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PROBLEMA^ 12: Verificar
que^ la^ función^ siguiente,
es^ de^ densidad^ de^
probabilidad^ para^ una
variable^ aleatoria^ continua
T,^ donde^ α^ es^ una^ constante
mayor^ que^ 0. Demostrar^ que^
,^ comentando^ el
resultado^ si^ T^ fuese
el^ tiempo^ de^ vida^ de
−α^ t⎧α >e t^0 = ⎨f(t) 0 otro⎩ ( )^ (^ un^ organismo.
∀^ ≥^ <^
=^ <^ ≤^ +^
a^0 p T^ t^
p a^ T^ a^ t | T
a Resultados
1.^ Verificar que es función de densidad:a)^ Es mayor o igual a 0 en todo el dominio de la funciónes evidente que con
α^ >0 y t>0 la expresión b)^ Su integral en todo el dominio es igual a 1
−αtα ≥e 0 ∞^ ∞−α^ −αα^ = −^
t^ t ∫ e^ dt^ e^100
No se puede mostrar la imagen en este momento.
Resultados
- La igualdad de estas probabilidades, suponiendo que T es el tiempo de vida deun organismo significa que el riesgo de morir en un intervalo de tiempo dedimensión^ t^ es constante a lo largo de la vida del individuo, a condición de llegarvivo al inicio del intervalo (a). Dicho de otro modo el riesgo instantáneo demuerte a lo largo del tiempo de vida del individuo es constante. Puedeobservarse en la siguiente
función de riesgo:
(^ ) (^
(^ )
)^ (^ )( ) ( )
(^
)^ (^ ) ( )
(^ ) (^ )
(^ )
(^ ) −α^ −α^
−α +^
+−α −α −α^
+−α−α−α−α <^ =^ α^ = −^ −α
=^ − <^ ≤^ +^
<^ ≤^ +^ >^
=^
>^ <^ ≤^ +^
<^ ≤^ +^
<^ ≤^ +
=^
=^
>^
α^ −^
=^ =
=^
=^ −
∫ ∫ −^ −− α∫
t^ tt^ t^
t 0 (^0) a t a^ tt t^
a^ tat a^
a a^
aa p T^ t^ e^ dt^ e^ t^0
1 e p a T^ a^ t^ T^
a p a^ T^ a^ t | T
a^ p T
a p T^ a | a^ T^
a^ t p a^ T^ a
t^ p a^ T^
a^ t p T^ a^
p T^ a e^ dt^ e^
e^ e^1
ee
1 1 e 1 e dt^ (^ )^
−α^ aαe≥ = = αf a | T a −αae
Datos
Sucesos: Me,^ He,^ Hs Variables:^ X:^ “nº^ de
mujeres^ de^2 hijos”;
Y:^ “nº^ de^ enfermos
de^2 hijos” (^ )^ (^ )^ 1 1 1 ;^ ;(^ ) 2 4 4 p Me^ p He^
p Hs = = = Resultados El espacio muestral para cada nacimiento es
Ω={Me, He, Hs}^1 El espacio muestral para 2 nacimientos es: Ω=ΩxΩ={MeMe,MeHe,MeHs,HeMe,HeHe,HeHs,HsMe,HsHe,HsHs}^11 Considerando la independencia de los sucesos relacionados con los 2 nacimientos, sus probabilidadesrespectivas son:
1.Funciones^ de^ densidad
de^ probabilidad^ de
las^ va^ X,^ Y. f^ (0)^ = p(X=0) = p(HeHe x
∪HeHs∪HsHe∪HsHs)* = p(HeHe)+p(HeHs)++p(HsHe)+p(HsHs)^ = 1/16+1/16+1/16+1/
=^ 1/
f^ (1)^ =^ p(X=1)^ x
=^ 1/
f^ (2)^ =^ p(X=2)^ x
= 1/^
=^ 1/
*sucesos incompatibles
Resultados Ω=ΩxΩ={MeMe,MeHe,MeHs,HeMe,HeHe,HeHs,HsMe,HsHe,HsHs}^11
f^ (0)^ = p(Y=0) = p(HsHs) y
=^ 1/
f^ (1)^ = p(Y=1)^ y
=^ 6/
f^ (2)^ = p(Y=2)^ y
=^ 9/
2.^ Valor^ esperado^ o
media^ y^ varianza^ de
las^ va^ X,^ Y. =^ ( ) (^ ) = ( ) (^ ) = (^ )( )^ = (^ )( )^ = 2 =∑x x (^02) = =∑y x (^022 2 2 2 2) = =∑x x^022 2 2 2 = =∑
2 (^1 1) y x 0
E X^ xf^ x^
0 +1^ + 2^ = 1^4 2 41 6
E Y^ yf^ y^
0 +1^ + 2^
E X^ x f^ x
0 +1^ + 2
E Y^ y f^ y
0 +^
+ 2^ = 16 16 16 16
Resultados
4.^ Función^ de^ densidad
de^ probabilidad^ conjunta
de^ X,^ Y^ y la^ función
