Problema de Vectores, Ejercicios de Matemáticas

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Indice general

1. Vectores en el Plano 2

1.1. Problemas de vectores................................. 2

Cap´ıtulo 1

Vectores en el Plano

1.1. Problemas de vectores

1. Demuestre que el tri´angulo ABC formado por los puntos A(− 1 , −3), B(6, 1) y C(2, −5)

es un tri´angulo rect´angulo?

2. Dados lo v´ertices opuestos de un cuadrado P = (3, 5) y Q = (1, −3). Calcular su ´area
3. Demuestra por medio de distancias, que los puntos A = (− 6 , −8), B = (0, −4) y C =

(3, −2), est´an en una misma recta.

4. Muestre que los puntos A = (− 2 , 0), B = (2, 0) y C = (0, 2

3. son los v´ertices de un

tri´angulo equil´atero.

5. Los v´ertices de un tri´angulo equil´atero son los puntos A = (2, −3) y B = (4, −5), determinar

el tercer v´ertice (dos casos)

6. Encuentre el punto sobre el eje y que equidista de (− 4 , −2) y (3, 1).
7. Encuentre el punto sobre el eje x que equidista de (− 2 , 5) y (4, 1).
8. Sean P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) extremos de un segmento de recta, determina el valor de la raz´on

r para que el punto P (x, y) divida al segmento en partes iguales, y deduce las coordenadas

del punto medio.

9. Deduce las coordenadas de los puntos de trisecci´on (que dividen en tres partes iguales) del

segmento P 1 P 2 determinados por los puntos P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ).

10. ¿Cu´al es la raz´on en la que el punto P (1, 4) divide al segmento de recta determinado por

los puntos P 1 (− 5 , 2) y P 2 (7, 6)?

11. ¿Cu´al es la raz´on en la que el punto P (2, 7) divide al segmento de recta determinado por

los puntos P 1 (− 1 , 1) y P 2 (6, 15)?

12. ¿Cu´ales son las coordenadas de los puntos de trisecci´on del segmento de recta determinado

por los puntos P 1 (− 6 , 2) y P 2 (3, 5)?

22. Hallar un vector

c cuya longitud es igual a la del vector

a = (3, −4) y cuya direcci´on es

la misma que la del vector

b = (1, −

23. Sean

a = (2, −3),

b = (− 2 , 1) y

c = (3, 2). Hallar un vector unitario ortogonal al vector

v = 5

a − 3(

b +

c ).

24. Hallar un vector

v de longitud 6

3 y que tiene la misma direcci´on de un vector que forma

un ´angulo de 30

◦ con el sentido positivo del eje X.

25. Si

a = (a 1 , a 2 ), ‖

a ‖ = 2,

a 1

a 2

= 4. Hallar

a.

26. En la figura: ‖

OM ‖ = 12. Si

ON = m

OM + n

OM

⊥

. Determinar el valor de: m + n

x

y

O

30°

30°

N (^) M

27. De la figura, determinar el vector

AB

x

y

O 35

A

B

12 15

8

28. Dos vectores

a y

b forman un ´angulo agudo cuyo senθ = 0,75, determinar la longitud

del vector

b , sabiendo que

a −

b es ortogonal a

a , y que ‖

a ‖= 27.

29. Si

a =

b , donde

a = (3x − y + 1, − 2 x + y) y

b = (x − 3 y + 3, x + 5y − 1). Calcular:

M = 5x − 8 y.

30. Dados los puntos A = (− 4 , −1), B = (3, 2) y C = (2, −2), hallar un punto D cuyas

componentes son positivas de manera que cuadril´atero ABCD sea un paralelogramo.

31. Escribir el vector

z = (− 1 , 18) como combinaci´on lineal de los vectores

x e

y tales que:

x ‖

a e

y ‖

b donde

a = (− 1 , 4) y

b = (1, 3).

32. Consideremos los vectores de la figura. Si

c = m

a + n

a

⊥ , donde ‖

c ‖= 8, ‖

a ‖= 2.

Calcular: m −

3 n.

x

y

O

30°

a

c

a

33. Sea ABCD un rect´angulo, una de cuyas diagonales tiene por extremos los puntos A = (3, 4)

y C = (9, 16). Si los lados de mayor longitud son paralelos al vector (1, 1). Determinar los

v´ertices B y D.

34. Si

d =

b +

c y si

b ‖

c , demostrar que

d es paralelo a

a si y s´olo si

c ‖

a.

35. Hallar los v´ertices de un tri´angulo, sabiendo que los puntos medios de sus lados son M =

(− 1 / 2 , 7 /2), N = (− 3 / 2 , −2), P = (2, 3 /2).

36. En la figura, si

q =

a +

b +

c determinar

q sabiendo que la segunda componente de

q es cero, ||

b || = 20, ||

a || = 10

2, y que la primera componente de

c es igual a 20.

37° 45°

x

y

a

b

37. En la figura, si P es un punto tal que el ´area del tri´angulo α es cinco veces del ´area del

tri´angulo β, calcular ||

OP ||

mide 37

◦ , B = (− 2 , 4) y D = (4, −2), 2), hallar el vector

AC y el vector

AM , donde M es

el punto medio de la hipotenusa BC.

x

y

A

M

B

C

D

41. En el paralelogramo ABCD, M es punto medio de AB. Hallar s y t si:

AM = s

AC + t

DM

A D

B C

M

42. El punto A = (− 1 , 6) es uno de los v´ertices del cuadrado ABCD cuyo centro es el punto

E = (− 3 / 2 , 5 /2). Determinar los v´ertices B, C y D.

43. Probar que si

a y

b son vectores de igual longitud entonces el vector

a +

b biseca al

´angulo entre

a y

b , y que

a −

b es ortogonal al vector

a +

b.

44. El ´angulo entre

a y

b es 150

◦ , ||

a || = 3 y ||

b || = 5; calcular ||

a +

b || y ||

a −

b ||.

45. Los lados de un tr´ı´angulo son los vectores

a ,

b y

a +

b. Si ||

a || = 4, ||

b || = 6 y

Comp−→ b

a = 2, calcule ||

a +

b ||.

46. El helado de la figura, tiene la crema semicircular y el barquillo en forma de un tri´angulo

is´osceles Si P = (− 3 , 4)/π, Q = (5, 10)/π, determinar el punto R si el ´area de la figura

plana es de (25π + 200)/(2π) u

2 .

x

y

Q

O

R

P

47. Sean A = (− 3 , 2), B y C = (− 1 , 13) y D los v´ertices de un rect´angulo, tal que AC es una

de sus diagonales y

AB es ortogonal al vector (4, −3). Hallar los puntos B y D.

48. Los lados de un tri´angulo son

a ,

b y

a −

b , tales que ||

a || = 10, ||

b || = 6 y Comp−→ b

a =

−5. Hallar la longitud del vector (

a −

b ).

49. Los vectores

a y

b son los lados de un paralelogramo, si ||

a || = 10, ||

a || = 2||

b || y

Comp−→ b

a =

, determinar ||

a −

b ||.

50. En la figura:

AB ‖

OY y ||

AB|| = 4. Si:

OB = m

OA + n

OA

⊥

. Determinar el valor de:

m − n.

x

y

A

O

B

51. Dados los vectores

a y

b forman entre s´ı un ´angulo de 60

◦ y el m´odulo ||

a || = 6. Hallar

el m´odulo de

b para el

a −

b forma con el vector

a un ´angulo de 30

◦ .