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El espacio muestral de la experiencia aleatoria es: Dpto. Matemática Aplicada (Biomatemática) Fac. Biología UCM
Subespacios asociados
Probabilidades asociadas a los sucesos
a los sucesosS^1
p(S
S^2
p(S
S^3
=S
S
p(S
S^4
= S
S
p(S
) = p(S 4
) + p(S 1
) - p(S 2
PROBLEMA 1:Se considera la experiencia aleatoria de lanzar undado. Se definen los sucesos: S
1
“obtener un número par”, S
2
“obtener
un
múltiplo
de
S
3
“obtener
un
número
par
y
múltiplo de 3”, S
4
“obtener un número par o múltiplo de 3”.
Calcular sus probabilidades.
PROBLEMA Dpto. Matemática Aplicada (Biomatemática) Fac. Biología UCM
De
una
población
de
peces
en
la
que
la
proporción de machos es 0.4 se extraen 4 ejemplares. ¿Cuál esla probabilidad de que al menos 1 de ellos sea macho?
Resultados
El espacio muestral de cada extracción es
={M, H}i
siendo
P(M)=
α;
p(H)=1-
α
y el de la
experiencia aleatoria es:
x 1
x 2
x 3
4
Denominamos S al suceso:”al menos 1 ejemplar es macho”, siendo S
C
el suceso contrario.
CS
={HHHH}
Como los sucesos obtener hembra en la i-ésima extracción son entre siindependientes:
p(S
C )=
α
P(S)= 1-
α
Dpto. Matemática Aplicada (Biomatemática) Fac. Biología UCM
p(C,C)=p(C)p(C)=1/4p(C,R)=p(R,C)=p(C)p(R)=1/4p(R,R)=p(R)p(R)=1/4p(A)=p((C,C)
(C,R))=p(C,C)+p(C,R)=1/
p(B)=p(C)=1/2p(
A∩
B)=p(A
∩C)=p(A
∩C)=p(A
∩B
∩C)=1/
A = {(C,C);(C,R)}B = {(C,C);(R,C)}C = {(C,C);(R,R)}A∩
B={(C,C)}
A∩
C={(C,C)}
A∩
C={(C,C)}
A∩
B∩
C ={(C,C)}
p(A
B)=p(A)p(B); p(A
C)=p(A)p(C); p(B
C)=p(B)p(C);
p(A
B
C)
≠p(A)p(B) p(C)
Subespacios asociadosa los sucesos
Probabilidades asociadas alos sucesosConsiderando
la
independencia
de
los
sucesos
correspondientes a dos lanzamientos diferentes,se tiene:
•Y obviamente se tiene:
PROBLEMA 3:La prevalencia de una enfermedad vírica; es decirla proporción de individuos a los que les afecta; es del 4%. Uninvestigador Dpto. Matemática Aplicada (Biomatemática) Fac. Biología UCM
ha
estimado
que
los
valores
de
los
coeficientes
falso–positivo
(probabilidad
de
que
la^
prueba
dé
positivo
estando sano) y falso–negativo (probabilidad de que la pruebadé negativo estando enfermo) relativos a una prueba T son,respectivamente,
α
=0.03 y
β =0.02. Calcular:
La
proporción
de
individuos
enfermos
entre
los
que
han
dado positivo al someterse a la prueba T.
La
probabilidad
de
estar
enfermo
en
el
caso
de
que
el
resultado del test sea negativo.
Datos
Sucesos: E (enfermo), S (sano), + (test positivo), - (test negativo)p(E) = 0.04;
p(+|S)=0.03;
p(-|E)=0.
Dpto. Matemática Aplicada (Biomatemática) Fac. Biología UCM
Interpretación de los resultados
Sin conocimientos de probabilidad podría pensarse que dado que laprobabilidad de dar negativo si se está sano es del 97%, un individuoque da positivo en el test tiene una altísima probabilidad de estarenfermo. El resultado muestra que no es así y que sólo el 57,6% de losque dan positivo están enfermos. Ello es debido al efecto de la bajaprevalencia de la enfermedad (en el numerador) y de la consecuentealta tasa de individuos sanos (en el denominador).Una
consecuencia
importante
de
estos
resultados
podría
ser
la
siguiente: suponga que un investigador selecciona
una
muestra de
individuos afectados por esta enfermedad vírica utilizando este test yque ensaya sobre ellos la respuesta a diferentes terapias. La muestraelegida en este caso tendría como promedio un 42,4% de individuosque no sufren la enfermedad con las gravísimas consecuencias queesto tendría sobre la calidad de la investigación realizada.
PROBLEMA 4:Se aplica una prueba médica T para detectar lapresencia de tuberculosis, a los trabajadores de una fábrica detejidos. Dpto. Matemática Aplicada (Biomatemática) Fac. Biología UCM
Se
admite,
por
estudios
realizados
sobre
este
sector
laboral, que la prevalencia de la enfermedad en este tipo detrabajadores es del 14%. En los
estudios se ha establecido que
el 17% de los individuos sanos dan positivo (T
+^ ) y el 5% de los
enfermos dan negativo (T
Calcular la proporción de trabajadores que están sanos (S) ydan positivo
Calcular la proporción de trabajadores que están enfermos(E) y dan negativo
Calcular p(S|T
+^ ) y p(E|T
-^ )
¿Qué probabilidad tiene más interés para un trabajador queha dado positivo en el test?
Datos
Sucesos: E (enfermo), S (sano), T
+^ (test positivo), T
-^ (test negativo)
p(E) = 0.14;
p(T
+^ |S)=0.17;
p(T
-^ |E)=0.05;
p(S) = 1-p(E)=0.
y
PROBLEMA
En
un
lago
conviven,
en
cantidades
suficientemente
grandes,
tres
variedades,
A,
B
y
C,
de
la
subespecie de la carpa de cuero (
Cyprius Carpio coiaceus
). Las
carpas de las 3 variedades están en las proporciones 2:2:1 yhomogéneamente
repartidas.
El
de
las
carpas
de
la
variedad A presentan una aleta dorsal alargada, en la variedad Bla presentan un 30% y en la C sólo presentan esa característicael 25%. En el experimento consistente en extraer una carpa alazar se denomina A, B y C a los sucesos “la carpa pertenece a lavariedad de ese nombre”, L al suceso “la carpa tiene la aletaalargada” y L
C^ a su complementario. Considérese la experiencia
aleatoria de extraer una carpa al azar:1.
¿Qué relación existe entre los sucesos A y B?
¿Cuál es la probabilidad de suceso L
C^ |B?
Si
la
carpa
extraída
tiene
la
aleta
alargada
¿cuál
es
la
probabilidad de que sea de la variedad A?
Calcular la probabilidad de que la carpa extraída no tenga laaleta alargada.
¿Cuál es la probabilidad de que la carpa elegida sea de lavariedad A o tenga la aleta alargada? Dpto. Matemática Aplicada (Biomatemática) Fac. Biología UCM
Dpto. Matemática Aplicada (Biomatemática) Fac. Biología UCM
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Resultados
¿Qué relación existe entre los sucesos A y B? Son incompatibles porque no pueden suceder simultáneamenteo lo que es lo mismo su intersección es el conjunto vacío.2.
¿Cuál es la probabilidad de suceso L
C^ |B?
Datos
(^
(^
(^
2
p A
(^52)
p B
5 1
p C
= = =^5
(^
(^
(^
p L | A
p L | B
p L | C
= = 0.25=
(^
)^
(^
c p L | B
1
p L | B
=^
−^
=
