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TEMA 2
MODELOS DE PROBABILIDAD
- El espacio muestral Ω de un experimento aleatorio (simple o compuesto),
es el conjunto formado por todos los posibles resultados del experimento
aleatorio.
- Cada uno de los elementos Ω recibe el nombre de punto muestral. Un
punto muestral no puede descomponerse en resultados más simples. Cuando se
lleva a cabo el experimento aleatorio asociado a Ω, su resultado es uno y solo
uno de los puntos muestrales.
- La cardinalinad de un conjunto es el número de elementos que tiene. Se
denota como card(Ω). En esta lección, solo consideraremos espacios muestrales
de cardinalidad finita, es decir, card(Ω) < ∞.
- Un suceso A es un subconjunto del espacio muestral Ω, A Ϲ Ω.
EJEMPLOS
CLASES DE SUCESOS
- Suceso elemental o suceso simple: es el formado por un solo punto muestral. - Suceso compuesto: es el formado por dos o más puntos muestrales. - Suceso seguro: es el que siempre se verifica. Está formado por todos los resultados posibles de un experimento
aleatorio y se representa por Ω.
- Suceso imposible: es el que no se verifica nunca. Lo representaremos por Ø (conjunto vacío). - Suceso contrario o complementario: Dado un suceso A del espacio de sucesos A, llamaremos suceso contrario
de A, y lo representaremos por AC , al suceso que se verifica cuando no se verifica A.
El suceso AC está formado por todos los puntos muestrales de Ω que no son de A.
CONCEPTOS BÁSICOS Imran (^2)
CONCEPTOS BÁSICOS^ :
~E ESPACIO (^) MUESTRAL = (^) { en (^) ilz , es... }
Finito
> Infinito numerable
CARDINALIDAD : Card ( R) = N (^) de elementos o sucesos elementales
SUCESOS COMPUESTO ( A , B , C , D. _ .) → A C R
Pcr)^ =^1 p (D)^ =^ n°^ casos^ favorables a^ D n° (^) casos posibles E^ [0,1]
CLASES DE SUCESOS :
r i. A - B =^ ANB'
OPERACIONES CON SUCESOS
- Unión de sucesos: Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio, se llama suceso unión de A y B, y se representa A U B, al suceso que se verifica cuando ocurre A o cuando ocurre B.
- Intersección de sucesos: Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio, se llama suceso intersección de A y B, y se representa al suceso que se verifica cuando ocurre A y cuando ocurre B simultáneamente. Es claro que
- Sucesos incmpatibles: dos sucesos A y B son incompatibles cuando no se pueden verificar simultáneamente, es decir, = Ø. Si los sucesos son compatibles.
DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD EJEMPLO
PROBABILIDAD CONDICIONADA EJEMPLO 1 Cuando conoces ciertas (^) caract (^). 9- ve favorecen la probabilidad (^). P (^) ( Alc) = Pffff P (^) (c) A) = ftp.n# } Pl ☐ n (^) c) = (^) P LA/ (^) c).^ P^ (c) = P (^) La (^) / A).^ D^ (A)
EJEMPLO :
"HA - _ %ˢ=%%ˢó PLHIN) - _ Pfffff =! =^10 -2g = (^) O ' 4 = % }^ ≠^ O^
