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Tipo: Resúmenes
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Subido el 27/05/2020
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Con enfoque a Ingeniería Civil
Instituto Tecnológico de Mérida “2020, Año de Leona Vicario, Benemérita Madre de la Patria”
Introducción
En años recientes, el estudio matemático de redes complejas que modelan problemas del mun- do real ha tenido importantes avances, los problemas de redes surgen en una gran variedad de situacio- nes. Las redes de transporte, eléctricas y de comunicaciones predominan en la vida diaria. La representación de redes se utiliza de manera amplia en áreas tan diversas como producción, distri- bución, planeación de proyectos, localización de instalaciones, administración de recursos y planea- ción financiera, por mencionar sólo algunos ejemplos. En realidad, una representación de redes pro- porciona un poderoso apoyo visual y conceptual para mostrar las relaciones entre los componentes de los sistemas, de tal modo que se usa casi en todos los ámbitos científicos, sociales y económicos. (Hillier, F. Lieberman, G, 2015) En la ingeniería civil es común encontrar problemas que involucran el concepto de redes. La gama es enorme, desde redes de distribución de agua o redes de transporte hasta redes de actividades o redes de recursos dentro de un proyecto. Las representaciones de las redes han mostrado ser una he- rramienta muy poderosa para el entendimiento de las relaciones entre los componentes de un sistema y su posterior optimización. El término genérico de “red” hace referencia a un conjunto de entidades (objetos, personas, etc) conectadas entre sí. Por lo tanto, una red permite que circulen elementos materiales, tangibles e intangibles entre estas entidades. Uno de los mayores desarrollos recientes en investigación de ope- raciones ha sido el rápido avance tanto en la metodología como en la aplicación de los modelos de optimización de redes. La aparición de algunos algoritmos ha tenido un efecto importante, al igual que las ideas de ciencias de la computación acerca de estructura de datos y la manipulación eficiente de
Una red conexa es una red en la que cada par de nodos está conectado. Se dice que dos nodos están conectados si la red contiene al menos una trayectoria no dirigida entre ellos. Un árbol es una red conectada libre de ciclos compuesta de un subconjunto de todos los nodos, y un árbol de expansión es un árbol que une todos los nodos de la red. La capacidad del arco es la cantidad máxima de flujo (quizás infinito) que puede circular en un arco dirigido. Entre los nodos se pueden distinguir aquellos que son generadores netos de flujo, absorbedores netos de flujo o ninguno de los dos. Un nodo fuente – o nodo origen– tiene la propiedad que el flujo que sale del nodo supera al que entra en él. El caso inverso es un nodo demanda (o nodo destino), donde el flujo que llega excede al que sale de él. Un nodo de transbordo (o intermedio) satisface la conservación del flujo , es decir el flujo que entra es igual al que sale. Finalmente, una ruta es un conjunto de arcos que unen dos distintos nodos, y que pasan a través de otros nodos en la red. Esta terminología se utilizará en el desarrollo de los algoritmos y ejemplos. Conforme se re- quiera, se recuperará alguno de los conceptos, ya sea para aplicar algún paso de un algoritmo o expli- car alguna consideración particular de una operación o tipo de red. Muchos modelos de optimización de redes son en realidad tipos especiales de programación lineal debido a su representación mediante una red. (Taha, 2012. Novena edición)
Figura 1. Taha. H. (2012). Ejemplo de una red (N,A) [Figura] Investigación de Operaciones. PearsonEducación México
Figura 2. Taha. H. (2012).Operaciones. Pearson Educación México Ejemplos de un árbol y un árbol de expansión[Figura] Investigación de
4.1 El modelo del camino más corto El problema de la ruta más corta es uno de los problemas más importantes de optimización combinatoria con muchas aplicaciones, su representación gráfica ha permitido visualizar proble- mas en áreas como: transporte, planeación de tráfico urbano, transbordo, diseño de rutas de vehículos, redes eléctricas, telecomunicaciones, distribución, administración de proyectos, planeación de producción, diseño de movimiento en robótica, redes de colaboración, localización de instalaciones, etc. El problema de la ruta más corta, es considerada por los investigadores como un problema central dentro del área de redes, debido a la variedad de aplicaciones prácticas, a la existencia de mé- todos de solución eficientes y a la aplicación de subrutinas en la búsqueda de mejores soluciones en problemas complejos. Los algoritmos para este tipo de problemas han sido estudiados desde la década de los 50´s y continúan siendo un área activa de investigación. Encontrar la ruta más corta entre dos nodos de una red, en la cual cada arco tiene un costo (o longitud) no negativo es un problema que a menudo se presenta en ciertas actividades. El objetivo es minimizar el costo (tiempo o longitud) total entre un origen y un destino determinados utilizando la información disponible en una red y cumpliendo con las especificaciones de distancia, tiempo, cone- xiones existentes, etc.
