “Par”.
A ∩C Habiendo salido dos números iguales, la suma es 6, es decir, {(3, 3)}.
d) P [ A ] = 5/36 P [ B ] = 11/36 P [ C ] = 6/36 = 1/
P [ A ∪ B ] = 14/36 P [ A ∩B ] = 2/36 = 1/18 P [ A ∩C ] = 1/
e) P [ Ac ] = 1 – P [ A ] = 31/ P [ Bc^ ] = 1 – P [ B ] = 25/ P [C c ] = 1 – P [ C ] = 5/
4. Regla de la suma
Sucesos incompatibles
Si dos sucesos A y B de un experimento son incompatibles , la probabilidad de su unión es igual a la suma de la probabilidad de cada suceso: P A B P A P B
Ejemplo: Una urna contiene 5 bolas rojas, 2 bolas azules y 3 bolas verdes. Se considera el experimento sacar una bola al azar. Sean los sucesos A = "Sacar bola roja", B = "Sacar bola azul" y C = "Sacar bola que no sea verde". Calcula la probabilidad de sacar una bola que no sea verde.
A y B son sucesos incompatibles. Además A^ ^ B^ C Aplicando la regla de Laplace: ( ) 5 10
P A ( ) 2
P B ( ) 7
P C
Se puede calcular la probabilidad de C , utilizando la fórmula anterior: ( ) ( ) ( ) ( ) 5 2 7 10 10 10
P C P A B P A P B
Sucesos compatibles
Si dos sucesos A y B son compatibles , la probabilidad de su unión es igual a la suma de la probabilidad de cada suceso menos la probabilidad del suceso intersección de A y B.
P A ( B ) P A P B – P A ( B )
Ejemplo:
1. Realizamos el experimento aleatorio de extraer una carta de una baraja española de 40 cartas y se definen los siguientes sucesos: A = {obtener un rey}, B = {obtener una copa} y C = {obtener un rey o una copa}. ¿Cómo calcularías las probabilidades de esos sucesos?
Aplicando la regla de Laplace: ( ) 4 40
P A (B) 10 1
P
Para obtener la probabilidad de que salga rey o una carta de copas, tenemos 10 cartas de copas y los 3 reyes restantes (de oros, espadas y bastos) pues en las 10 cartas de copas ya está incluido el rey de copas (C) 13 40
P
Sin embargo si nos fijamos en el suceso C, obtener un rey o una copa, vemos que este suceso se puede identificar con la unión de los sucesos A y B, pero teniendo cuidado porque A y B tienen un elemento en común y son compatibles. Por tanto: (C) (A B) P(A) P(B) P(A B) 4 10 1 13 40 40 40 40
P P
2. Una bolsa contiene bolas numeradas del 1 al 20, de manera que todas tienen la misma probabilidad de ser escogidas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola, el número no sea divisible por 3? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea divisible por 3 o por 5? c) ¿Y la probabilidad de que no sea divisible por 3 ni por 5?
Consideramos los sucesos: A = {Ser divisible por 3} = {3, 6, 9, 12, 15, 18} B = {Ser divisible por 5} = {5, 10, 15, 20} A ∩ B = {Ser divisible por 3 y ser divisible por 5} = {15}
Calculamos sus probabilidades:
P A ; 4 1 0 '
P B ; 1 0 '
P A B
a) No ser divisible por 3 A
Sean A y B dos sucesos tal que P( A ) ≠ 0, se llama probabilidad de B condicionada al suceso A , P(B/A) , a la probabilidad de que ocurra B sabiendo que ha sucedido A , es decir, probabilidad de B tomando como espacio muestral A. ^
P B / A P B^ A
P A
^
De esta igualdad se deduce:
P B A (^) P A (^) · P B / A
Nos pueden surgir dos tipos de situaciones donde usar la probabilidad condicionada.
En experimentos simples la probabilidad condicionada reduce el espacio muestral. Por ejemplo:
- En el experimento “sacar una bola de una urna con 8 bolas numeradas del 1 al 8”, consideramos los sucesos A = “sacar par” y B = “sacar 4 o más”.
a) Calcula la probabilidad de A. b) Calcula la probabilidad de A, sabiendo que ha pasado B.
Solución: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A = ”sacar par” = {2, 4, 6, 8} B = “sacar 4 o más” = {4, 5, 6, 7, 8} Utilizando la regla de Laplace: ( ) nº casos favorables (2, 4, 6, 8)^4 1 0,5 50% nº casos posibles (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) 8 2
P A
Como sabemos que ha sucedido B el espacio muestral ya no son los 8 resultados posibles, sino los 5 que contempla el suceso B. También cambia el número de casos favorables.
