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MODELO DE BERNOULLI B(p)
Decimos que una variable aleatoria sigue un modelo de probabilidad de
Bernoulli con parámetro p B(p) si es una variable dicotómica asociada a un
suceso específico, A de un experimento aleatorio, con p=p(A); que toma el
valor 1 si tiene lugar A (éxito) y el valor 0 en caso contrario (fracaso):
Su función de densidad, esperanza y varianza serán:
1 si A
0 si A
C
X
X
1
2
0 en el resto de
x^ x
p p x
f x
E X p
Var X p p
−
Ejemplo
Experiencia aleatoria: “lanzar una moneda”
X=número de caras que salen en 1 lanzamiento de una moneda equilibrada
X sigue un modelo de Bernoulli de parámetro p=0.
¿cuál es la probabilidad de sacar 1 cara (X=1)?
1
2
0 en el resto de
x x
x
f x
E X p
Var X
−
1 1 1
f 1 0.5 1 0.5 0.
−
MODELO BINOMIAL B(n,p)
Una variable Binomial con parámetros n y p B(n,p) representa el número de
éxitos en n ensayos o repeticiones independientes de un mismo experimento
aleatorio con probabilidad de éxito p. De esta manera, si decimos que
X=número de éxitos en n ensayos es una variable binomial B(n,p), su función
de densidad será:
( )
( )
( )
1 ; 0,1, ,
0 en el resto de
!
!!
n (^) x n x p p x n f x x
Donde
n (^) n
x (^) x n x
(^) −
−^ = =
= −
Ejemplos
X=número de caras que salen en 10 lanzamientos de una moneda equilibrada, de manera
que p=0.
( ) ( ) (^ )^
( )
10, 0.5! 10^!
0 en el resto de
x x x n
X B f x x^ x
¿cuál es la probabilidad de sacar 8 caras (X=8)?
( ) ( ) ( )
( )
f p X
− = = = = = −
¿cuál es la probabilidad de sacar al menos 1 cara?
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
0 10 0 10
p X p X p X f
f
−
¿cuál es la probabilidad de sacar menos de 2 caras?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
1 10
0
0 10 0 1 10 1
x^ x
x
p X p X p X p X f f x x
−
=
− −
∑
La esperanza y la varianza de una variable aleatoria X B(n,p) serán:
( )
( )
2 (1 )
E X np
Var X np p
μ
σ
= =
= = −
En los ejemplos anteriores:
X=número de caras en 10 lanzamientos
X=número de unos en 10 lanzamientos
( )
( )
2
10 0.5 5
10 0.5 0.5 2.
E X
Var X
μ
σ
= = × =
= = × × =
( )
( )
2
1 10 1. 6
1 5 10 1. 6 6
E X
Var X
μ
σ
= = ×
= = × ×
MODELO DE POISSON P(λ)
Una variable aleatoria de Poisson parte de una variable aleatoria X con ley
binomial B(n,p) donde el número de ensayos n es muy elevado y la
probabilidad de éxito p es muy pequeña
Una variable aleatoria X con recorrido X(Ω)={0,1,2,3,...n} sigue una ley de
probabilidad de Poisson de parámetro positivo λ (P(λ)) si su función de
densidad presenta la forma:
Suele denominar función de distribución de sucesos “raros”. En la práctica,
podemos utilizar una variable de Poisson como aproximación de una binomial
si n≥10 y p≤0.05.
La media y la varianza de esta distribución es igual al parámetro λ=np:
( ) ,^ 0,1, 2,^ , !
x
f x e x n x
np
λ λ
λ
− = =
=
E (^) ( X (^) ) = λ Var (^) ( X )=λ
Las variables aleatorias de Poisson surgen en conexión con los llamados procesos de
Poisson, que implican la observación de un conjunto discreto de sucesos en un “intervalo”
continuo de tiempo, longitud o espacio. Utilizamos el concepto intervalo en la descripción
del proceso general de Poisson y no en el sentido matemático usual. Por ejemplo nos
puede interesar el número de leucocitos en una gota de sangre, con lo que el suceso de
interés será la observación de un leucocito y la unidad o intervalo continuo implicado, en
este caso de volumen, será una gota de sangre.
En este contexto, si tenemos una variable aleatoria X involucrada en un
proceso de Poisson, y α representa la media de ocurrencias del suceso por
unidad de medida y t el tamaño del intervalo de observación, su densidad de
probabilidad viene representada por:
que es una distribución de Poisson con parámetro λ=αt
( )
( ) , 0,1, 2,3, !
x t t f x e x x
− α α = =
Ejemplo
El recuento de leucocitos de un individuo sano presenta como media un valor de 6000 por
mm
3 de sangre. Para detectar una deficiencia tomamos una gota de sangre de 0.001 mm
3
y hallamos el número de leucocitos.