de^ densidad^ de
X+Y.^ (^ )^ (^
f^ 0, 0^ p HsHs
f^ 0,1^ p HeHs HsHe^161 f^ 0,2^ p HeHe
f 1, 0^ p^0
f 1,1^ p MeHs HsMe^164 f 1,2^ p MeHe
HeMe^16
=^ Φ^ = ( ) (^ ) =^ Φ^ =( ) (^ ) =^ ( ) (^ )
f 2, 0^ p^0 f 2,1^ p^0
f 2,2^ p MeMe
f(x,y)^ Y=^
Y=1^ Y=
X=0^ 1/^
2/16^ 1/
X=1^^0
4/16^ 4/
X=2^^0
Resultados Sea^ Z=X+Y^ cuyo^ recorrido
es^ {0,1,2,3,4} Evidentemente^ no.^
Basta^ comprobar,^ por
f(x,y)^ Y=0 ejemplo:
Y=1^ Y=2X=0 1/16^ 2/16^ 1/16 X=1 0 4/16^ 4/16 X=2 0 0 4/
(^ )^ (^ ) ( )^ (^ )^ (^
(^ )^ (^ )^ (^
)^ (^ )
(^ )^ (^ )^ (^
=^ = =^ +^ ( ) (^ )
= = + +^ = = + = = =
(^1) f 0 f 0,0 (^) z (^16) z z z z
f^1 f 0,1^ f 1,
f^2 f 0,2^ f 1,
f 2,0^164 f^3 f 1,2^ f 2,
f^4 f 2,2^16 5.^ ¿Son^ X^ e^ Y^ independientes?^ (^ )^ ( )
1 1^1 = ≠ = = ( )x y
f 1, 0^0 f^ 1 f
0 2 16^32
PROBLEMA^ 18: En^ una
cierta^ población^ aploide las
proporciones^ genotípicas
para^ un^ gen
dialélico son:^ p(A)=0.7,
p(a)=0.3.^ De^ dicha^
población^ se^ extraen
2 individuos^ y^ se
consideran^ las^ variables
X:”número^ de^ individuos
de^ genotipo^ A”,^ e^ Y:”
número^ de
individuos^ de^ genotipo
a ”.
1.^ Establecer^ sus^ funciones
de^ densidad^ de^ probabilidad
y^ de^ distribución^ acumulativa.
2.^ Calcular^ la^ esperanza
y^ la^ varianza^ de^ ambas
variables.
3.^ Establecer^ la^ función
de^ densidad^ conjunta
y^ calcular^ e^ interpretar
el^ coeficiente^ de
correlación^ de^ X^ e^ Y.
Resultados
1.^ El espacio muestral de cada extracción escon p(A) = 0.7 y p(a) = 0.3y el espacio muestral de las dos extracciones esdado que las extracciones son independientes la probabilidad de cualquiersuceso elemental (i,j) del espacio muestral es:p(i,j) = p(i^ ∩j)=p(i) p(j)y por tanto
Ω={A,^ a}i^ Ω=^ Ωx^ Ω=^ {A,^ a}^ x^1
{A,^ a}=^ {(A,A);(A,a);(a,A);(a,a)}
Resultados P(A,A)=0.49;^
p(A,a) = 0.21;^
p(a,A) = 0.21;^
p(a,a) = 0.09f 0 p A, A^ 0.49 = = ( ) ( ) y f 1 p A,a^ a, A^ 0.42= =^ ∪( ) ( )^ (^ )( )y f 2 p a,a^ 0.09= =( ) ( )y
(^ )^ (^ ) (^ )^ (^ )^ (^ ) (^ )^ (^ )^ (^
)^ (^ )
x^ x x^ x^ x x^ x^ x^
x F^0 f^0 0.09F^1 f^0 f^
F^2 f^0 f^ =^ = =^ +^ =^1 f^2 1 =^ +^ +^ =
(^ )^ (^ ) (^ )^ (^ )^ (^ ) (^ )^ (^ )^ (^
)^ (^ )
y^ y y^ y^ y y^ y^ y^
y F^0 f^0 0.49F^1 f^0 f^
F^2 f^0 f^ =^ = =^ +^ =^1 f^2 1 =^ +^ +^ =
(^ )^ (^ ) (^ )^ (^ )^ (^
)( )
f^0 p a,a^ 0.09^ x f^1 p^ A,a^ a, Ax (^ )^ (^ )x
f^2 p A, A^ Funciones^ de^ densidad^ de^ probabilidad^ =^ = =^ =^ ∪ 0.49=^ = Funciones^ de^ distribución^ acumulativa
d
Resultados
3.^ Establecer^ la^ función
de^ densidad^ conjunta
y^ calcular^ e^ interpretar
el^ coeficiente^ de
correlación^ de^ X^ e^ Y. Con el^ fin^ de^ calcular la^ función de
densidad conjunta,
recurrimos a^ la^ expresión f(x,y)^ Y=0^ Y=
Y=
X=0^^0
X=1^^0
0.42^0
X=2^ 0.^
(^ )^
(^ )y
f^ x, y^ f(x | y)f y=
(^ )^ (
(^ )^ (
(^ )^ (
(^ )^ (
(^ )^ (^
(^ )^ (
(^ )^ (
(^ )^ (
f 0,0^ f(0 | 0)f^ y y y y y y y y (^ )
0 0 0.49^0
f 0,1^ f(0 |1)f^
1 0 0.42^0
f 0,0^ f(0 | 2)f^
2 1 0.09^ 0.
