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2º Curso de GADE. Curso 2010/
Convocatoria ordinaria
15-06-2011. Teoría
________________________________________________________________________
Apellidos y Nombre:_________________________________________ Grupo:__
- Sea (X 1 , X 2 , X 3 …, X 10 ) un vector aleatorio, con distribución Normal Multivariante, con matriz identidad por
matriz de variancias-covariancias. Determine Var(X 4 – X 7 ). Explique en qué se basa para el resultado.
- ¿Qué quiere decir que el modelo Exponencial carece de moda?, ¿cómo se relaciona dicho modelo con el
de Poisson?
- ¿Qué supuestos habría que establecer para poder determinar la distribución de probabilidad de la media
muestral cuando la población no es Normal? Coméntelo.
- ¿Qué es la estimación puntual de un parámetro poblacional desconocido?: a) una variable aleatoria, b)
un número, c) un estadístico, d) una función de dicho parámetro. Justifique la respuesta.
- En el contraste de bondad de ajuste ¿qué valor debería tomar el estadístico experimental para aceptar,
sea cual sea el nivel de significación del contraste, la hipótesis nula?, justifíquelo.
DURACIÓN: 15 MINUTOS
2º Curso de GADE. Curso 2010/
Convocatoria ordinaria
15-06-2011. Teoría
________________________________________________________________________
Apellidos y Nombre:_________________________________________ Grupo:__
- Sea (X 1 , X 2 , X 3 …, X 10 ) un vector aleatorio, con distribución Normal Multivariante, con matriz identidad por
matriz de variancias-covariancias. Determine Var(X 4 – X 7 ). Explique en qué se basa para el resultado.
Var(X 4 -X 7 )=2, pues en general Var(X 4 -X 7 )= Var(X 4 )+Var(X 7 )-2 Cov(X 4 , X 7 ), pero al ser igual a uno todos los elementos de la diagonal principal de la matriz de variancias-covariancias, y cero el resto se tiene Var(X 4 )=Var(X 7 )=1 y Cov(X 4 , X 7 )=0.
- ¿Qué quiere decir que el modelo Exponencial carece de moda?, ¿cómo se relaciona dicho modelo con el
de Poisson?
Que no existe un valor de la variable que haga máxima la densidad.
El modelo de Poisson sirve para describir el comportamiento aleatorio del número de veces que ocurre un suceso por unidad de tiempo, y el Exponencial para describir el tiempo que pasa hasta que ocurre el suceso por primera vez o entre dos veces consecutivas.
- ¿Qué supuestos habría que establecer para poder determinar la distribución de probabilidad de la media
muestral cuando la población no es Normal? Coméntelo.
Que las variables sean independientes, con la misma distribución, y que el número de ellas sea lo suficientemente elevado, lo que equivale a decir que la muestra sea aleatoria simple y de gran tamaño.
- ¿Qué es la estimación puntual de un parámetro poblacional desconocido?: a) una variable aleatoria, b)
un número, c) un estadístico, d) una función de dicho parámetro. Justifique la respuesta.
Un número. El es resultado de sustituir en el estimador las variables muestrales por sus correspondientes valores una vez observada (realizada) la muestra.
- En el contraste de bondad de ajuste ¿qué valor debería tomar el estadístico experimental para aceptar,
sea cual sea el nivel de significación del contraste, la hipótesis nula?, justifíquelo.
