Probabilidad y Estadística: Unidad 3 - Variables Aleatorias, Apuntes de Probabilidad

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Probabilidad y estadística

Unidad 3: Variables aleatorias

Variables aleatorias

• Unión entre probabilidad y estadística.
• Definición.
• Clasificación.
  • Discretas.
  • Continuas.
• Variables aleatorias independientes.

¿Qué es una variable aleatoria?

• Cuando se realiza un experimento aleatorio, no nos interesan todos los detalles de los resultados, sino sólo ciertas cantidades relevantes.
• Estas cantidades de interés, que son determinadas por el resultado del experimento, son las variables aleatorias.
• Como el valor de ésta está determinado por el resultado del experimento, puede asociársele una probabilidad a cada valor que puede tomar.
• Son estadísticas ya que muchas de las variables están relacionadas con valores estadísticos como la media y la varianza.

Matemáticamente

Una variable aleatoria es una clase especial de función. Una variable aleatoria X es una función de S en el conjunto de los reales , asociado a un experimento aleatorio. S X(S)⊆ ℝ (^) f(X) 0 1 2 3 f(0)=1/ f(1)=3/ f(2)=3/ f(3)=1/ X f sss ssa sas saa ass asa aas aaa Experimento aleatorio : lanzar una moneda 3 veces. X: número de “águilas” que salen.

Funciones de probabilidad o de

densidad

La función de probabilidad, o de densidad, describe el comportamiento de una variable aleatoria. La función de distribución acumulada es la suma de las probabilidades en cada valor hasta llegar a 1.

Variables aleatorias independientes

Muchas ocasiones, durante un experimento dado, no sólo nos interesa la función de probabilidad para una variable, sino que a veces se necesita saber la relación entre dos o más variables aleatorias, para determinar si existe una relación entre ambas. Ejemplo: En un estudio acerca del cáncer, se quiere determinar la relación entre el número promedio de cigarros fumados por día y la edad a la que la persona contrae el cáncer.

Variables aleatorias discretas

• Función de probabilidad o de densidad
• Función de distribución acumulada.
• Parámetros de una distribución.

Reporte 2

• En equipos de 4 personas, se les entregará un dado doble.
• Deberán definir las siguientes variables:
  • X , el número que cae en el dado exterior.
  • Y , el número que cae en el dado interior.
• A continuación, se definen los siguientes eventos: - X – Y, la resta del dado exterior menos el dado interior. - Y/X, la división del dado interior entre el dado exterior.
• Con ayuda de tablas, anoten los posibles resultados teóricos y la probabilidad de obtener cada uno de ellos.
• Grafiquen la distribución de probabilidades. Lancen los dados 200 veces, y anoten los pares de valores para cada ocasión. Anoten los resultados para los eventos definidos anteriormente: - X – Y, la resta del dado exterior menos el dado interior. - Y/X, la división del dado interior entre el dado exterior. Tabulen y grafiquen los resultados prácticos. ¿Los valores se asemejan entre sí?

Función de distribución acumulada

Tal como en estadística, se puede tener una función donde se muestren las probabilidades acumuladas para una variable. Si se expresa en términos de p(x) se obtiene: 𝑭 𝒙 = ෍ ∀𝒙

en donde F(x) es la función de distribución acumulada, la cual es una función escalonada.

Parámetros de una distribución

La función de distribución describe el comportamiento de una variable aleatoria. Sin embargo, existen parámetros que describen la función, proporcionando al investigador datos sobre la naturaleza de las variables. Estos son estadísticos y los más utilizados son:

• Media (μ)
• Varianza ( σ 2 )
• Desviación estándar ( σ )

Propiedades de la esperanza

Sean X y Y variables aleatorias y c cualquier número real: E[c] = c E[cX] = cE[X] E[X + Y] = E[X] + E[Y] Es importante recordar que la esperanza es otro nombre para la media, y que se encarga de colocar el centro de una distribución.

Varianza y desviación estándar

Indica la variabilidad o dispersión de lo valores que existen. Existen dos formas de calcularla: 𝑽𝒂𝒓 𝑿 = 𝝈 𝟐 = 𝑬 𝑿 − 𝝁 𝟐 O 𝑽𝒂𝒓 𝑿 = 𝝈 𝟐 = 𝑬 𝑿 𝟐 − (𝑬[𝑿]) 𝟐 La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza.

Ejemplo

Sea S el espacio muestra donde se lanza un par de dados

equilibrados. Sean X y Y variables aleatorias en S , donde X

representa el máximo de los números X(a, b) = max(a, b) y

Y representa la suma de los números Y(a, b) = a + b.

(a y b son los números de cada dado.)

1. Encuentra la distribución f ( X) junto con la gráfica de probabilidad.
2. Encuentra la distribución g ( Y) junto con la gráfica de probabilidad.
3. Halla la media y la varianza para cada caso.

Ejemplo

Es importante encontrar el espacio muestral para determinar las probabilidades asociadas a cada variable. En este caso, el espacio muestral está constituido por los pares ordenados (a, b). Son 36 de ellos: S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), …, (6, 6)}