f 1,0^ f(1 | 0)f^
0 0 0.49^0
f 1,1^ f(1 |1)f^
1 1 0.42^ 0.
f 1,2^ f(1 | 2)f^
2 0 0.09^0
f 2,0^ f(2 | 0)f^
0 1 0.49^ 0.
f 2,1^ f(2 |1)f^
1 0 0.42^0
=^ f 2,2 f(
=^ ⋅^ = = =^ ⋅^ = = =^ ⋅^ = = =^ ⋅^ = = = ⋅^ = = =^ ⋅^ = = =^ ⋅^ = = =^ ⋅^ = = 2 | 2)f 2 0 0.09^0 =^ ⋅^ =( )y
Resultados Cálculo de la correlación entre X e YEl significado de este valor en los coeficientes de correlación y de determinaciónes claro: existe una relación de dependencia lineal completa entre ambasvariables. Dicho en otras palabras conociendo el valor de una de las variablesse conoce de modo inequívoco el valor de la otra. O lo que es igual, el 100% dela varianza de una de las variables se explica por la variabilidad de la otra. Enefecto se puede establecer la relación entre ambas variables mediante la recta
f(x,y)^ Y=0^ Y=
Y=
X=0^^0
X=1^^0 0.
X=2^ 0.49^0
(^ )^ (^
) ( ) ( ) (^ )^ (^ ) (^ ( ) (^2 2) x 0 y^0 ) X^ Y
E XY^ f x, y xy^2
COV X, Y^ = E XY
E X E Y^
COV X, Y^ 0.42X, Y
=^ =^ = 1
ρ^ =^
=^ = −σ σ
∑ ∑ ρ =
yY (X -^ )^ 0.6^ y x x
1.4^ X^2 X
σ = μ + ρ μ^ =^
+^ −^ =^ −
σ
PROBLEMA^ 15: La^ tabla
siguiente^ es^ la^ de^ la
función^ de^ densidad
de^ probabilidad^ de
una
variable^ aleatoria^ bivariante
discreta:
1.^ Calcular^ las^ funciones
de^ densidad^ de^ probabilidad
marginales.
2.^ Calcular^ f(2^ |Y=3).3.^ ¿Son^ las^ variables
independientes?
4.^ Calcular^ las^ esperanzas
y^ varianzas^ de^ X^ e^ Y,
así^ como^ su^ covarianza
y^ los
coeficientes^ de^ correlación
y^ determinación.^ ¿Qué
se^ puede^ decir^ de^ éstos últimos?
Y f ( x, y )^1
3 4 1 7/62 4/62 5/62 4/62 X 2 5/62 8/62 4/62 6/62 3 6/62 7/62 3/62 3/
3.^ f^ (1)f^ (1)=(20/62)(18/62)=0.0928x^ y^ f(1,1)=7/62=0.113No^ son^ independientes
Resultados
1.^ f^ (1)=^ 7/62+4/62+5/62+4/62=20/62=0.32x^ f^ (2)=^ 5/62+8/62+4/62+6/62=23/62=0.37x^ f^ (3)=^ 6/62+7/62+3/62+3/62=19/62=0.31x^ f^ (1)=^ 7/62+5/62+6/62=18/62=0.29y^ f^ (2)=^ 4/62+8/62+7/62=19/62=0.31y^ f^ (3)=^ 5/62+4/62+3/62=12/62=0.19y^ f^ (4)=^ 4/62+6/62+3/62=13/62=0.21y^ 2.^ f(2|Y=3)=f(2,3)/f
(3)=(4/62)/(12/62)=4/12=0.33y^