Cero. En ese caso todas las frecuencias observadas coincidirían con las esperadas, con lo que se aceptaría la hipótesis nula cualquier a nivel de significación -valor de probabilidad igual a 1-. La evidencia de la muestra hacia la hipótesis nula sería máxima. (También se puede responder diciendo que si el valor del estadístico experimental es cero, siempre estaría fuera de la región crítica por muy grande que fuera el tamaño de ésta)
DURACIÓN: 15 MINUTOS
Apartado 1
(a) X: Número de tapones (millones) fabricados en un mes. F(x)=P(X≤x)=kx , 0≤x≤4. f(x)=F´(x)=k, con lo
que
4 4 0 0
∫ kdx^ =^1 ⇒^ k(x)^ =^1 ⇒^ 4k^ =^1 ⇒^ k^ =1/ 4ó bien directamente^ F(4)^ =^1 ⇒^ k4^ =^1 ⇒^ k^ =^ 1/ 4, con lo que
F x x , 0 x 4 y f(x)=F´(x)= , 0 x 4 4 4
(b) Densidad constate: la longitud de [3 ,4] es la cuarta parte de [1 ,4], luego la probabilidad es 0.25 (sin cálculo) 4 4
3 3
P(X 3) 1 P(X 3) 1 F(3) 1 0.25·3 0.25 ó bien P(X 3) f(x)dx dx 0. 4
(c) μ=2 (sin cálculo, densidad contante: valor central del intervalo). 4 4 2 4 0 0 0
E(x) xf(x)dx x dx (x ) 2 4 4 2
4 4 2 2 2 3 4 0 0 0
E(X ) x f(x)dx x dx (x ) 4 4 3 3
Var(X) E(X ) 2 3 3
σ = = − μ = − =
Dispersión relativa:
V 100 100 27.73%
σ = = = μ
(d) Y: Número de meses del año de baja producción. Y~B(n=12, p=0.5), p=0.5 por la simetría de f(x). P(Y≥2)=1-P(Y<2)=1-P(Y≤1)=1-B(n=12, p=05, y=1)=1-0.0032=0.
(e) Para 60 meses (5 años) la distribución sería Normal (n grande y p=0.5, o aplicando el Teorema Central del Límite) y por tanto continua, por lo que la probabilidad pedida (en un punto) es 0.
Apartado 2
(a) Xi: Peso (gr) del tapón i-ésimo, i=1, 2, …,100 , n=100. Suponiendo independientes los pesos de los 100 tapones, se dan las condiciones para aplicar el Teorema Central del Límite. 100 i i 1
X X :
=
= ∑ Peso (gr) de los 100 tapones, X → N(100·3.4 , 100·(4.7)^2 ) ≡N(340 , 47)
P(X 400) 1 P(X 400) 1 P(Z ) 1 P(Z 1.28) 1 0.8997 0.10 03
No hay que hacer supuestos acerca del modelo o forma de la distribución de probabilidad de las 100 (n→∞) Xi , pues el Teorema Central del Límite no lo requiere, basta con que sean independientes (se ha supuesto), con la misma distribución y μ y σ^2 finitas.
(b) 0,5, pues 340 es la media de X y su distribución (Normal) es simétrica.
Apartado 3
(a) X: Diámetro (mm) del tapón. X~N(μ , σ) con ambos parámetros desconocidos.
1 / 2 1 / 2
S e^ n^1 1.85 · 7 e t (n 1) t (49) 1.295 1.299 1 / 2 0.9 1 0.8 (80%) −α (^) n 1 −α S 10
= − ⇒ = = = ⇒ − α = ⇒ − α = −
(b) Extremos del intervalo:
x ∓ e = 22 ∓1.85 = (20.15 , 23.85) y a = 2 e = 2·1.85 = 3.7 ó a = 23.8 5 − 20.15 =3.
Apartado 4
(a) Sí, pues 22.1 pertenece al anterior intervalo del 80% de confianza.
(b) Sí, pues si 22.1 pertenece al intervalo del 80% de confianza también pertenecerá al del 95% que es más amplio; o lo que es lo mismo, si a un nivel de significación del 20% hemos aceptado la hipótesis se aceptará a cualquier nivel de significación inferior.
(c) Que será superior a 0.2 (20%), pues a dicho nivel se ha aceptado la hipótesis nula.
(d) Basta igualar el valor del estadístico experimental al valor crítico para α=αP:
p p p p
0 exp 1 /2 1 / 2 1 / 2 1 / 2
x 22 22. t t (n 1) n 1 t (n 1) 49 t (49) 0.07 t (49) −α (^) S −α 10 −α −α
− μ − = − ⇒ − = − ⇒ = ⇒ = ⇒
1 − α p / 2 < 0.9 (tablas) ⇒ αp >0.
(e) Para que αP=1 ha de ocurrir que texp=0, y por tanto x = 22.1. Sería el caso de máxima evidencia muestral a favor de la hipótesis nula, que sería aceptada a cualquier nivel de significación (siempre sería imposible rechazarla sea cual sea la dispersión muestral).