Si definimos el número de leucocitos encontrados en una gota de sangre como
nuestra variable aleatoria X, esta se puede considerar un proceso de Poisson donde
el suceso discreto de interés es encontrar un leucocito y el intervalo continuo una
gota de sangre. Si mm 3 es la unidad de medida, como promedio esperamos
encontrar α=6000 leucocitos en un intervalo de tamaño t=0.001 mm
3 , que es el
volumen de una gota de sangre, entonces X sigue una Poisson de parámetro
λ=αt=6000x0.001=6.
¿Cuántos leucocitos esperamos hallar en una gota proveniente de un individuo sano?
Nos piden la esperanza o media de X. E(X)=
Consideramos que encontrar menos de 3 leucocitos en una gota es un signo de
deficiencia. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar menos de 3 leucocitos en un individuo
sano? ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 1 2 6 6 6 6 66 3 2 0 1 2 0. 0! 1! 2!
p X p X f f f e e e
− − − < = ≤ = + + = + +
( ) ( )
x X P f x e x
− =
MODELO MULTINOMIAL
Modelo que generaliza el planteamiento utilizado en el modelo binomial, en el que
se considera una partición en sucesos del espacio muestral corespondiente a una
experiencia aleatoria:
Al realizar n (n≥r) ensayos independientes de experimento, cuyo espacio muestral
es
r i i i r
i i=
i j
A , A ,..., A ; donde A , p p(A )
A
A A , i j
n veces
x x...x
−
Ω Ω (^) Ω
se define la variable multivariante (r-variante):
r i i
r
(X , X ,..., X ) , X nº de veces que tiene lugar A en los nensayos
donde X X ... X n
1 2
1 2
que recibe el nombre de variable multinomial.
(Como es obvio, cada variable X i sigue el modelo binomial B(n,p i) )
La función de densidad conjunta del modelo multinomial se establece como
dado que,
r r r
i r
x x x r
n! f(x , x ,..., x ) x! x !...x!
donde los x son enteros no negativos, x x ... x n
= p p ...p
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2
i 1 i 2
r (^) i r
r r r
n veces
n x de los S son A x de los S son A ... x de los S son A
S
para , suceso del espacio muestral
donde esta un
f(x , x ,..., x ) p(X x , X x ,..., X x ) p( )
x x...x ,
x x x...x )
S
S (S S S S
−
1 2
1 2 1 1 2 2
1 2 3
r
r x x x r
ion está formada por sucesos
incompatibles dos a dos y con probabilidad
cada uno de ellos.
n!
x! x !...x!
p^1 p^^2 ...p
1 2
1 2
El valor medio y la varianza de la variable hipergeométrica se establecen de la
forma siguiente:
es decir, se obtiene el producto del tamaño muestral y la proporción (p) de
individuos tipo A.
En cuanto a la varianza, se tiene:
n n n n
x x x x
m N m (^) m! N m (^) m(m )! N m
x n x x !(m x)! n x x(x )!(m x)! n x E(X) xf(x) x x x N N!^ N(N^ )!
n n!(N^ n)!^ n(n^ )!(N^ n)!
m N (m )
m x n (x ) n N (N^ )!
(n
μ
= = = =
−^ −^ − −
−^ −^ −^ −^ − −
−^ −^ −^ −
−^ −^ −^ −
∑ ∑ ∑ ∑ 0 0 1 1
n n
x y
función de densidad para población con N-1 individuos, de los cuales m- son tipo A, extrayéndose una muestra de tamaño n-1.
m N (m )
m y n y n N N
)!(N n)! (^) n
= =
−^ −^ −^ −
−^ −
− ^
∑ 1 0
m n np N
−
∑ =^ =
1
que surge fácilmente de
m N m N n N n Var(X) n np( p) , N N N N
Var(X)=E(X(X-1))+E(X)- E(X)
σ
2
2
MODELO GEOMÉTRICO Se deriva de considerar sucesivos ensayos independientes
de un experimento aleatorio, hasta que un suceso de interés , A (con p(A)=p ), tiene
lugar. Esta variable se define como X = nº de ensayos hasta que A tenga lugar, y se
denomina variable geométrica de parámetro p. Se trata, por tanto, de un “tiempo”
de espera discreto, donde p representaría la probabilidad de A/ensayo.
Su función de densidad, valor medio y varianza son:
− − = −
= =
x x f(x) ( p) q
E(X)
p p , x , .....
p
q Var(X) p
μ
1 1
2
MODELO BINOMIAL NEGATIVO
La generalización del modelo geométrico da lugar a la variable binomial negativa :
X = nº de ensayos hasta que el suceso A tenga lugar r veces ( r éxitos , r ≥ 1 ). Su
función de densidad presenta la siguiente forma:
r x r f(x) q
x p , x r,r ,r ,... r
−
=^ +^ +
