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ESTADÕSTICA II
Curso 2015 - 2016 Problemas del Tema 2
Nota: En todos los ejercicios se supone que la muestra que se utiliza constituye una muestra aleatoria simple.
1.- Para estudiar los salarios mensuales de los trabajadores de una poblaciÛn se ha obtenido una muestra de 70 trabajadores. Los salarios en el ˙ltimo mes de estos trabajadores (en euros) pueden verse en la hoja EXCEL ìProblema 1î del archivo ìProblemas2Datos.xlsî que se adjunta. Sean y ^2 la media y varianza poblacionales de los salarios mensuales de los trabajadores de esta poblaciÛn. Calcula:
a) Una estimaciÛn insesgada de : b) Una estimaciÛn insesgada de ^2 : c) Una estimaciÛn insesgada de la varianza de la media muestral. d) Una estimaciÛn insesgada de la proporciÛn de trabajadores de la poblaciÛn con salarios mensuales inferiores a 2000 euros.
2.- Sea X 1 ; X 2 ; X 3 una muestra de una variable aleatoria (v.a.) X con media y varianza ^2. Para estimar se consideran los tres estimadores siguientes:
b 1 =
X 1 + 2X 2 + 3X 3
; b 2 = 0: 5 X 1 + 0: 3 X 2 + 0: 2 X 3 ; b 3 =
b 1 +
b 2 :
a) Demuestra que los tres estimadores son insesgados. b) Analiza cu·l de los tres estimadores es m·s eÖciente.
3.- En una encuesta sobre una cuestiÛn de actualidad, el encuestado puede responder 1 (en desacuerdo), 2 (indiferente) Û 3 (de acuerdo). Se sabe que la probabilidad de que una persona seleccionada al azar responda 1 es 2 ; la de que responda 2 es y la de que responda 3 es 1 3 ; siendo un par·metro desconocido que est· dentro del intervalo (0; 13 ): Para estimar disponemos de una muestra con las respuestas de n encuestados. a) Una investigadora estima utilizando como estimador (3 X)= 5 ; siendo X la media de la muestra. Demuestra que el estimador que utiliza esta investi- gadora es insesgado. b) Otro investigador estima utilizando como estimador p=b 2 ; siendo pb la proporciÛn de personas de la muestra que responden 1. Demuestra que el esti- mador que utiliza este investigador es insesgado. c) Demuestra que el estimador utilizado por la investigadora es m·s eÖciente que el utilizado por el investigador. d) Supongamos que n = 20; y que en la muestra se han obtenido nueve respuestas 1, cuatro respuestas 2 y siete respuestas 3.
d1) Calcula la estimaciÛn de que obtendr· la investigadora. d2) Calcula la estimaciÛn de que obtendr· el investigador. d3) Teniendo en cuenta el resultado demostrado en el apartado c, la investigadora aÖrma que el verdadero valor de est· m·s cercano a la estimaciÛn obtenida en el subapartado d1 que a la estimaciÛn obtenida en el subapartado d2; øes cierta esta aÖrmaciÛn?
4.- Los responsables de tr·Öco est·n analizando la velocidad m·xima (en km/h) que alcanzan los vehÌculos que pasan por una zona peligrosa. Una muestra de 7 vehÌculos ha proporcionado las siguientes velocidades m·ximas:
79 : 2 73 : 9 68 : 3 77 : 8 86 : 4 71 : 3 69 : 5
Supondremos que la v.a. X que indica la velocidad m·xima que alcanza un vehÌculo en esta zona es una v.a. con distribuciÛn normal con media desconocida y varianza 6.25.
a) Calcula un intervalo de conÖanza para con nivel de conÖanza del 90% y determina su amplitud. b) Sin efectuar ning˙n c·lculo, indica razonadamente si el intervalo de con- Öanza para que obtendrÌamos en las siguientes situaciones tendrÌa amplitud mayor o menor que el intervalo calculado en el apartado a: b1) Con la misma muestra que en el apartado a, pero con un nivel de conÖanza del 95%. b2) Con el mismo nivel de conÖanza que en el apartado a, pero con una muestra formada por 17 observaciones. b3) Con la misma muestra y el mismo nivel de conÖanza que en el apartado a, pero suponiendo que en realidad la varianza de X es 9.
5.- Se sabe que el peso (en kg) de los ladrillos de una determinada f·brica tiene distribuciÛn normal con desviaciÛn tÌpica 0 : 12. Se dispone de una muestra de n ladrillos.
a) Supongamos que n = 100; que la media de la muestra es 4 : 07 kg, y que la varianza de la muestra es 0 : 022 kg^2 : Calcula un intervalo de conÖanza para el peso medio de los ladrillos con nivel de conÖanza del 90% y determina su amplitud. b) Supongamos que podemos determinar el tamaÒo de la muestra n: øCÛmo debe ser n si se quiere conseguir que el intervalo de conÖanza para el peso medio de los ladrillos con nivel de conÖanza del 90% tenga amplitud inferior a 0.02?