REGLA DEL PRODUCTO Se extraen dos cartas de una baraja española. Probabilidad de que:
- La primera carta sea copa:
- La segunda sea copa, sabiendo que la primera lo fue:
- Las dos cartas sean copas: TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL EJEMPLO Se lanzan dos dados: Probabilidad de que :
- En el primer dado salga un 1:
- En el segundo dado salga un 1, sabiendo que en el primero salió 1:
- En el primer dado salga un 1, si en el segundo salió 1:
- En los dos, salga 1:
EJEMPLOS
40 cartas
SIN REEMPLAZAMIENTO :
An = 1-carta (^) sea copa
Az = 2- _
PLD (^) ,) = (^) ¥ ☐ (^) ( DR (^) / TEOREMA DE LA PROBDB (^). TOTAL (^) (TPT) TEOREMAS FUNDAMENTALES { TEOREMA DE BDYES
TEOREMA DE BAYES
Mi Tiene Malaria
◦ = (^) ◦en b) p^ (μ, e) = PtpML.GY-a.PK/M).PlM)=l-P(oIM
)].^ PLM)
p (M ) =^ ◦ (^) zg a) PCG)^ =^ PLM)^ .MG/M)tPlMc).P(6/MY--^ 1- p (g) (^) %)
DLGIM c) =^013 Tma de la =^ 0.25.02 +^ (1-0.25) ' O^ ' }
PLG /^ MI = ÓZ (^) pon. rota = (^) 0.275 '
- ⊕^ =^ Intersección^ ( (^) y ) Si^ coges^ un^ grupo c) PLGMM'^ )^ =P^ (^ GIM'^ )^.^ PLM^ '^ )^ =^ 0.3^.^ (1-0.25)=01025^ que^ tienenarañas^ ya^ ciertassabes^ se
- / = Condicionada LO ) (^) ( si... )(sabiendo (^) que) LOCALIZACIONES : A^ , B. C
A = 30 % → P ( A) =^ O^ " 3 @^ Prob^ .ae^ sea^ macho^ • naicionaao^ a^ una^ Locauioad^.^ utilizamos^ Bayes^ pq^ son^ informaciones^ contrarias
B =^ 10% (^) → Di B) = 0,1 PLM/^ A)^ =^ ÓZ^ a)^ T.PT^ →^ PLM)^ =^ b)^ PCAIH)^ = PlHμY = a =^ GO % (^) → D (^) (C) = O^ ' 6 PCM^ /^ B^ )^ =^ O^ ' Y = PLM /A)^ -^ DLA)^ +^ PLM/B). PLB) +^ PLMK).^ P(c) caminos macro = M PCM^ /^ ( ) =^ O '^05 =^ 0,13^ = %ffjYLY.PL =^ 3-- COLMILLOS HEMBRA = (^) μ C
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS VARIABLES ALEATORIAS: FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
FUNCIÓN DISTRIBUCIÓN :
✗ :^ R^ → IR
CC → 2
Cx → 1
✗ C → 1
FUNCIÓN DE MASA DE PROBABILIDAD → La^ probabilidad^ de^ todo^ el^ soporte es^1 y todos^ los^ puntos tienen^ probabilidad >O FUNCIÓN (^) DE MASA (^) DE PROBABILIDAD :
- ✗ ≤^ DINERO GANADO O PERDIDO ✗ (^1 2 3 4) S 6
P (^) # = ×) / % % % % %^ % PLX -^ -^ ×) %^ %^ % % % %
Y O^1
2. ✗ 1 2 -5 P^ (✗^ =^ 1) =^ 1/
p%%%ʳ P^ (^ ✗^ =^
- = (^) 1/ P (^) / ✗ = (^) ×) 1/4 2/4 1/ MEDIA : (^) μ - - ELX) -^ _ Exi.PL/i)vAriDNZD:o2=Vlx)--EHX-MT)--E(xi-M)?P(xi) DESVIACIÓN
TÍPICA :O^ =K⊕
FUNCION DE DISTRIBUCIÓN (ACUMULADA) EJEMPLO FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN : D ( 1 <^ ✗^ ≤^ 4)^ =^ FLU)^ -^ f-^ (1)^ [ ( × )^ =^ E^ P^ (^ ✗^ = (^) K) D (^) ( ^ (^) < ✗ < 4) K^ ≤^ ✗ D (^) ( 1 ≤ (^) × <^ 4) f- (1) =P^ (^ ✗^ =^ 1)^ =^ 1/ P (^) ( 1 ≤ ✗ ≤ U^ ) F^ ( 2) =^ E PLX -^ K) =^ 1/6+1/ K ≤ 2
EJEMPLO
O (^) si ✗ < (^1) o-4s - [→ ÓOS (^) si 1 ≤ ✗^ <^2 f- ( × > = { ◦^ " 25 si 2 ≤^ ✗^ < ☐ ' 3 si^3 ≤^ ✗^ <^4 03 - ◦^ ' 75 si 4 ≤ ✗ <^5 ◦^ ' 2s - [→ (^1) si ✗ (^) ≥ S
. (^)...