/^ nº casos favorables (4, 6, 8)^3 0,6^ 60%
nº casos posibles (4, 5, 6, 7, 8) 5
P A B
En experimentos compuestos lo que sucede en una extracción puede condicionar la probabilidad de la siguiente extracción. Por ejemplo:
- En el experimento “sacar dos bolas de una urna con 8 bolas numeradas del 1 al 8”, consideramos los sucesos A = “sacar una 1ª bola par” y B = “sacar una 2ª bola par”. a) Calcula la probabilidad de A. b) Calcula la probabilidad de A, sabiendo que ha pasado B.
Solución:
Para calcular la probabilidad de A el experimento es sacar una bola de la urna, por lo que aplicamos la regla de Laplace: P(A) =^4 1 0,5 50% 8 2
Sin embargo para calcular la probabilidad de B condicionado a que ha sucedido A, debemos de considerar el experimento compuesto “sacar una 1ª bola, dejarla fuera y después sacar una 2ª” P(B/A) = nº casos favorables (he sacado una par, solo quedan 3 pares)^3 0, 428 42,8% nº casos posibles (solo 7 bolas) 7
Ejemplos:
1. Sacamos una bola de A, la echamos en B, removemos y sacamos una de B. Calcula:
a) P( 1ª roja y 2ª roja) b) P [1ª roja y 2ª verde)
Para calcular esta probabilidad, ten en cuenta el diagrama de árbol.
a) P( 1ª roja y 2ª roja) = P( 1ª roja) · P(2ª roja / 1ª roja) =^3 ·^2 5 3 5
b) P(1ª roja y 2ª verde) = P(1ª roja) · P(2ª verde / 1ª roja) =^3 ·^1 5 3 3
Probabilidad de sucesos independientes y dependientes
Sucesos independientes
Dos sucesos A y B son independientes entre sí cuando el hecho de que se verifique uno de ellos no influye en la probabilidad de que se verifique el otro. P( B/A ) = P( B ) ó P( A/B ) = P( A ) Una forma de comprobar si dos sucesos A y B son independientes es: A y B son independientes ⇔ P A ( B ) P A (^) · P B
Sucesos dependientes
Dos sucesos son dependientes entre sí cuando el hecho de que se verifique uno de ellos influye en la probabilidad de que se verifique el otro.
Ejemplos:
1. En el experimento “sacar una bola de una urna con 8 bolas numeradas del 1 al 8”, consideramos los sucesos A = “sacar par” y B = “sacar 4 o más”. ¿Son A y B independientes?
Por lógica se intuye que no lo son, pues si uno de ellos se da por realizado la probabilidad del otro cambia. Apliquemos la teoría:
P A P B
( ) Sacar par mayor o igual que 4 nº casos favorables (4,6,8)^3
nº casos posibles (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) 8
P A B P
Evidentemente: ( ) 3 0, (^8) ( ) ( ) · ( ) ( ) · ( ) 1 · 5 5 0, 2 8 16
P A B
P A B P A P B
P A P B
^ ^
Los sucesos son dependientes
2. Tenemos una urna con 3 bolas rojas, 2 bolas verdes y 2 bolas azules. Vamos a extraer 2 bolas al azar. Calcula la probabilidad de sacar dos bolas rojas.
El experimento “Extraer 2 bolas de una urna” vamos a contemplarlo como “extraer una primera bola y después una segunda bola”.
Definimos los sucesos:
R 1 = { obtener una bola roja en la primera extracción } R 2 = { obtener una bola roja en la segunda extracción} Si la extracción es con reemplazamiento , los sucesos R 1 y R 2 son independientes. La probabilidad pedida es:
Una bola roja en primera extracción ( ) º^3 º 7
P P R N casos favorables N casos posibles
Con reemplazamiento significa que se devuelve a la urna la bola extraída y volvemos a tener 7 bolas en la urna. La segunda extracción vuelve a tener la misma probabilidad que la primera.
Una bola roja en segunda extracción^ (^2 )^ (^1 )^3
P P R P R
P Sacar dos bolas rojas P R 1 , R 2 P R 1 R 2 P R ( 1 ) · P R ( 2 ) 37 ·^37 499
Si la extracción es sin reemplazamiento los sucesos R 1 y R 2 son dependientes. La probabilidad pedida es:
Una bola roja en primera extracción^ (^1 )^ º^3
P P R N casos favorables N casos posibles
En la segunda extracción, al no haber reemplazamiento, la probabilidad de obtener la segunda roja depende de si se ha verificado o no el primer suceso (Sacar 1ª bola roja).
En este caso se dice que la probabilidad del suceso R 2 (obtener la segunda bola roja) está condicionada por el que se haya producido el suceso R 1 o no, y se escribe R 2 /R 1
