Vista previa parcial del texto
¡Descarga problemas 2o parcial y más Ejercicios en PDF de Álgebra solo en Docsity!
Exercicis d "Algebra Curs 2017-2018, 2a llista Grau en Enginyeria Informática TIT. Espais Vectorials i aplicacions lineals. 34. Determineu quins dels subconjunts segients són subespais vectorials. En cas afirmatiu, trobeu un sistema de generadors del subespai. [(2,y 2) ER |2=y=z2 ((2,y,2) EC? | 2y+i2=x), ((x,y) €(Z2)? | x=y+1), ((c,y) € Q? | x és enter i múltiple de 7), (y eQly=2, ((2,y) €? |y=e"/Bx), 35. Determineu quins dels subconjunts segúents de R[x] són subespais vectorials. En cas afirmatiu, trobeu un sistema de generadors del subespai. fp(x) € R[z] | p(x) és de grau <12), ([p(x) € R[x] | p(x) és de grau parell). 36. Determineu quins dels subconjunts segiients d'aquests espais de matrius són subespais vectorials. En cas afirmatiu, trobeu un sistema de generadors del subespai. LA € May(Za) | la suma dels elements de la 2a fila és 1), LA € Mas(Z2) | la suma dels elements de la 2a fila és 0), [Ac Ma(O) | 54=(0 0 0), ÍA € Ms(Q) | det(A) =0) LA € Ma(Za) | a21 =0). 37. Determineu si el vector uz pertany al subespai Fj, per k =1,2,3,4. u = (0,3,5,1), Fi = ((1,0,—1,0), (1,1,1,0), (0,1,1,1), (0,1,2,0))g € Q*, u =132-20+4, P¿=(047,0+04+4, 0? 010, 20? 404 1)2 Re], _ 3 2 _ 0 -1/2 2 4 o 1 w- (4; 2) e (( Je le 1) eo us =(3,0,-4,5+i), Fi=((2,y,2,t) € C* | ¡0 +32 =0) CC! 38. Considerem els subespais segiients de R*: F = ((2,-4,-3,4), (0,1,1,-1), (2,-1,0,1))g, G=L(2,9,2,1) ER | 30+5y-62 =1). Proveu que FG G. (Ésa dir, FCGiFAHG.) 39. Proveu que ( (1,1,1), (1,1,0), (1,0,1) za = (Z2)*, tot comprovant la doble inclusió: ((1,1,1), (1,1,0), (1,0,1) ),, < (Za), ((1,1,1), (1,1,0), (1,0,1) )z, 2 (Za). 40. Determineu quines de les aplicacions segients són lineals: f:RSRI, fie,y)=(0,y+1,2—y) La: 02 0%, fa(z, y) = (ey, 2 — y) fa: ROSR?, fa(e,y,z)= (322,20 +2) faoRSR, fala, y) = ent fs: (La? > Za, fs(c,y) =x+y fe: C>C?, fo(a) = (-2,0, 32) f7: R[e] > Ríe], fr(p(2)) =9'(2) fs: MAR) >R?, fs(A) = (022 — vV2a11, 7492) fo: MníZa) + MníZa), fo(X) =X' det: M_(Q) >Q 41. Sigui f : Q* > Q* Paplicació lineal donada per flo,y,2,t) =(1+y+2+t,2-2y-—t,0 + Ty +32 + 5t). Calculeu f(1,2, 3, 4) i determineu els conjunts f7*((v1)), $7 (Lua) i $7 (Luz) si 1 = (1,1,0), v2 = —v1 i v3 = (0, 0,0). Trobeu una matriu A € M3x4(Q) tal que f coincideixi amb l'aplicació lineal: 00) 42. Sigui f : R3 => R? Paplicació lineal determinada per: (-E0() Calculeu f(3,—1,2) i determineu els conjunts f71(B1) i f71(B>) on B, = ((1,-1)) i Ba = ((0,0)). Trobeu formes lineals £, (w, y, 2), L2(x, y, 2) tals que: f(u,y,z) = (£1(2,y, 2), Lo(x, y, 2)), per a cada (x,y,z) € R?. 43. Sabem que una aplicació lineal f: R2 —> R3 satisfá: f(1,0) =(2,-5,9), /(0,1) = (3,—v2,0). Trobeu formes lineals £,(x, y), La(x, y), £a(x, y) tals que: S(c,y) = ((1(2,9),La(e, y), La(a, y), per a cada (2, y) € R?. Trobeu una matriu A € M3x2(R) tal que f coincideix amb Vaplicació lineal: (Ur) 44. Sigui a: un nombre real. L'aplicació lineal: RR md, cos(a) —sin(a) z dl 7 sin(a) cos(a) y)” és un gir d'angle a amb centre a Vorigen i en el sentit contrari de les agulles del rellotge. Denotem per A(a) aquesta