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Estadística descriptiva
Media aritmética x =
n
k ∑
i=
xini
Moda (^) M o = e i− 1 +^
h i
− h i− 1
(hi − hi− 1 ) + (hi − hi+1)
ai
Mediana M e = ei− 1 +
n/ 2 − N i− 1
ni
ai
Percentil P r
= e i− 1
rn
100
− Ni− 1
n i
a i
Varianza σ
2
n
k ∑
i=
nix
2
i
− x
2
Coe ciente de asimetría
γ 1 (X) =
n
n ∑
i=
n i
(x i
− x¯)
3
σ
3
Coe ciente de curtosis
γ 2
(X) =
n
n ∑
i=
ni(xi − x¯)
3
σ
4
Algunas distribuciones importantes
Distribución Función masa / función de densidad Esperanza Varianza
B(n, p) P (X = x) =
n!
x!(n − x)!
p
x (1 − p)
n−x , x = 0, 1... , n np np(1 − p)
P (λ) P (X = x) =
e
−λ λ
x
x!
, x = 0, 1... λ λ
N (μ, σ) f (x) =
σ
2 π
e
−(x−μ)
2
2 σ
2 , x ∈ R μ σ
2
Inferencia estadística. Estimación por intervalos de con anza
Intervalo de con anza para la media de una población normal
[
x − z 1 −α/ 2
σ
n
, x + z 1 −α/ 2
σ
n
]
- Con varianza desconocida:
[
x − t n− 1 , 1 −α/ 2
s
′
n
, x + t n− 1 , 1 −α/ 2
s
′
n
]
Intervalo de con anza para la varianza de una población normal
n ∑
i=
(xi − μ)
2
χ
2
n, 1 −α/ 2
n ∑
i=
(xi − μ)
2
χ
2
n,α/ 2
[
(n − 1)S
′ 2
χ
2
n− 1 , 1 −α/ 2
(n − 1)S
′ 2
χ
2
n− 1 ,α/ 2
]
Intervalo de con anza para la diferencia de medias en dos poblaciones normales e independientes
[
x − y − z 1 −α/ 2
σ
2
x
n
σ
2
y
m
, x − y + z 1 −α/ 2
σ
2
x
n
σ
2
y
m
]
- Con varianzas desconocidas pero iguales:
[
x − y − t n+m− 2 , 1 −α/ 2
S
p
n
m
, x − y + t n+m− 2 , 1 −α/ 2
S
p
n
m
]
S
2
p
(n − 1)S
′ 2
x
′ 2
y
n + m − 2
- Con varianzas desconocidas no necesariamente iguales:
x − y − t [γ], 1 −α/ 2
S
′ 2
x
n
S
′ 2
y
m
, x − y + t [γ], 1 −α/ 2
S
′ 2
x
n
S
′ 2
y
m
γ =
S
′ 2
x
n
S
′ 2
y
m
2
(S
′ 2
x
/n)
2
n − 1
(S
′ 2
y
/m)
2
m − 1
Intervalo de con anza para la diferencia de medias en dos poblaciones normales no independientes
[
x − y − z 1 −α/ 2
σD
√
n
, x − y + z 1 −α/ 2
σD
√
n
]
- Con varianzas desconocidas:
[
x − y − t n− 1 , 1 −α/ 2
S
′
D √
n
, x − y + t n− 1 , 1 −α/ 2
S
′
D √
n
]
Intervalo de con anza para el cociente de varianzas en dos poblaciones normales e independientes
m ∑
i=
(y i
− μ y
2
n ∑
i=
(xi − μx)
2
n
m
· Fn,m,α/ 2 ,
m ∑
i=
(y i
− μ y
2
n ∑
i=
(xi − μx)
2
n
m
· Fn,m, 1 −α/ 2
[
S
′ 2
y
S