El algoritmo parte de un vértice origen que será ingresado, a partir de ese vértice evaluaremos sus adyacentes, entre todos los vértices adyacentes buscamos el que esté más cerca de nuestro punto origen, lo tomamos como punto intermedio y vemos si podemos llegar más rápido a través de este vér- tice a los demás. Después escogemos al siguiente más cercano (con las distancias ya actualizadas) y repetimos el proceso. Esto la hacemos hasta que el vértice no utilizado más cercano sea nuestro des- tino. Al proceso de actualizar las distancias tomando como un punto intermedio al nuevo vértice se le conoce como relajación. En esencia el algoritmo de Dijkstra, establece: Sea ui la distancia más corta del nodo origen 1 al nodo i , y se define dij (≥ 0) como la longitud del arco ( i,j ). El algoritmo define la etiqueta para un nodo j que sigue inmediatamente como. [ uj, i ] = [ ui+dij, i ], dij ≥ 0 La etiqueta para el nodo de inicio es [0, -], que indica que el nodo no tiene predecesor. Las etiquetas de nodo en el algoritmo de Dijkstra son de dos tipos: temporales y permanentes. Una etiqueta temporal en un nodo se modifica si puede hallarse una ruta más corta al nodo. De lo contrario, el estado temporal cambia a permanente. Paso 0. Etiquete el nodo de origen (nodo 1) con la etiqueta permanente [0, - ], Establezca i =1. Paso general i : (a) Calcule las etiquetas temporales [ ui+dij, i ] para cada nodo j con dij ≥ 0, siempre que j no este etiquetado permanentemente. Si el nodo j ya tiene una etiqueta temporal existente [ uj , k ] hasta otro nodo k y si ui+dij < uj, reemplace [ uj , k ] con [ ui+dij, i ]. (b) Si todos los nodos tienen etiquetas permanentes deténgase. De lo contrario,
seleccione la etiqueta [ ur, s ] que tenga la distancia más corta (= ur ) entre todas las etiquetas temporales (rompa los empates arbitrariamente). Establezca i = r y repita el paso i. Para ilustrar el algoritmo, veamos la siguiente red. Ejemplo 1. La red da las rutas permisibles y sus longitudes en kilómetros entre la ciudad 1 (nodo ori- gen) y las otras ciudades (nodo 2 a 5). Se desea determinar las rutas más cortas entre la ciudad 1 y cada una de las cuatro ciudades restantes.
Figura 3. Rutas permisibles con longitudes en km Iteración 0. Asigne una etiqueta permanente [ 0, - ] al nodo 1. Iteración 1. Se puede llegar a los nodos 2 y 3 desde el nodo 1 (el último etiquetado permanentemente). Así, la lista de nodos etiquetados (temporales y permanentes) es Tabla 1. Tabla de nodos temporalesy permanentes (Iteración 1)
Para las dos etiquetas temporales [100,1] y [30,1], el nodo 3 da la distancia mínima (u 3 =30). De este modo, el estado del nodo 3 cambia a permanente.
Nodo Etiqueta Estado 1 [ 0, - ] (^) Permanente 2 [0 +100, 1]= [100,1] Temporal 3 [0 +30, 1] = [30,1] Temporal
100 1
2
3
4 (^30 )
(^2010)
15
50
es permanente. Esto deja al nodo 5 como la única etiqueta temporal. Como el nodo 5 no conduce a otros nodos, su etiqueta se hace permanente, y el proceso termina. La ruta más corta entre el nodo 1 y cualquier otro nodo en la red se determina partiendo del nodo des- tino deseado y retrocediendo hasta el nodo de inicio utilizando la información en las etiquetas perma- nentes. Por ejemplo, la ruta más corta del nodo 1 al nodo 2 esta determinada por la siguiente secuencia. (2) [55,4] (4) [40,3] (3) [30,1] (1) Por lo tanto, la ruta deseada es 1 3 4 2 con una distancia total de 55 kilómetros.