matriu que la representa. (a) Comproveu que A(a) és invertible amb inversa A(—a). (b) La composició de dos girs d'angle a: és un gir d'angle 20. Per tant, la matriu que representa el gir d'angle 2a és: A(20) = A(a)?. Deduiu d'aquest fet fórmules per a cos(2a) i sin(2a) en funció de cos(a) i sin(a). (c) Utilitzeu una idea análoga per deduir fórmules per a cos(a + 8) i sin(a +8) en funció dels cosinus i sinus de a: i $. (a) Trobeu una base de V i amplieu-la fins obtenir una base de Rí, (b) Comproveu que el vector u = (1,1,—2,0) pertany a V i calculeu les coordenades de u respecte de la base de V que heu trobat a l'apartat anterior. (c) Trobeu una base de V de la qual u en formi part. 51. Considerem el subespai vectorial V = [(x,y,2,t) ER*|z+y+2+t=0) CR! Trobeu una base de V que contingui el vector u = (2,3, —1,—4). Amplieu la base de V que heu trobat en una base de R!. 52. Seleccioneu una base de P'espai R3[x] format pels polinomis de grau menor o igual que 3. Resoleu els exercicis segients treballant en coordenades respecte de la base escollida. (a) Trobeu una base del subespai F =(1?—1,2?—1,2-1, 54 +2? — 41 —2)p. Comproveu que el vector (x— 1? pertany a F i trobeu les seves coordenades respecte de la base trobada. Proveu que el subespai F' coincideix amb el subespai de R3[x] format per tots els polinomis que s'anul-len per a x= 1. (b) Trobeu una base del subespai V = [p(x) € Ralx] | p(1) =0=p'(1)) € Ra[x]. Amplieu la base de V a una base de Rs[z]. 53. Seleccioneu una base de l'espai C2[x]. Treballant en coordenades respecte d'aquesta base, trobeu la dimensió i una base del subespai F=(2%41, 1-2, 2: (2-1 Jo, i amplieu aquesta base de F a una base de C2[x]. 54. Seleccioneu una base de l'espai M2(Q) i resoleu les qiiestions segiients treballant en coor- denades respecte de la base escollida. (a) Trobeu la dimensió i una base del subespai V format per les matrius que satisfan: la suma dels elements de la primera fila = 0 i, simultániament, la suma elements de la primera columna = la suma elements de la segona columna. (b) Clarament, la matriu u = 8 2 nades de u respecte de la base de V que heu trobat. 33 ) pertany al subespai V. Calculeu les coorde- 55. Seleccioneu una base de espai M2x3(Z2). Treballant en coordenades respecte d'aquesta base, trobeu la dimensió i una base del subespai (ii) o) 00 o) Comproveu que el vector U = : ) pertany a FF i trobeu les seves coordenades 1 1 10 respecte de la base trobada. 56. Calculeu la dimensió i una base del nucli i la imatge de les aplicacions lineals segúents: hu (2o3 — (LoY*, fi(e,y,2) = (14y+2,0,2,2+y) fa: 502, fa(e,y,2) = (io+y=i2,2—iy-2) $3: 01 508, fa(e,y, 2,1) =(0-Y+t2-y+t,0-22-1) fa RE—=R?, falo, y,2,t,u) = (42 4+8t+2u,0+y+2+2+0u,30+3y +2 +2t+2u) f:RO>SRÍ, fs(2,y,2) = (242,20 + 4y — 22,24 2y — 2,242). 1 5-1 9 -9í pP|1.5 2-3 0 ¿5 0 5 6 Trobeu la dimensió i una base dels subespais Ker(f) C C5 i Im(f) € C?. E) Trobeu la dimensió i una base dels subespais Ker(f) C (Za)? i Im(f) € (Zo)!. 