Probabilidad y Variable Aleatoria, Apuntes de Econometría

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Econometría para la Empresa

Repaso Inferencia (1)

Probabilidad (recordatorio)

y

Variable aleatoria

Nociones de probabilidad

Hay tres maneras principales de entender la probabilidad:  (^) Clásica (teórica o a priori): Es la probabilidad teórica de ocurrencia de un suceso aleatorio. Regla de Laplace.  (^) Frecuentista (objetiva o a posteriori): Probabilidad de un suceso es la frecuencia relativa de ocurrencia de un suceso al realizar un experimento repetidas veces.  (^) Subjetiva (bayesiana): Grado de certeza que se posee sobre un suceso. Es personal.  (^) En ambos tipos de definiciones aparece el concepto de suceso. Vamos a recordar qué son y algunas operaciones que se pueden realizar con sucesos.

Definición de probabilidad y prob. condicionada

 Se llama probabilidad a cualquier función, P, que asigna a cada suceso A

un valor numérico P(A), verificando las siguientes reglas (axiomas)

 (^) 0≤P(A) ≤  (^) P(E)=  (^) P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø  (^) Ø es el conjunto vacío.

 Se llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A

sabiendo que pasa B:

E espacio muestral 100% E espacio muestral B A E espacio muestral A B “tamaño” de uno respecto al ( )^ otro ( ) ( | ) P B P A ∩ B P A B 

Intuir la probabilidad condicionada

B A P(A) = 0, P(B) = 0, P(A∩B) = 0, B A ¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A|B)=1 P(A|B)=0, P(A) = 0, P(B) = 0, P(A∩B) = 0,

Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos

A 1 A 2 A 3 A 4 Son una colección de sucesos A 1 , A 2 , A 3 , A 4 … Tales que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas. Álgebra de sucesos → σ-álgebraálgebra

Definición axiomática de ProbabilidadDefinición axiomática de ProbabilidadDefinición axiomática de Probabilidad Definición axiomática de Probabilidad

• ¿Qué tal van las clases, Bartolo? Me pregunta mi barbero.
• Bien... Dando probabilidad y estadística... Respondo.
• ¡Ah! Probabilidad... Yo suelo jugar a la lotería... Dice mientras me pasa la cuchilla.
• Cuando compro un número, tal y como yo lo veo, hay dos posibilidades: ganar o perder. De modo que tengo un 50% de probabilidad de ganar y un 50% de perder. -¡Muy bien, Ricardo! Respondo, mientras pienso que no es bueno contradecir a nadie que tenga una navaja en mi cuello...

Variable aleatoria Una variable aleatoria X es una función que asocia a cada suceso del espacio muestral E de un experimento aleatorio un valor numérico real: ( ) : w X w X E    Llamar variable a una función resulta algo confuso, por ello hay que insistir en que es una función.

Ejemplo de variable aleatoria discreta:

Número de caras al lanzar 3 monedas.

Elementos del

espacio muestral

Nº reales

0 1 2 3 caras Ley de correspondencia +++ ++C +C+ C++ CC+ C+C +CC CCC

Supongamos que me preguntáis si es par. Y respondo que no. ¿Cómo modifica la función? 1 2 3 99 100 X P 1/ ........ Os pido una pregunta de modo que mi respuesta genere una función de incertidumbre, de probabilidad, tal que los valores con posibilidad no tengan todos la misma. ¿Son válidas: “¿Tiene dos cifras el número?” o “¿Es un número primo?”?

Función de probabilidad

Una vez definida una variable aleatoria X , podemos definir una función de probabilidad asociada a X , de la siguiente forma:

: [ 0 , 1 ]

x p x P X x

p

La función de probabilidad debe cumplir:

x

ii p x

i p x x

(Suma sobre todos los posibles

valores

que puede tomar la variable aleatoria).

**Requerimientos de una distribución de probabilidad X P(X) -álgebra 0 1 2 3 . . . . .

X P(X) -álgebra 0 1 2 3 -álgebra. . . . .

X P(X) -álgebra 0 1 2 3 . . . . . 1.** 0  P ( x )  1 para todo x ( ) 1 para todo x   P x

Observa que aun si el espacio muestral es infinito numerable, podemos definir una variable aleatoria discreta y una función de probabilidad. Ejemplo: Sea X = Número de lanzamientos de una moneda antes de que aparezca una cara. Entonces: P (X = 1) = P (C) = 1/ P ( X = 2) = P (+C) = 1/2. 1/2 = ¼ P ( X = 3) = P (++C)= 1/2. 1/2. 1/2 = 1/ 8 etc. y en general P ( X = n ) = (1/2) n , n = 1,2...

Función de distribución Dada una variable aleatoria X se llama función de distribución a la función F definida como: ( ) ( ) : [ 0 , 1 ] x F x P X x F      En el ejemplo de los dos dados: F(5) = P(X  5) = P(x = 2 ó x = 3 ó x = 4 ó x = 5) F(5) = 1/36 + 2/36 +3/36 + 4/36 = 10/

Función de distribución de la variable aleatoria X x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 F 1 1/ 1/