4.2 El modelo de flujo máximo El algoritmo de flujo máximo tiene como objetivo maximizar la cantidad del flujo del origen al destino. Esta cantidad se mide en cualquiera de las dos maneras equivalentes, esto es, la cantidad que sale del origen o la cantidad que entra al destino. El primer algoritmo eficiente para encontrar el má- ximo flujo fue concebido por Ford y Fulkerson y es uno de los algoritmos más famosos en el área de informática. En los ultimos 50 años, se han hecho muchas mejoras sobre este algoritmo, desde que se desarrollo se han descubierto muchas aplicaciones, a continuación mencionaremos algunas aplicacio- nes comunes:
En algunas de estas aplicaciones, el flujo a través de la red se puede originar en más de un nodo y también puede terminar en más de uno, aunque el problema de flujo máximo debe tener sólo un origen y un destino. Por ejemplo, una red de distribución de una compañía tiene varias fábricas y múltiples clientes. En este caso se recurre a una reformulación ingeniosa para ajustar esta situación al problema de flujo máximo. Se trata de aumentar la red original para que incluya un origen ficticio, un destino ficticio y algunos arcos nuevos. El origen ficticio se maneja como el nodo que a origen a todo flujo que en realidad se origina en algunos otros nodos. En cada uno de estos otros nodos se inserta un nuevo arco que va desde el origen ficticio hasta este nodo, donde la capacidad del arco es igual al flujo má- ximo que se puede originar en este nodo. De manera similar, el destino ficticio se trata como el nodo que absorbe todo el flujo, que en realidad, termina en algún otro nodo. Por lo tanto, se coloca un nuevo arco desde cada uno de los otros nodos hasta el destino ficticio con capacidad igual al flujo máximo que en realidad termina en este nodo. Debido a estos cambios, todos los nodos de la red original se convierten en nodos de transbordo para que la red aumentada tenga un solo origen (fuente ficticia) y un solo destino (destino ficticio) y se ajuste al problema de flujo máximo.
Algoritmo de flujo máximo Este algoritmo se fundamenta en el hallazgo de rutas de avance con flujo positivo entre los nodos origen y destino. Cada ruta destina una parte de o todas las capacidades de sus arcos al flujo total en la red. Como el problema del flujo máximo se puede formular como un problema de progra- mación lineal, se puede resolver con el método simplex. Sin embargo, se dispone de un algoritmo de trayectorias aumentadas mucho más eficiente. Este algoritmo se basa en dos conceptos intuitivos, el de una red residual y el de una trayectoria aumentada.
llamadas capacidades residuales – para asignar flujos adicionales. Regresar al paso 1 y repetir hasta finalizar la red. La parte más difícil de este algoritmo, es encontrar una trayectoria de aumento idonea. Esta ta- rea se puede simplificar con un procedimiento sistemático. Se comienza por determinar todos los no- dos que se pueden alcanzar desde el origen con un solo arco con capacidad residual estrictamente posi- tiva. Después, en el caso de cada uno de estos nodos alcanzados, se determinan todos los nuevos no- dos – entre los que no han sido alcanzados – a los que se puede llegar desde este nodo con un solo arco con capacidad residual estrictamente positiva. Este procedimiento se repite con los nuevos nodos a medida que se llega a ellos. El resultado será la identificación de un árbol con todos los nodos a los que se puede llegar desde el origen, a lo largo de una trayectoria con capacidad de flujo residual estric- tamente positiva. Este procedimiento de abanico siempre identificará una trayectoria de aumento, si existe. Aunque el procedimiento es relativamente directo, es útil poder reconocer cuándo se tiene un patrón óptimo sin tener que buscar de manera exhaustiva una ruta que no existe. A veces es posible reconocer esto con el resultado de un teorema importante de teoría de redes, conocido como teorema del-flujo máximo-corte mínimo. Un corte define un conjunto de arcos cuya eliminación de la red inte- rrumpe el flujo entre los nodos fuente y destino. La capacidad del corte es igual a la suma de las capa- cidades de su conjunto de arcos. En general hay muchas formas de dividir una red para formar un corte que ayude a analizarla. El teorema del-flujo máximo-corte mínimo establece que para cualquier red con un solo nodo origen y un solo nodo destino, el flujo máximo fáctible del origen al destino es igual al valor del corte mínimo de todos los cortes de la red, en otras palabras, entre todos los cortes posibles en la red, el corte con la capacidad mínima es el cuello de botella que determina el flujo máximo en la red.
