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Ajuste y regresi´on
Ejercicios recomendados
- Se han medido el di´ametro X y la altura Y de la concha de 100 moluscos elegidos aleatoria- mente dentro de una determinada especie, obteni´endose la siguiente tabla:
Y (altura) X (di´am.) 9 10 11 12 13 14 20 1 1 21 2 4 2 22 10 9 23 6 13 8 24 13 17 1 25 5 5 2 26 1
Calcular las rectas de regresi´on y el coeficiente de correlaci´on. (Sol: y = − 0 .3091 + 0. 5351 x, r = 0. 7155 ).
- Los beneficios antes de impuestos de cierto negocio, en decenas de miles de euros, han sido
xi (a˜no) 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 yi (benef.) 4. 83 5. 41 5. 98 7. 14 8. 01 8. 87 10. 24
¿Qu´e beneficio cabe prever, con un coeficiente de confianza del 95 %, para 2011? (Sol: [9. 9122 , 11 .7050]).
- En cin´etica enzim´atica se utiliza a menudo el ajuste no-lineal a modelos de Michaelis Menten. El proceso de ajuste pasa por considerar diversas transformaciones que permiten reducir el ajuste no-lineal al c´alculo de una recta de regresi´on. Realizar un ajuste no-lineal a un modelo de Michalelis-Menten, y =
ax 1 + bx
en base a los siguientes datos:
x 0. 25. 5. 75 1. 5 2 3 y 0. 23 0. 3 0. 31 0. 35 0. 36 0. 37
Para ello sigue el siguiente procedimiento:
a) Calcula 1 /y en (1) y demuestra que se puede escribir en la forma 1 y
= α
x
Establece la relaci´on entre los par´ametros α, β, y a, b.
b) Define las nuevas variables Y =
y
, X =
x y escribe la relaci´on anterior en funci´on de estas nuevas variables. Comprueba que la relacion entre Y y X es lineal, c) Escribe la tabla anterior en funci´on de las nuevas variables. El objetivo es ahora calcular la recta de regresi´on que ajusta esos datos.
(Sol: α = 0. 4407 , β = 2. 5586 ).
- La constante de la velocidad de una reacci´on cualquiera de primer orden satisface la ecuaci´on
k =
t
ln
C 0
C
donde C 0 es la concentraci´on inicial de la sustancia que reacciona y C su concentraci´on en el instante t. Si transformamos la f´ormula tenemos:
ln C = ln C 0 − kt
y pasando a logaritmos decimales (dividimos todo por ln 10 = 2. 3026 ):
log C = log C 0 −
k
- 3026
t
Se ha estudiado la cin´etica de la saponificaci´on del acetato de etilo CN 3 COOC 2 N 5 por el ´acido clorh´ıdrico. En la tabla se dan los valores de la concentraci´on C del reactivo en el instante t. Determinar la ecuaci´on de la recta de regresi´on, construir los intervalos de error y estimar el valor de la constante de la velocidad de reacci´on con un intervalo de confianza al 90 %.
Tiempo 0 10 20 40 60 100 140 180 Concent. 29. 0 28. 1 26. 6 25. 2 23. 0 18. 9 15. 6 12. 7
(Sol: y = 1. 4712 − 0. 00199 x, 1. 4625 ≤ α ≤ 1. 4799 , − 2. 09 × 10 −^3 ≤ β ≤ − 1. 90 × 10 −^3 ,
00437 ≤ k ≤ 0. 00481 ).
Una superficie plana est´a expuesta a un viento de velocidad v que ejerce sobre ella una presi´on p. Experimentalmente se han obtenido los siguientes resultados
v (km/seg) 16 24 36 54 81 121. 5 p (gr/mm^2 ) 0. 016 0. 036 0. 081 0. 182 0. 410 0. 922
Ajustar una funci´on potencial que exprese la presi´on p en funci´on de la velocidad v. (Sol: p = 6. 2566 × 10 −^5 v^1.^99 ).
