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Probabilidad y Procesos Aleatorios
Capítulo 2:
VARIABLE ALEATORIA
Material de partida:
Principios de probabilidad, variables aleatorias y señales aleatorias
Peyton, Z. & Peebles, Jr.
(Capítulo 2)
Prof. Daniel Cervantes
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probabilidad variable aleatorias, Guías, Proyectos, Investigaciones de Probabilidad y Procesos Estocásticos
distintas distribuciones de probabiliadad
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
2018/2019
1 / 77
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Probabilidad y Procesos Aleatorios
Capítulo 2: VARIABLE ALEATORIA Material de partida: Principios de probabilidad, variables aleatorias y señales aleatorias Peyton, Z. & Peebles, Jr. (Capítulo 2) Prof. Daniel Cervantes [email protected]
Variable aleatoria -I : Experimento aleatorio : Espacio muestral (todos los resultados posibles) A cada elemento del espacio muestral w le asignamos un número real X(w) Una variable aleatoria X es una función que asocia a cada suceso del espacio muestral de un experimento aleatorio un valor numérico real: ( ) : w X w X La variable aleatoria puede ser discreta, continua o mixta.
Variable aleatoria -II Una variable aleatoria X es una función que aplica cada suceso del espacio muestral en algún punto de la recta real. Más de un suceso puede aplicarse al mismo valor de X pero no puede ser multivaluada (todo punto de debe corresponder con un solo valor de X) ( ) : w X w X
X(“cero caras”)=0 X(“una cara”)=1 X(“dos caras”)=2 X(“tres caras”)= Dominio : ={“cero caras”,“una cara”,“dos caras”,“tres caras”} Rango : {0,1,2,3} Dominio x Rango
Variable aleatoria -III Notación: variable aleatoria W, X,Y mayúscula, valores concretos, minúscula, w,x,y X B w X w B B R X x w X w x x X x w x X w x X x w X w x
{ } " "{ / ( ) } con
{ }notaciónpara{ / ( ) } 1 2 1 2 Condiciones para que una función sea una v.a.: -Además de no ser multivaluada
- {X =< x} será un suceso para cualquier número real x (y podremos calcular su probabilidad-ver arriba-)
- Que las probabilidades de los sucesos {X=} y {X=- } sean igual a cero.
Función de Distribución-I F x P X x x R X x x R X
Se llama Función de Distribución F.D. que obviamente depende de x La probabilidad delsuceso { } F
Función de Distribución-II ( )es continua por laderecha 6 ) ( ) ( )siendo , y 0
4 ) ( ) ( ) si
1 2 2 1 1 2 1 2 F x F x F x x x P x X x F x F x F x F x x x F x
F
F
X X X X X X X X X X
Propiedades, algunas específicas derivadas del hecho de que F X (x) es una probabilidad
Función de Distribución-IV ( ) ( ) ( )
2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 P X x P X x P x X x X x x X x X x X x x X x P x X x F x F x X X
Propiedades 5
Función de Distribución-V Variable aleatoria discreta: aquella cuya función de distribución es “escalonada” Ejemplo: Lanzamiento de dos dados, con v.a. X la suma de los dados rango x = {2,3,...,12} ... 4 ( 13 ) ( 31 ) ( 2 , 2 ) 3 36 3 ( 12 ) ( 21 ) 2 36 2 ( 11 ) 1 36 P(X ) P( , , ) / P(X ) P( , , ) / P(X ) P( , ) /
x
1, 0, 0, 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 F X ( x )
Ej. v.a discreta sobre un espacio muestral infinito numerable , (N infinito) también podemos definir una función de densidad Ejemplo: Sea X = Número de lanzamientos de una moneda antes de que aparezca una cara. Entonces: P (X = 1) = P (C) = 1/ P ( X = 2) = P (+C) = 1/2. 1/2 = 1/ P ( X = 3) = P (++C) = 1/2. 1/2. 1/2 = 1/ ... y en general P ( X = n ) = (1/2) n , n = 1,2,…. FUNCION ESCALON UNITARIO
Función de Distribución-VII Variable aleatoria continua: aquella cuya función de distribución es “continua” x 1, 0, 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 FX( x )
- Propiedades: ( ) 0 ( ) ( ) ( ) P X x x R F x F x F x x R X X X Rango continuo
Función de Densidad
Función de Densidad (de probabilidad)-I
Pueden existir puntos donde la derivada no esté definida:
- puntos de cambio abrupto de pendiente (f(x) usa la función escalón u(x)) x 1, 0, 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 FX( x ) x 1, 0, 1/ 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 fX( x ) Interpretación... Cómo se “distribuye” (densidad) la “masa” de probabilidad de X (en este ejemplo, uniformenente) ...acumulación de probabilidad... “Función de distribución de probabilidad acumulativa” dx dF x f x X X ( ) ( )
19 Función de densidad de probabilidad
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Se puede pensar como la generalización de un histograma de frecuencias relativas para variable continua. a b ( ) ( ) ( ) F b F a P a x b X X
f x dx
b a X
Función de Densidad -III Propiedades de f(x) 2 1 4 ) { } ( ) 3 ) ( ) ( )
- ( ) 1 .... ( ) ( ) 1 1 ) ( ) 0 ( ) esnodecreciente 1 2
- x x X x X X X X X P x X x f x dx f d F x f x dx F F f x x R F x Las propiedades 1 y 2 pueden utilizarse como pruebas para ver si una función g X (x) puede ser una f.d.p. Ejercicio 2.3.- x P x X x x f x x X { } ( ) lim 0