6.- Los beneÖcios mensuales (en miles de euros) en una empresa son una v.a. X con distribuciÛn normal. Para estudiar las caracterÌsticas de X; se dispone de una muestra de tamaÒo 6 de X; que ha proporcionado los resultados siguientes:
BeneÖcios: 23 : 4 23 : 2 24 : 1 19 : 3 20 : 1 22 : 2
a) Calcula un intervalo de conÖanza para el beneÖcio medio de la empresa con nivel de conÖanza del 95% y determina su amplitud.
por tanto, el candidato del partido progresista ganar· las elecciones con un nivel de conÖanza aproximado del 95%. øEs cierta esta aÖrmaciÛn?
10.- Para saber cu·nto se valora en las empresas un tÌtulo universitario, se ha preguntado a los directores de recursos humanos de 344 empresas si consideraban importante que un candidato a un puesto de trabajo tuviera tÌtulo universitario; 261 directores respondieron que sÌ y el resto que no. Llamaremos p a la proporciÛn poblacional de empresas que consideran importante un tÌtulo universitario.
a) Calcula un intervalo de conÖanza para p con nivel de conÖanza aproxi- mado del 95%. b) Calcula un intervalo de conÖanza para p con nivel de conÖanza aproxi- mado del 90%: øTiene este intervalo mayor o menor amplitud que el calculado en el apartado anterior?; øpodrÌamos haber respondido a esta ˙ltima pregunta sin haber calculado el intervalo? c) Con estos mismos datos el intervalo de conÖanza para p que ha obtenido un investigador ha sido (0: 729 ; 0 :789): øCu·l es el nivel de conÖanza aproximado que ha utilizado este investigador? d) Calcula un intervalo de conÖanza para 1 p con nivel de conÖanza aproximado del 90%.
11.- Un fabricante quiere estimar la variabilidad de los niveles de impureza (en gramos) de los envÌos de materia prima de un determinado proveedor. Extrae para ello una muestra de quince envÌos y comprueba que la desviaciÛn tÌpica muestral del nivel de impureza es 0.236 gr. Supondremos que el nivel de impureza de los envÌos tiene distribuciÛn normal con varianza ^2.
a) Determina un intervalo de conÖanza para ^2 con nivel de conÖanza del 95% utilizando el procedimiento habitual. b) Determina un intervalo de conÖanza para la desviaciÛn tÌpica poblacional con nivel de conÖanza del 95% utilizando el procedimiento habitual. c) Determina cu·les son los valores c 1 y c 2 tales que (0; c 1 ) y (c 2 ; + 1 ) son tambiÈn intervalos de conÖanza para ^2 con nivel de conÖanza del 95% para esta muestra.
12.- Para estudiar el consumo (en litros por cada 100 km) de un nuevo modelo de automÛvil se ha obtenido una muestra con el consumo de 64 automÛviles de este nuevo modelo. Los resultados obtenidos pueden verse en la hoja EXCEL ìProblema 12îdel archivo ìProblemas2Datos.xlsîque se adjunta. Supondremos que el consumo de un automÛvil de este nuevo modelo es una v.a. con distribuciÛn normal. Calcula:
a) Un intervalo de conÖanza para el consumo medio con nivel de conÖanza del 95%. b) Un intervalo de conÖanza para el consumo medio con nivel de conÖanza del 99%. c) Un intervalo de conÖanza para la varianza del consumo con nivel de conÖanza del 95%.
d) Un intervalo de conÖanza para la varianza del consumo con nivel de conÖanza del 99%.
13.- Analiza si las siguientes aÖrmaciones son verdaderas o falsas (si son ver- daderas, demuÈstralas; si son falsas, justiÖca por quÈ).
a) Sea X 1 ; :::; Xn una muestra de una v.a. X con distribuciÛn binomial
Bi(1; p) y sea X la media muestral. Si llamamos = p^2 y b = X
2 ; entonces b es un estimador insesgado de .
b) La fÛrmula que deÖne los extremos de un intervalo de conÖanza para un par·metro no puede contener en ning˙n caso al par·metro .
c) Si X 1 , X 2 ; X 3 son tres v.a. independientes tales que X 1 N (1; 2); X 2 N (1; 1); X 3 N (2; 1); y llamamos
Y =
(X 1 1)=
p 2 q (X 2 1)^2 +(X 3 2)^2 2
entonces la probabilidad de que Y sea inferior a 1.89 es 0.90.
d) Si, para una muestra dada, el intervalo de conÖanza para la media pobla- cional con nivel de conÖanza del 95% ha resultado ser (21: 2 ; 24 :5); entonces la probabilidad de que la media poblacional estÈ en el intervalo (21: 2 ; 24 :5) es 0 : 95 :
e) Si no conocemos la varianza poblacional de una distribuciÛn normal, podemos calcular un intervalo de conÖanza para la media de la poblaciÛn con nivel de conÖanza aproximado, pero no con nivel de conÖanza exacto.
f) El intervalo de conÖanza que se construye habitualmente para la varianza de una poblaciÛn normal est· centrado en la varianza muestral S^2 :