Se pide:
a) Analizar mediante regresi´on lineal si existe relaci´on entre ambas variables. b) Estimar cu´al es la concentraci´on de Na prevista por el modelo para una dosis de sal de 20 unidades. ¿Cu´al es el residuo para dicho valor? (Nota: El residuo es la diferencia entre el valor predicho y el valor medido realmente) c) Explica el significado de los coeficientes de la recta de regresi´on.
(Sol: (a) y = 16.8 + 0. 46 x, r = 0. 9429 (b) y(x = 20) = 26, Res= 4).
- En 20 observaciones de una variable aleatoria bidimensional (X, Y ) se han obtenido los siguientes valores:
X\Y 1. 2 1. 4 1. 6
a) Calcula el coeficiente de correlaci´on lineal entre las variables X e Y. b) Calcula la recta de regresi´on de Y sobre X y util´ızala para predecir el valor de la variable Y cuando X tome el valor 1.
(Sol: (a) r = 0. 7484 , (b) y = 1.316 + 0. 0916 x, y(x = 1) = 1. 4083 ).
- Los datos siguientes se han obtenido al medir la concentraci´on de cierta sustancia durante el transcurso de una reacci´on qu´ımica
Tiempo (s) 0 2 4 6 8 10 Moles/litro 9. 8 7. 2 4. 6 4. 3 3. 4 3. 2
Se pide:
a) Hallar la recta de regresi´on de la concentraci´on en funci´on del tiempo y el coeficiente de correlaci´on. b) ¿C´omo calificar´ıas el ajuste?¿Nos permite hacer predicciones fiables? c) Ajusta los datos a una funci´on de la forma y = abx, donde x sea el tiempo, y la concentraci´on y a y b constantes. Calcula el coeficiente de correlaci´on. d) ¿Cu´al de los dos ajustes te parece m´as adecuado para predecir la evoluci´on de la reac- ci´on?
(Sol: (a) y = 8. 6095 − 0. 6386 x, r = − 0. 9260 , (c) y = 8.75828 (0.8931)x, r = − 0. 9638 ).
- Se ha medido la concentraci´on de una sustancia en una reacci´on qu´ımica obteni´endose los siguientes resultados:
T (seg.) 0 2 4 6 8 10 moles/litro 10. 0 6. 8 4. 9 4. 1 3. 5 3. 1
Obtener la expresi´on de la concentraci´on en funci´on del tiempo mediante: a) regresi´on lineal y b) ajuste exponencial. Estimar para cada uno de los casos la concentraci´on de la sustancia a los 15 segundos. (Sol: (a) y = 8. 6286 − 0. 6457 x, y(15) = − 1. 0571 , (b) y = 8.7932 (0.89166)x, y(15) =
5746 ).
En la siguiente tabla se consignan los Q mg de radio que quedan al cabo de un tiempo t que se mide en miles de a˜nos:
t 0 1 2 3 4 5 Q 1000 660 440 290 195 130
Ajustar una funci´on exponencial que exprese Q en funci´on de t. (Sol: Q = 944.42(0.664)t).
- La tabla siguiente presenta las notas obtenidas por 9 alumnos en f´ısica y matem´aticas:
F´ısica 77 50 71 72 81 94 96 99 67 Matem´aticas 82 66 78 54 67 85 99 97 68
a) Obtener la recta de regresion que estime la nota de Matem´aticas sabiendo la de F´ısica. b) ¿Qu´e nota esperar´ıa en el examen final de Matem´aticas un alumno que haya obtenido 85 en F´ısica?
(Sol: (a) y = 21.0764 + 0. 7161 x, (b) y(85) = 81. 948 ).
- Un estudio sobre la cantidad de az´ucar en un producto a distintas temperaturas ha dado los resultados siguientes:
Temperatura (x) 1. 0 1. 1 1. 2 1. 3 1. 4 1. 5 1. 6 1. 7 1. 8 1. 9 2. 0 Az´ucar (y) 8. 1 7. 8 8. 5 9. 8 9. 5 8. 9 8. 6 10. 2 9. 3 9. 2 10. 5
a) Calcula la recta de regresi´on. b) Estima la cantidad de az´ucar para una temperatura de 1.
