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Probabilidad condicionada
Sea B c E un suceso aleatorio de probabilidad no nula, P [B] > 0. Para cualquier otro suceso
A c E , llamamos probabilidad condicionada de A a B a la cantidad que representamos
mediante
P [ A ¿¿ ¿ B ]¿
o bien
P
B
[ A ]
. y que se calcula como:
La probabilidad condicionada anterior da solucion a la siguente pregunta: sabiendo que B
ha ocurrido, ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A?
Obsérvese que la definicion no tendría sentido si P[ B ]=
La expresión permite hallar la probabilidad condicionada a partir de las probabilidades
calculadas considerando todo el espacion mustral inicial Ω.
Desde el punto de vista práctico, cuando se condiciona a un suceso, realmente se produce
uan reducción del espacion muestral: se sabe que el resultado obtenido es un elemento del
espacion¿ muestral sino que concretamente está en B , por lo que el conjunto de posibles
resultafos de los que ahora se parte es B.
Para ver que la definición de probabilidad condicionada que se ha proporcionado realmente
corresponde a la probabilidad de un suceso A suponiendo que B ha ocurrido, supongamos,
por ejemplo, que el espacio muestral es finito y los sucesos elementales son equiprobables.
En tal caso:
Una interpretación similar se puede hacer con la definición frecuentista ya que las
frecuencias relativas verifican:
Teorema. P [*| B ] es una probabilidad, es decir,
- Para cualquier suceso A, 0 ≤ P [A|B].
2. P [Ω|B] = 1.
- En el caso en el que A sea un álgebra, dados A , A , dos sucesos mutuamente₁, A₂, dos sucesos mutuamente ₂, dos sucesos mutuamente
excluyentes A₁, A₂, dos sucesos mutuamente ∩ A ₂, dos sucesos mutuamente = ∅ , se verifica que:
En el caso en el que A sea una sigma-álgebra, dados A , A ,…, sucesos mutuamente₁, A₂, dos sucesos mutuamente ₂, dos sucesos mutuamente
excluyentes, se verifica que:
Como consecuencia, P [*| B ] verifica todas las propiedades de una probabilidad. En
particular, P [Ā|B] = 1 - P [A|B].
Independencia de sucesos
P [A|B] > P [A], se dice que B no favorece la aparición de A.
P [A|B] < P [A], se dice que B no favorece la aparición de A.
P [A|B] = P [A], aso particular que estudiamos a continuación con más detalle.
- Dados dos sucesos A y B, tal que P [B] > 0, se dice que A es independiente de B si
P [A|B] > P [A]
Es decir, si se conoce que B ha ocurrido, la probabilidad de A es la misma que se tenía
inicialmente.
- Dados dos sucesos A y B, se dice que A y B son independientes si
P [A ∩ B] = P [A] P [B].
Este resultado facilita el cálculo de la probabilidad de la intersección de dos sucesos cuando
ambos sucesos son independientes.
Bibliografía
Barranco, I. Cubiles, M. Et al. (2007). “Estadística”. Universidad de Sevilla. Recuperado
de: http://ocwus.us.es/estadistica-e-investigacion-operativa/estadistica/temas/
apartado2.pdf
