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2º Curso de GADE. Curso 2010/
Convocatoria extraordinaria
05-09-2011. Teoría
________________________________________________________________________
Apellidos y Nombre:_________________________________________ Grupo:__
- Si los valores de una variable aleatoria son 0, 1, 2, 3, 4 y 5, y P(X≤4)=0.974 y P(X≤3)=0.963, ¿cuál será P(X=4)?, ¿y P(X=5)? (No es preciso realizar los cálculos; puede dejarlos indicados).
- Si tras lanzar un dado 100000 veces se ha observado que el número de “pares” es aproximadamente el doble que el de “impares”, ¿podría aplicarse la definición clásica o a priori para asignar probabilidades?, ¿por qué?
- Para estimar la variancia desconocida de una población Normal, partir de una muestra aleatoria simple
de tamaño 16, ¿sería estimador
16 i i 1
X
=
∑ ?, justifíquelo. ¿Qué modelo probabilístico seguiría dicha suma?,
¿por qué?
- Si en un contraste paramétrico se acepta la hipótesis nula a un nivel de significación del 5% y se rechaza a un nivel de significación del 1%, con la misma muestra, ¿qué se puede concluir?, ¿por qué?
- Si se aumenta el nivel de confianza de un intervalo del 90% al 95%, ¿aumentaría también el conjunto de
hipótesis (simples) aceptables al reducir el nivel de significación del 10% al 5%?, ¿por qué?
DURACIÓN: 15 MINUTOS
2º Curso de GADE. Curso 2010/
Convocatoria extraordinaria
05-09-2011. Teoría
________________________________________________________________________
Apellidos y Nombre:_________________________________________ Grupo:__
- Si los valores de una variable aleatoria son 0, 1, 2, 3, 4 y 5, y P(X≤4)=0.974 y P(X≤3)=0.963, ¿cuál será P(X=4)?, ¿y P(X=5)? (No es preciso realizar los cálculos; puede dejarlos indicados).
P(X=4)=F(4)-F(3)= P(X≤4)- P(X≤3)=0.974-0.963=0.
P(X=5)=F(5)-F(4)= 1- P(X≤4)=1-0.974=0.
- Si tras lanzar un dado 100000 veces se ha observado que el número de “pares” es aproximadamente el doble que el de “impares”, ¿podría aplicarse la definición clásica o a priori para asignar probabilidades?, ¿por qué?
No. Con esa evidencia el dado no sería correcto, los resultados no son equiprobables y no se puede aplicar el principio de simetría (experimento aleatorio no simétrico).
- Para estimar la variancia desconocida de una población Normal, a partir de una muestra aleatoria simple
de tamaño 16, ¿sería estimador
16 i i 1
X
=
∑ ?, justifíquelo. ¿Qué modelo probabilístico seguiría dicha suma?,
¿por qué?
No. Para ser estimador tendría que tomar valores en el espacio paramétrico (intervalo de extremos 0 e ∞, ó RRRR++++), y dicha suma puede tomar negativos, al poder ser negativas las observaciones muestrales.
N(16μ, 4σ) siendo μ y σ la media y la desviación estándar de la población. La suma (combinación lineal) de 16 Normales, independientes, y con los mismos parámetros es Normal de media 16 veces la media y variancia 16 veces la variancia.
- Si en un contraste paramétrico se acepta la hipótesis nula a un nivel de significación del 5% y se rechaza a un nivel de significación del 1%, con la misma muestra, ¿qué se puede concluir?, ¿por qué?
Es imposible. Los cálculos están mal o algo ha fallado. Si se acepta al 5% por fuerza ha de aceptarse a cualquier nivel de significación inferior.
O de forma alternativa, en términos de valor de probabilidad: si se acepta al 5%, dicho valor de probabilidad sería superior a dicho nivel, con lo que la hipótesis nula se aceptaría a cualquier nivel inferior a αp, en concreto al 1%.
- Si se aumenta el nivel de confianza de un intervalo del 90% al 95%, ¿aumentaría también el conjunto de
hipótesis (simples) aceptables al reducir el nivel de significación del 10% al 5%?, ¿por qué?
Sí. Al aumentar el nivel de confianza del 90% al 95% también aumenta la amplitud del intervalo, y por tanto el conjunto de hipótesis aceptables también aumenta al disminuir el nivel de significación del 10% al 5% (es lógico, al disminuir el tamaño de la región crítica, aumenta el conjunto de hipótesis aceptables).
DURACIÓN: 15 MINUTOS
Apartado A
(1) X: Tiempo de demora, en minutos, con que comienza una clase. X~Exp (μ=5) Y: Número de alumnos que llegan tarde a una clase. Y~P(μ=4)
Presentará más dispersión relativa la que tenga mayor coeficiente de variación V 100
σ
μ
Para X: μ=σ ⇒ V=100%. Para Y: μ>σ (al ser μ>1) ⇒ V<100%. Por tanto, sin necesidad de realizar cálculos, presenta más dispersión relativa X, y la media de Y es más representativa que la de X.