ÓOS - [→
(^1 2 3 4) S P (^) ( ✗ ≤ u (^) ) = f-^ (4) =^ 0,
D ( ✗ > 4) = 1- DCX ≤ 4) = 1- Ó -
P ( 2 ≤ ✗ < 4) = P^ (✗ = 2) + DLX =3) =^0125
P ( 2 <^ ¥^ ≤ 4) =^ F^ (4) -^ F (2) =^ ◦^ ' 75-0125=0 ' 5
ELX) =^ 1.^0105 +^ 2.0.2^ +^ 3.^ ÓOS^ +^ 4.^ ÓYS^ +^ 5.0125 =^ 3,
✓ ( X) = ÓOS (1-3.65)? + 0,2 (2-3,65)? + 0.05 (3-3.65)?^ + 0.4s. (4-3165)? -1 ◦^ ' 25. (5-5,65)
≥ ✓ ( X) =^ E- ( ✗ 2) - Elx)? E- (^) (✗ 2) =^ 12.0.05^ +^22. (^) ÓZ .-132.^ ÓOS^ +^42. 0,45 +^ 52.0.25^ = (^) 0,75-0,25--0 'S
EJEMPLO 2
Pi
FUNCIÓN DE^ PROBABILIDAD^ (^ O^ DE^ MASA) ×^ ~^ = { CCCX^ , XC^ , XX} Xr (^).... (^). ✗ (^) n ✗ O | (^1 2) × * ✗ • A → IR I = E^ =^ Eki^ .fi P^ /✗ =D /^ 1/4 2/4^ V4^ • • • (^) × CC^ →^2 cx →^ I ✗ C →^ , 0,05 + O ' 1 +^ ÓG +^ O ' IS my
- PCX^ -107--1^ PCX^ -101=011^ ✗^ ✗^ →^ o P (^) ( × ≥ (^) g) = ÓG + ÓS + ÓI = (^) Ó 8ns MEDIA O^ ESPERANZA :^ E- [ ×^ ] = § ¡ ✗i.^ PI^ =^ GOÓST^ 7.^ ÓA^ +^ 8.^ ÓG^ +^ 9.0115+10.011--
✓ [^ ×^ ] =^ C- (x2^ )^ - ELX )
VARIANZD :
E- [ ✗ 7--62.0105+72.011+82.016 +^ 92.0.15^ -1102 _ ÓI =^67125
VCX (^) ] =^67125 -^ (^ 8.15)^?^ =^ O^ '^8275
PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DISCRETAS DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI La distribución fue desarrollada por Jacobo Bernouilli (Suiza 1654-1705) y es la principal distribución de probabilidad directa para variables dicotómicas, es decir, que solo pueden tomar dos posibles resultados. Se corresponde con una v.a. X discreta que sólo puede tomar dos valores: 1 si ocurre A (éxito) o 0 si ocurre AC (fracaso). Esta variable se denomina variable de Bernouilli de parámetro p. Se denota como X ~ Ber( p ). BLP) → (^) sirve (^) para realizar^ el^ experimento (^) solo 1 vez. PLX -^ -01=1^ - P (^) Ecx) = o.fi - p) -11 - p
- p - _ μ P ( ✗^ =^ 1)^ =p VLX) -02= .pl?G-p)i-1-p)?p--pL1-p (^) )
EJEMPLO
¿Sabes identificar una distribución Binomial?
Para cada una de las siguientes situaciones, indica si la variable dada sigue una
distribución binomial. En caso afirmativo, identifica en ella los valores de n y p.
a- Lanzamos cien veces un dado y nos preguntamos por el número de unos que
obtenemos.
b- Extraemos una carta de una baraja y vemos si es un as o no. Sin devolverla al
mazo de cartas, extraemos una segunda carta, y también miramos si se trata de
un as o no, y así sucesivamente, hasta diez veces.
La línea aérea del ejemplo anterior ha vendido 80 billetes para un vuelo. La probabilidad de que un pasajero no se presente al embarque es de 0,05. Definimos X = número de pasajeros que se presentan al ambarque. Entonces (suponiendo independencia) EJEMPLO a) Si BL (^100) , 1/6 ) b) NO GPQ La^ probabilidad de Exito (^) en los dist.
experimenw-edifereuhe.IE
N° (^) PASAJEROS QUE SE (^) PRESENTAN ✗ ~^ B^ (^80 , 0.95^ ) 80- P (^) ( ✗ =^80 ) =/^ %) óas
(óos)^ = = Ó 958 º^ =^ O^ '^0165 P (^) ( ✗ ≤ (^80) )=^ 1-^ P ( ✗ =^80 ) =^ 1- (^) ÓOIGS =
= O ' 9835
MEDIA :
E [× ] =^80. 0195 = (^76) VARIANZA i ✓ (^) [× ] = n.pl 1-^ P^ )^ =^80.^ Ó^95.^ ÓOS^ = 38
El porcentaje de individuos de una población cuya sangre es del grupo B es del 10%. Se seleccionan aleatoria e
independientemente cuatro individuos de esta población.
Determina las probabilidades de los siguientes sucesos:
- La sangra de los cuatro es del grupo B.
- Ninguno de los cuatro tiene sangre del grupo B.
- Exactamente dos de ellos tienen sangre del grupo B.
En la misma población anterior se selecciona una muestra de 234 individuos. ¿Cuál es el número esperado de
ellos cuya sangre pertenece al grupo B?.
EJEMPLO EJEMPLO ✗ =^ N°^ PERSONAS CON GRUPO^ SANGUINEO B EN^ UN^ GRUPO^ DE 4.
✗ ~^ B ( 4,0 's^ )
- P^ (✗ =^ 4) = (Y ). ☐^ ' 1
. ☐^ ' q^ "^
= ◦ '^14.
- PL ✗^ =^ O) = (Y ) -^011 º^.^ Ó^9
" -^ °
= 0.94=0.
- P^ ( ✗^ =^ 2)^ = ( Y )^.^ O
O ' 94-2 =^ ◦^ '^0486 " pjiiiiijj-son.ws .