(Sol: (a) y = 6.4136 + 1. 8091 x, (b) y(1.75) = 9. 5795 ).
A˜no Oxido Nitrog.´ A˜no Oxido Nitrog.´ 1978 0. 73 1991 3. 14 1979 2. 55 1992 3. 44 1980 2. 90 1993 3. 63 1981 3. 83 1994 4. 50 1982 2. 53 1995 3. 95 1983 2. 77 1996 5. 24 1984 3. 93 1997 3. 30 1985 2. 03 1998 4. 36 1986 4. 39 1999 3. 33 1987 3. 04 1988 3. 41 1989 5. 07 1990 3. 95
a) Representa gr´aficamente los datos. b) Ajusta los datos con un modelo lineal de regresi´on y calcula el coeficiente de correlaci´on. c) ¿Que se puede decir acerca de la tendencia de concentraci´on de ´oxido de nitr´ogeno a lo largo del tiempo?
(Sol: (b) y = − 175 .9025 + 0. 0902 x, r = 0. 5763 , (c) al 95 %, 0. 0305 ≤ β ≤ 0. 1499 , por tanto β > 0 ).
- El n´umero de espa˜noles (en millones) ocupados en la agricultura, para los a˜nos que se indican, era:
A˜no 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 Ocupados 2. 1 2. 04 1. 96 1. 74 1. 69 1. 49 1. 25 1. 16
a) ¿Podr´ıa explicarse su evoluci´on mediante una recta de regresi´on? b) ¿Qu´e limitaciones tendr´ıan las estimaciones hechas por esa recta?
(Sol: (a) y = 143. 489 − 0. 0714 x, r = − 0. 9864 ).
- Las alturas, en cm, de 8 padres y del mayor de los hijos varones de cada uno, son:
Padre 170 173 178 167 171 169 184 175 Hijo 172 177 175 170 178 169 180 187
a) Calcula la recta de regresi´on que permita estimar la altura de los hijos dependiendo de la del padre; y la del padre conociendo la del hijo. b) ¿Qu´e altura cabr´ıa esperar para un hijo si su padre mide 174? ¿Y para un padre, si su hijo mide 190 cm?
(Sol: (a) y = 68.19 + 0. 62 x, x = 77.44 + 0. 545 y, (b) y(174) = 176. 07 , x(190) = 181. 01 ).
- Utilizando la recta de regresi´on de x sobre y correspondiente a la distribuci´on siguiente:
x (altura sobre el nivel del mar) 0 184 231 481 911 y (temperatura media en oC) 20 18 17 12 10
Calcula la altitud de una ciudad en la que la temperatura media es de 15 o. (Sol: x = 1595. 7 − 80. 1517 y, x(15) = 393. 46 ).
- De una determinada empresa se conocen los siguientes datos, referidos al volumen de ventas ( en millones de euros) y al gasto en publicidad (en miles de euros) de los ´ultimos 6 a˜nos:
Volumen de ventas(mill. Ptas) 10 15 20 22 30 32 Gastos Publicidad(miles ptas.) 16 32 48 56 64 80
a) ¿Existe relaci´on lineal entre las ventas de la empresa y sus gastos en publicidad? Razona la respuesta. b) Obtener las rectas de regresi´on m´ınimo cuadr´atico. c) ¿Qu´e volumen de ventas de la empresa se podr´ıa esperar en un a˜no que se gaste de publicidad 60000 euros? ¿ Y para un gasto en publicidad de 100000 euros?
(Sol: (a) r = 0. 9781 , (b) G = − 7 .3621 + 2. 637 V , V = 3.6041 + 0. 3628 G, (c) V (60) =
- 37 , V (100) = 39. 88 ).