A continuación, con ayuda de un ejercicio dirigido, se exponen las particularidades y funcio- namiento del algoritmo de flujo máximo. Ejemplo 2. La red de drenaje de una pequeña comunidad ha ido creciendo conforme las colonias se han conurbado. En tiempos de lluvia la capacidad del drenaje se ve sobrepasada y la comuna sufre inundaciones. Se ha propuesto la ampliación del colector principal para desalojar de manera más efi- ciente las precipitaciones.
Figura 4. Red de drenaje con gastos máximos (m^3 /seg) La red muestra el gasto máximo em m^3 /seg de los colectores secundarios y la dirección del flu- jo. Se desea determinar la capacidad del colector principal con base en el flujo máximo de la red. Solución. El algoritmo de flujo máximo requiere que exista un solo nodo origen y uno solo de destino. Para nuestro ejemplo es necesario crear un nodo ficticio de origen, lo mismo sucede cuando se tienen diversos destinos del flujo, se debe crear un nodo ficticio de destino donde confluyan los flujos reales. El flujo de los arcos salientos del nodo ficticio origen corresponden a la suma de los arcos salientes de los nodos de origen real.
3
2 4 1
5
1.0 (^) 0.
1.2 1.
6
7
8
9
0.5 1.
1.4? Colector Principal
3
2 4 1
5
1.0 (^) 0.5^ 0.
1.2 0.5 1. 6 7
8
9
0.5 (^) 1.
1.4? Colector Principal 0
Podemos observar que los arcos 23 y 34 aún cuentan con flujo residual, pero como se co- nectan al origen a través de los arcos 01 y 1 2 que están saturados, esta capacidad residual no se aprovechará. Buscando la tercera trayectoria se encuentra 0 5 6 8 4 9 con un flujo residual mínimo en el arco 49 de magnitud cr = 0.4 m^3 /seg. Con este valor se calculan los nuevos flujos residuales para los arcos de esta ruta.
Figura 8. Red residual de la 3era trayectoria La cuarta trayectoria es 0 5 6 8 9 con flujo residual de cr = 0.6 m^3 /seg. Se calculan los flujos residuales y se registran en la red.
Figura 9. Red residual de 4a trayectoria Ahora solo queda una trayectoria con flujo residual, 0 5 7 8 9, el mínimo corresponde al arco 5 7 por lo que se resta cr = 0.5 m^3 /seg a los flujos residuales de esta trayectoria.
3
2 4 1
5
6 7
8
(^9) Colector Principal^? 0^0
1.
0 1.0^0 0.7^0 0.2 0.3 (^) 0.1 0.3 1.
0. 1.5 0.
1.0^0 1.^
0.
0. 0.1^ 1.
0
3
2 4 1
5 0.5^ 1.
6 7
8 1.2^9 Colector Principal^? 0^0
1.
0 1.0^0 0.7^0 0.2 0.3 (^) 0.1 0.3 1.
1.3 0.4 0.8^ 0.
0.6 0.4 0.
0.
3
2 4 1
5 0.5^ 1.
6 7
8
(^9) Colector Principal^? 0^0
1.
0 1.0^0 0.7^0 0.2 0.3 (^) 0.1 0.3 1.
0.7 1.0 0.2^ 1.
0 1.0^ 0.
0. 0.6 0.
0.5 0.
0.
Figura 10. Red residual de 5a trayectoria Si bien, aún existen arcos con capacidad residual de 0.2 m^3 /seg en los arcos que salen del origen y de 0.1 m^3 /seg en los que desembocan en el destino, es imposible encontrar una ruta que los transporte. Con esto concluye el algoritmo del flujo máximo y se calcula su valor sumando los flujos que entran en el destino, 1.1 m^3 /seg + 1.4 m^3 /seg = 2.5 m^3 /seg. Por lo tanto el colector principal deberá ser di- señado para captar este flujo.
