-
1
-
PROBLEMA 2
Apartado a:
Sea X: Renta familiar. X~N(µ , σ) con ambos parámetros desconocidos. Se trata de contrastar
la hipótesis nula
2 2
0 o
H :
σ = σ
frente a la alternativa
2 2
1 o
H :
σ ≠ σ
. El valor experimental del
estadístico y la región crítica del contraste vienen dados por:
2
2
2
0
nS
χ =
σ
y
2 2
0 /2
S : (n 1) ó
α
χ < χ −
2 2
1 /2
(n 1)
−α
χ > χ −
. Como n=100 y S
2
=2.08, se tiene que
2
0
2
0
100 2.08
69.23 3
⋅
=⇒σ =
σ
, y así se
tiene que
2 2
0 1
H : 3 frente a H : 3
σ = σ ≠
.
El nivel de significación pedido es el valor de probabilidad o valor-p del contraste. Cola de la
izquierda:
p
2/2 p p
69.23 (99) / 2 0.01 0.02 (2%)
α
= χ ⇒α = ⇒α =
.Como este resultado es coheren-
te, no hace falta comprobar la cola de la derecha de la distribución del estadístico experimental.
Apartado b:
Primer método: Sin más que ver que como 0.05 está por encima del valor de probabilidad
calculado anteriormente, se rechaza la hipótesis nula a dicho nivel de significación.
Segundo método: Efectuando el contraste a dicho nivel de significación, α=0.05. Cola de la
izquierda:
2 2
/2 0.025
(n 1) (99) 73.361
α
χ − = χ =
,y como 69.23<73.361 el valor del estadístico experi-
mental está en dicha cola, y se rechaza la hipótesis nula al 5% de significación (no hace falta
comprobar la cola de la derecha).
Tercer método: Construyendo un intervalo del 95% (1-α=0.95) para σ
2
:
2 2 2 2
2 2 2 2
1 /2 /2 0.975 0.025
nS nS nS nS 100 2.08 100 2.08
( , ) ( , ) ( , ) (1.6196 , 2,8353)
128.422 73.361
(n 1) (n 1) (99) (99)
−α α
⋅ ⋅
= = =
χ − χ − χ χ
Como dicho intervalo está constituido por el conjunto de hipótesis nulas simples (contraste
bilateral) aceptables a un nivel de significación del 5%, y al quedar el 3 fuera de ese intervalo,
dicha hipótesis nula, σ
2
=3, se rechazaría a ese nivel de significación.
Apartado c:
Sea X
1
: Precio, en euros, por metro cuadrado de vivienda construida en 2007, X
1
~N(µ
1
, σ) y
X
2
:Precio, en euros, por metro cuadrado de vivienda construida en 2009, X
2
~N(µ
2
, σ) en 2009,
siendo desconocidos los tres parámetros.
Se trata de contrastar la hipótesis nula
µ ≥ µ ⇔ µ − µ ≥
0 1 2 1 2
H : 0
frente a la alternativa
µ < µ ⇔ µ − µ <
1 1 2 1 2
H : 0
. El valor experimental del estadístico y la región crítica del contraste
vienen dados por:
1 2 0
2 2
1 1 2 2 1 2
1 2 1 2
x x m
t , S : t t
n S n S n n
n n 2 n n
α
− −
= <
+ +
+ −
, siendo α el nivel de significación.
Los valores de las medias muestrales están en el centro del los respectivos intervalos de
confianza, basta con sumar los extremos y dividir entre 2:
1 2
1493.26 3906.74 2202.72 2927.34
x 2700 y x 2565.03
2 2
+ +
= = = =
. El signo del valor del
estadístico experimental depende solo del numerador, que en este caso es 2700-2565.03-0,
positivo, y como quiera que t
α
es negativo para los niveles de significación habituales del 1%,
5% y 10%, estaríamos fuera de S
0
, con la que a dichos niveles se aceptaría la hipótesis nula de
que el precio medio ha descendido. Es más, podemos tener plena seguridad de que puede