57. Considerem Paplicació lineal: f:05 03, 2Ru oa eu 8 58. Considerem laplicació lineal: AS Roo oro F: (22 — (Lay, ( y ) > 59. Considereu Vaplicació R-lineal f: Ri => R3 donada per f(u,y,2,t) = (1424 — 32— 2,2 +2y — 2 — 3t, Gx + 5y + 22 + 3t) i el subespai vectorial G=((2,0,2,0),(1,-1,2, 1), (1, -1,0,-2)), CR, (a) Calculeu la dimensió i una base de Im(f) i de Ker(f). (b) És f injectiva? És f exhaustiva? Per que? (c) Calculeu la dimensió i una base de G. (d) Proveu que Ker(f) C G, i amplieu la base de Ker(f) a una base de G. 60. Considereu laplicació Za-lineal f: Z4 > Z3 donada per f(a,b,c,d) =(a+b+d,a+c,a+c+d) i el subespai vectorial Gi= ((1,0,0,0), (1,0,1,0), (0,0, 1,0), (0,1, LO), czi. (a) Calculeu la dimensió i una base de Im(f) i de Ker(f). (b) És f injectiva? És f exhaustiva? Per que? (c) Calculeu la dimensió i una base de G. IV. Diagonalització de matrius 69. Per a cadascun dels endomorfismes de R? segiients, trobeu-ne els valors propis i vectors propis. Per a cada cas en que l'endormorfisme sigui diagonalitzable, i si A és la matriu d'aquest endomorfisme en la base canónica, trobeu una matriu invertible P (que dependrá de Ven- domorfisme) tal que A= PDP”!, on D és una matriu diagonal. (0) Ale,y) = (=2,2 y), (ii) falo, y = (a 3y,y — 22), (iii) Ja(z, y) = ((5/2)2 — y, 32 — y), (iv) faz, De (107 — 6y, 117 — 7y), 70. Feu el mateix pels endomorfismes de R3 segiients: (1) fi(z,y, 2) = (2 +2y +22, y + 42, -22), (ii) fo(x,y, 2) = (1 +2y, 42 — y +42, 2y — 2), (ii) fa(z, y, 2) = By +92, (2/3) + 32, (2/9) + (y/3)), (iv) fa(z, y, 2) = (6x — 7y — 202, —82, 1 — y), (iv) fs(2,y, 2) = (22 + y + 2,2% + 3y + 22, 43 + 4y +32), (v) folz,y, 2) = (8u — y — 52, 20 + 3y + 2,410 — y 2), (vi) f7(2,y, 2) = (23 + 4y + 22,3 + 3y + 22, 92 + 12y + 52), (vii) fe(z, y, 2) = (42 + 3y — 2,1 4+3y +22, 2 +52), (viii) fo(z, y, 2) = (2 + 6y — 42, —32 — 9y + 62, —u — 3y + 22), 71. Feu el mateix pels endomorfismes de R! segiients: hile,y, 2,4) =(1+y+24+t,2+2+1,2,y+2+21) folo,y,2,t) =(1+y+2+t 0+y—2-t0—-y+2-t0-y-2+!). 172. Estudieu segons els valors del parámetre a € R la diagonalització de la matriu: -1 -3 -3 A= 3.5 3]. 33 4 73. Comproveu que les matrius segúents no diagonalitzen si treballem a R, peró, en canvi, diagonalitzen si treballem a C. '74. Per a cadascun dels endomorfismes diagonalitzables dels problemes 68 i 69, calculeu les equacions que defineixen 'endomorfisme [10% 75. Una població d'escarabats té un cicle vital de 3 anys (els individus tenen com a molt 3 anys de vida). Estructurem la població en tres sectors segons Vedat, de manera que el nombre d'habitants ve donat per un vector (np,n1,n2), on ny és la quantitat d'individus que no arriben a tenir 1 any d'edat, n; els que tenen més d'un any peró no arriben als 2 anys, i na els que tenen més de 2 anys de vida. El creixement anual de la població ve determinat per la matriu 0.20 A=|P 00], 0.080 on Pp és la probabilitat de supervivencia d'un individu del primer sector d'edat. Si N és el vector-columna que recull les dades estructurades de població en un instant determinat, el vector-columna que conté les dades de població al cap d'un any será el producte AN. Imaginem una població de (500,600, 400) escarabats. Respongueu aquestes dues qiiestions respectivament per a Pp = 0.18, Pp =0.5 i Po =0.72. (a) Quina será la població d'aquí a 10 anys? (b) Quina será la població d'aquí a molts anys? 