4.3 El modelo del árbol de expansión mínima
Uno de los problemas más comunes al construir redes de infrestructura es determinar la estruc- tura mínima que permita que todos los nodos queden interconectados. El algoritmo de árbol de expan- sión mínima enlaza los nodos de una red, en forma directa e indirecta, con la mínima de longitud de las ramas enlazantes. En teoría un árbol de expansión mínima puede formularse y resolverse como un programa lineal. Sin embargo, la PL no es una opción práctica porque deben agregarse numerosas restricciones para excluir todos los ciclos y el resultado es una PL enorme, aún para las redes peque- ñas. Una aplicación característica es en la construcción de carreteras pavimentadas que unen varias poblaciones. El camino entre dos poblaciones puede pasar por uno o más poblaciones adicionales. El diseño más económico del sistema de caminos indica que se minimice la distancia total de caminos pavimentados. El problema de árbol de expansión mínima tiene algunas similitudes con la versión principal del problema de la ruta más corta. En ambos casos se considera una red no dirigida y conexa , en la que la información dada incluye alguna medida de longitud positiva – distancia ,costo,tiempo, etc.– asocia- da con cada ligadura. Los dos problemas involucran también el hecho de seleccionar un conjunto de ligaduras con la longitud total más corta entre todos los conjuntos de ligaduras que satisfacen cierta
cano a un nodo conectado y se conectan estos dos nodos, esto es, se agrega una ligadura entre ellos. Este paso se repite hasta que todos los nodos están conectados. La manera más rápida de ejecutar este algoritmo en forma manual es el enfoque gráfico que se ilustra a continuación.
Ejemplo 3. Una compañía de televisión de paga va a proporcionar servicio de cable a cinco desa- rrollos habitacionales. La figura muestra las posibles conexiones de TV a las cinco áreas, con los ki- lómetros de cable anexadas a cada arco. (Taha, 2012. Novena edición)
Figura 11. Taha.H.(2012) Red de conexiones para servicio de TV cable con longitudes en km. [Figura]Investigación de Operaciones. Pearson Educación México
El algoritmo se inicia en el nodo 1 (en realidad, cualquier otro nodo puede ser un punto de inicio). C 1 = {1} y 𝐶̅ 1 = {2,3,4,5,6} En la iteración 1, la rama (1,2) es el vínculo más corto entre todas las ramas candidatas del nodo 1 a los nodos 2,3,4,5 y 6 en el conjunto de nodos no conectados 𝐶̅1. De ahí que el vínculo (1,2) se hace permanente y j= 2, de lo que resulta. C 2 = {1,2} y 𝐶̅ 2 = {3,4,5,6} En la iteración 2, la rama (2,5) proporciona el vínculo más corto entre todas las ramas candidatas, ha- cemos (2,5) permamente y j=5, de lo que resulta. C 3 = {1,2,5} y 𝐶̅ 3 = {3,4,6}
(^2 )
1 3
1
3 9 5 6
6 10 8
5 (^74)
4
3
En la iteración 3, la rama (2,4) es el vínculo más corto, se convierte en permanente y j=4, por lo que resulta. C 4 = {1,2,5,4} y 𝐶̅ 4 = {3,6} En la iteración 4, (4,6) se convierte en vínculo permanente ya que proporciona el menor valor y j= 6, lo que resulta. C 5 = {1,2,5,4,6} y 𝐶̅ 5 = {3} En la iteración 5, identificamos un empate con los vínculos (1,3) y (4,3), los empates se pueden romper arbitrariamente, pero el algoritmo debe llegar a una solución óptima. No obstante estos empates son señal de que pueden existir (pero no necesariamente) soluciones óptimas múltiples. Elegiremos de ma- nera arbitraria el vínculo (4,3) que se convierte en permanente y j*=3, con este enlace todos los nodos de la red estan conectados por lo que el árbol de expansión mínima es. C 6 = {1,2,5,4,6,3} y 𝐶̅ 6 = {∅} El resultado que da la solución al problema se obtiene sumando los kilómetros de cable que se necesi- tan para proporcionar el servicio de cable deseado. 1 + 3 + 4 + 3 + 5 = 16 kilómetros El enfoque gráfico proporciona una manera sencilla de entender el algoritmo.
en cada iteración.
