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Para la progresión aritmética:
𝑎𝑎 1 = 𝑎𝑎 1 𝑎𝑎 2 = 𝑎𝑎 1 + 𝑟𝑟 𝑎𝑎 4 = 𝑎𝑎 1 + 3𝑟𝑟
Para la progresión geométrica, por condición del problema: 𝑏𝑏 1 = 𝑎𝑎 1 𝑏𝑏 2 = 𝑎𝑎 2 𝑏𝑏 3 = 𝑎𝑎 4 Razón de la progresión geométrica:
𝑟𝑟𝑔𝑔 =
Sustituyendo los términos de 𝑏𝑏 1 , 𝑏𝑏 2 y 𝑏𝑏 3 …
𝑟𝑟𝑔𝑔 =
Despejando de la segunda igualdad y luego desarrollando… (𝑎𝑎 1 + 𝑟𝑟)^2 = 𝑎𝑎 1 (𝑎𝑎 1 + 3𝑟𝑟) 𝑎𝑎 12 + 2𝑎𝑎 1 𝑟𝑟 + 𝑟𝑟 2 = 𝑎𝑎 12 + 3𝑎𝑎 1 𝑟𝑟 𝑟𝑟 2 = 𝑎𝑎 1 𝑟𝑟 𝑟𝑟 = 𝑎𝑎 1 Entonces de la primera igualdad:
𝑟𝑟𝑔𝑔 =
Suma de los términos en la PG:
𝑠𝑠 3 =
𝑟𝑟𝑔𝑔^3 − 1
Sustituyendo los resultados anteriores en la suma:
14 =
Entonces, para la proyección aritmética: 𝑃𝑃𝑃𝑃: { 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 } El quinto término de la proyección geométrica será: 𝑏𝑏 5 = 𝑏𝑏 1 ∙ 𝑟𝑟 4 = 2 ∙ 24 = 32
Progresión geométrica: 𝑏𝑏 1 = 𝑏𝑏 1 𝑏𝑏 2 = 𝑏𝑏 1 𝑟𝑟 𝑏𝑏 3 = 𝑏𝑏 1 𝑟𝑟 2
Progresión aritmética, por condición del problema: 𝑎𝑎 1 = 𝑏𝑏 1 𝑎𝑎 2 = 2𝑏𝑏 2 𝑎𝑎 3 = 3𝑏𝑏 3
Razón de la progresión aritmética: 𝑟𝑟𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 2 − 𝑎𝑎 1 = 𝑎𝑎 3 − 𝑎𝑎 2 De la segunda igualdad y sustituyendo los términos de 𝑎𝑎 1 , 𝑎𝑎 2 y 𝑎𝑎 3 … 2 𝑏𝑏 2 − 𝑏𝑏 1 = 3𝑏𝑏 3 − 2 𝑏𝑏 2 −𝑏𝑏 1 + 4𝑏𝑏 2 − 3 𝑏𝑏 3 = 0 −𝑏𝑏 1 + 4𝑏𝑏 1 𝑟𝑟 − 3 𝑏𝑏 1 𝑟𝑟 2 = 0 −𝑏𝑏 1 (3𝑟𝑟 2 − 4 𝑟𝑟 + 1) = 0 Como 𝑏𝑏 1 no es igual cero: 3 𝑟𝑟 2 − 4 𝑟𝑟 + 1 = 0 Factorizando: (3𝑟𝑟 − 1)(𝑟𝑟 − 1) = 0 Entonces los valores de 𝑟𝑟 son: 3 𝑟𝑟 − 1 = 0
𝑟𝑟 =
Suma de la progresión geométrica:
𝑆𝑆 =
𝑟𝑟 𝑛𝑛^ − 1
𝑟𝑟 − 1 𝑏𝑏^1
Entonces:
26 =
𝑟𝑟 − 1 𝑏𝑏^1
Con los valores de 𝑟𝑟 hallados se tiene: Con 𝑟𝑟 = 13 :
�^13 �
3 − 1 1 3 −^1
Con 𝑟𝑟 = 1:
26 =
1 − 1 𝑏𝑏^1
No existe solución:
Entonces la progresión geométrica es: 𝑃𝑃𝑃𝑃: { 18 ; 6 ; 2 }
Para la progresión aritmética: 𝑎𝑎 1 = 𝑥𝑥 𝑎𝑎 2 = 2 𝑎𝑎 3 = 𝑦𝑦 Además, la razón es: 𝑟𝑟𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 2 − 𝑎𝑎 1 = 𝑎𝑎 3 − 𝑎𝑎 2
Sustituyendo los términos en la segunda igualdad y ordenando se tiene: 2 − 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 − 2 𝑦𝑦 = 4 − 𝑥𝑥
Para la progresión geométrica: 𝑏𝑏 1 = 𝑥𝑥 𝑏𝑏 2 = √ 3 𝑏𝑏 3 = 𝑦𝑦 Y la razón es:
𝑟𝑟𝑔𝑔 =
Sustituyendo los términos en la segunda igualdad y ordenando se tiene: √^3 𝑥𝑥
