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Apuntes que te servirá para obtener un recurso más cercano a la probabilidad y estadística en la unidad 5.
Tipo: Apuntes
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Es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de (n) ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija (p) de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, solo dos resultados son posibles. A uno de estos se le denomina (éxito) y tiene una probabilidad de ocurrencia (p) y al otro, (fracaso), con una probabilidad (q = 1 – p). En la distribución binomial el anterior experimento se repite (n) veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para este tipo de distribución de probabilidad, la función matemática es la siguiente: Donde: P(X) = probabilidad de X éxitos dados los parámetros n y p n = tamaño de la muestra p = probabilidad de éxito 1 – p = probabilidad de fracaso X = número de éxitos en la muestra (X = 0, 1, 2, …….. n) Formula de la media en distribución binomial: Formula de la varianza en la distribución binomial:
Es un método que se utiliza cuando el espacio muestral, que se maneja en el problema, es mucho mayor que la muestra. Cuando (N) es grande y (n) es relativamente pequeña entonces la distribución correcta a utilizar es la binomial. Se puede probar que la función de probabilidad hipergeométrica converge a la función de probabilidad binomial cuando (N) es grande.
Desventaja de la distribución hipergeométrica Generalmente el muestreo se hace a partir de una población grande, por lo que la distribución hipergeométrica es mucho menos usada en la vida real que la binomial. Sin embargo, si la población es pequeña, entonces la distribución correcta a utilizar será la hipergeométrica. Se recomienda usar la distribución hipergeométrica cuando: (N / n < 10).
Supóngase que se efectúa repetidamente un experimento o prueba, que las repeticiones son independientes y que se está interesado en la ocurrencia o no de un suceso al que se refiere como “éxito”, siendo la probabilidad de este suceso p. La distribución geométrica permite calcular la probabilidad de que tenga que realizarse un número k de repeticiones antes de obtener un éxito por primera vez; esta probabilidad decrece a medida que aumenta k con lo que la función de masa de probabilidad es siempre decreciente. Así pues, se diferencia de la distribución binomial en que el número de repeticiones no está predeterminado, sino que es la variable aleatoria que se mide y, por otra parte, el conjunto de valores posibles de la variable es ilimitado. Para ilustrar el empleo de esta distribución, se supone que cierto medicamento opera exitosamente ante la enfermedad para la cual fue concebido en el 80% de los casos a los que se aplica; la variable aleatoria “intentos fallidos en la aplicación del medicamento antes del primer éxito” sigue una distribución geométrica de parámetro p = 0,8. Otro ejemplo de variable geométrica es el número de hijos hasta el nacimiento de la primera niña. La distribución geométrica se utiliza en la distribución de tiempos de espera, de manera que, si los ensayos se realizan a intervalos regulares de tiempo, esta variable aleatoria proporciona el tiempo transcurrido hasta el primer éxito. Esta distribución presenta la propiedad denominada “falta de memoria”, que implica que la probabilidad de tener que esperar un tiempo t no depende del tiempo que ya haya transcurrido.
Si consideramos ahora k + 1 variables aleatorias que representan Xi= Número de veces que ocurre el suceso Ai en las n repeticiones del experimento, i = 1; 2;; k + 1 (claramente Xk+1. está completamente determinada a partir de las anteriores ya que entonces
La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto período de tiempo. Concretamente, se especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy pequeñas, o sucesos «raros». Esta distribución se puede hacer derivar de un proceso experimental de observación en el que tengamos las siguientes características
Solución Se tiene P (μ 400 = 0) ≈ e-400(0.019^ = e-^4 = 0.0183, de modo que P (μ 400 ≥ 1) = 1 – P (μ 400 = 0) ≈ 0. CONVERGENCIA BINOMIAL-POISSON. Se puede probar que la distribución binomial tiende a converger a la distribución de Poisson cuando el parámetro n tiende a infinito y el parámetro p tiende a ser cero, de manera que el producto de n por p sea una cantidad constante. De ocurrir esto la distribución binomial tiende a un modelo de Poisson de parámetro l igual a n por p Este resultado es importante a la hora del cálculo de probabilidades, o , incluso a la hora de inferir características de la distribución binomial cuando el número de pruebas sea muy grande y la probabilidad de éxito sea muy pequeña. El resultado se prueba, comprobando como la función de cuantía de una distribución binomial con y tiende a una función de cuantía de una distribución de Poisson con siempre que este producto sea una cantidad constante (un valor finito) En efecto: la función de cuantía de la binomial es Y llamamos tendremos que:
realizando que es la función de cuantía de una distribución de Poisson.
La distribución binomial negativa es una distribución de probabilidad discreta que incluye a la distribución de Pascal. Es una ampliación de las distribuciones geométricas, utilizada en procesos en los cuales se ve necesaria la repetición de ensayos hasta conseguir un número de casos favorables (primer éxito). La distribución Binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad p de ocurrencia de éxitos en los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, es decir, sólo son posibles dos resultados (A y no A). La variable aleatoria es el número de ensayos Bernoulli necesarios para obtener el primer éxito. Si deseamos conocer el número de estos para conseguir n éxitos, la variable aleatoria es binomial negativa. El número de experimentos de Bernoulli de parámetro p independientes realizados hasta la consecución del k-ésimo éxito es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial negativa con parámetros k y p. La distribución geométrica es el caso concreto de la binomial negativa cuando k = 1.
Si aleatorizamos de forma que cada uno de estos sucesos se corresponda con un número natural del 1 al n obtendremos una distribución uniforme. Tendremos un único parámetro; n Diremos que, por lo tanto: Puede hacerse derivar en consecuencia de un proceso experimental de selección aleatoria, en el que la característica que consideramos en la selección sólo puede tomar un conjunto de n valores discretos y donde cualquiera de estos valores puede obtenerse con igual probabilidad. Por su elementalidad no es una distribución de excesivo interés práctico, su función de cuantía definida para los valores de x = {1, 2, n} vendrá dada por la constante: P(x) = l /n para x = {1, 2, n} Su función de distribución vendrá dada por Puede comprobarse que su media será: su varianza será: por último, su Función Generatriz de Momentos, quedará expresada como:
Ejercicios distribución binomial
Ejercicios de distribución hipergeométrica
Ejercicios de distribución geométrica
q = 0.95 =probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre una variación excesiva p (x = 6) = Ejercicios Distribución Multinomial
Ejercicios Distribución de Poisson