Y
P[(Y 7) (Y 5)] P(Y 7) P(Y 7) p( 4,y 7) 0. P(Y 7 / Y 5) 0. P(Y 5) 1 P(Y 5) 1 F (5) 1 P( 4,y 5) 1 0.
= ∩ > = = λ = = = > = = = = = = > − ≤ − − λ = = −
(3) Xi: Tiempo de demora, en minutos, con que comienza la clase i-ésima, i=1, 2, …,120; n=120. μ=E(Xi)=5, σ 2 =Var(Xi)=25, i=1, 2, …, 100. Como son números finitos y n es elevado, suponiendo independientes las 100 variables, se dan las condiciones para aplicar el Teorema Central del Límite. X: Retraso, en minutos, acumulado por el
profesor en las 120 clases. X → N(n μ , n σ^2 ) ≡ N(120·5, 120·25 ) ≡ N(600,54.77). Nueve horas y cuarto son 555 minutos
y
> = − ≤ = − ≤ − = − Z− = − =
P(X 555) 1 P(Z ) 1 P(Z 0.82) 1 F ( 0.82) 1 0.2061 0.79 39
Apartado B
(1) X 1 : Calificaciones de Matemáticas. X 1 ~N(μ 1 , σ 1 ), n 1 =20, S 12 =3. X 2 : Calificaciones de Estadística. X 2 ~N(μ 2 , σ 2 ), n 2 =25, S 2 2 =1.37 , con x 1 = x 2 y X 1 y X 2 independientes.
H 0 :μ 1 = μ 2 ⇔ μ 1 - μ 2 =0 frente a H 0 :μ 1 ≠ μ 2 ⇔ μ1- μ 2 ≠0. S 0 :│texp│>t1-α/2. Al ser iguales las medias muestrales el valor del estadístico experimental es 0 (formulario), con lo que dicho valor siempre estaría fuera de la región crítica, sea cual sea el tamaño de ésta, y por tanto se aceptaría la igualdad de calificaciones medias a cualquier nivel de significación, sin que influyan las dispersiones muestrales; es el caso de máxima evidencia muestral a favor de la hipótesis nula, que hace imposible que pueda ser rechazada (αP=1).
(2) H 0 : σ 12 ≤ σ 22 frente a H 1 : σ 12 > σ 22 ,
2 1 2 1 exp 2 2 1 2
n (n 1)S (^) 20·24·3. F 2. n (n 1)S 25·19·1.
y S 0 : Fexp > F 1 −α(n 1 − 1,n 2 − 1). Igualando el
valor experimental del estadístico al valor crítico para αP:: 2.345 = F 1 −α P( 19, 24 )⇒ 1 − αP = 0.975 ⇒ αP =0.025 (2.5%)
(3) Análogamente:
2 2 2 1 1 1 2 0.99 2 2 2 2 2
20·24·S 20·24·S S 25·
F (19, 24) 2.762 2.762 2.
25·19·S 25·19·S S 20·
2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 /2 1 2 2 1 2 /2 1 2 2 1 2 0.995 0.
1 n (n 1)S 1 n (n 1)S 1 1 ( , ) ( 2.345 , 2.345) F (^) −α (n 1,n 1) n (n 1)S Fα (n 1,n 1) n (n 1)S F (19,24) F (19,24)
0.995 0.
F (19,24) 1/ F (24,19) 3.092 1/ 3.
(5) Decir que las variancias son iguales equivale a que su cociente vale 1, y como 1 está dentro del anterior intervalo del 99% de confianza, a un nivel de significación del 1% se aceptaría que el cociente vale 1, con lo que se acepta que las variancias poblacionales son iguales.
Apartado C
(1) Se trata de contrastar la hipótesis nula de que no existe preferencia por estos alumnos a la hora de elegir uno de los tres libros (aunque se pregunte lo opuesto), que es tanto como decir que la probabilidad de que cada libro sea elegido es la misma: 1/3. H 0 : p 1 =p 2 =p 3 =1/3, siendo pi=P(elegir el libro i), i=1, 2 y 3.
El número de observaciones es n=60, el de categorías K=3 y todas las
frecuencias esperadas son superiores a 5.
3 2 (^2) i i exp i 1 (^) i
(n np )
=^ np
S 0 : χ (^2) exp^ > χ 12 −α (k − 1). Para α=0.05, χ^21 −α(k − 1) = χ^2 0.95 (2) = 5.991 y como 1.9<4.605, se acepta la hipótesis nula. Para α=0.1, χ 1 2 −α^ (k − 1) = χ^2 0.9 (2) =4.
y como 1.9<4.605 también se acepta la hipótesis nula. Por tanto, a ambos niveles de significación se acepta H 0 y no se puede afirmar que haya un libro preferido sobre los otros dos.
(2) Si hasta el 10% de significación se ha aceptado la hipótesis nula, el valor de probabilidad de este contraste ha de ser superior a 0.1 necesariamente.
Ai ni pi npi (ni-npi)^2 /npi Libro 1 17 1/3 20 0. Libro 2 25 1/3 20 1. Libro 3 18 1/3 20 0. 1.