′ 2
x
· F
n− 1 ,m− 1 ,α/ 2
S
′ 2
y
S
′ 2
x
· F
n− 1 ,m− 1 , 1 −α/ 2
]
Intervalo de con anza para una proporción
[
p − z 1 −α/ 2
pˆ(1 − pˆ)
n
, p + z 1 −α/ 2
pˆ(1 − pˆ)
n
]
Intervalo de con anza para la diferencia de proporciones
[
p ˆx − pˆy − z 1 −α/ 2
pˆx(1 − pˆx)
n
ˆpy (1 − pˆy )
m
, pˆx − pˆy + z 1 −α/ 2
pˆx(1 − pˆx)
n
pˆy (1 − pˆy )
m
]
Contraste de hipótesis para la diferencia de medias en poblaciones normales independientes
Con varianzas conocidas
Hipótesis nula Estadístico de contraste
H 0 : μx − μy = δ 0
X − Y − δ 0 √
σ
2
x
n
σ
2
y
m
∼ N (0, 1)
Hipótesis alternativa Región de rechazo
H
1
: μ x
− μ y
= δ 0
z ≤ −z 1 −
α
2
ó z ≥ z 1 −
α
2
H 1 : μx − μy > δ 0 z ≥ z 1 −α
H
1
: μ x
− μ y
< δ 0
z ≤ z α
Con varianzas desconocidas pero iguales
Hipótesis nula Estadístico de contraste
H 0 : μx − μy = δ 0
T =
X − Y − δ 0
S
p
n
m
∼ t n+m− 2
con S
2
p
(n − 1)S
′ 2
x
′ 2
y
n + m − 2
Hipótesis alternativa Región de rechazo
H
1
: μ x
− μ y
= δ 0
t ≤ −t n+m− 2 , 1 −
α
2
ó t ≥ t n+m− 2 , 1 −
α
2
H 1 : μx − μy > δ 0 t ≥ tn+m− 2 , 1 −α
H 1 : μx − μy < δ 0 t ≤ tn+m− 2 ,α
Con varianzas desconocidas no iguales
Hipótesis nula Estadístico de contraste
H
0
: μ x
− μ y
= δ 0
T =
X − Y − δ 0
√
S
′ 2
x
n
S
′ 2
x
m
∼ t [γ]
con γ =
S
′ 2
x
n
S
′ 2
y
m
2
(S
′ 2
x
/n)
2
n − 1
(S
′ 2
y
/m)
2
m − 1
Hipótesis alternativa Región de rechazo
H 1 : μx − μy ̸= δ 0 t ≤ −t [γ], 1 −
α
2
ó t ≥ t [γ], 1 −
α
2
H
1
: μ x
− μ y
> δ 0
t ≥ t [γ], 1 −α
H 1 : μx − μy < δ 0 t ≤ t[γ],α
Contraste de hipótesis para la diferencia de medias en poblaciones normales no independientes
Con varianzas conocidas
Hipótesis nula Estadístico de contraste
H
0
: μ x
− μ y
= δ 0
Z =
D − δ 0
σ D
n
∼N (0, 1)
Hipótesis alternativa Región de rechazo
H 1 : μx − μy ̸= δ 0 z ≤ −z 1 −α/ 2 ó z ≥ z 1 −α/ 2
|z| ≥ z 1 −α/ 2
H 1 : μx − μy > δ 0 z ≥ z 1 −α
H
1
: μ x
− μ y
< δ 0
z ≤ z α
Con varianzas desconocidas
Hipótesis nula Estadístico de contraste
H
0
: μ x
− μ y
= δ 0
T =
D − δ 0
S
D
n
∼t (n − 1)
Hipótesis alternativa Región de rechazo
H 1 : μx − μy ̸= δ 0 t ≤ −t 1 −α/ 2 ,n− 1 ó t ≥ t 1 −α/ 2 ,n− 1
|t| ≥ t 1 −α/ 2 ,n− 1
H
1
: μ x
− μ y
> δ 0
t ≥ t 1 −α,n− 1
H
1
: μ x
− μ y
< δ 0
t ≤ t α,n− 1
Contraste de hipótesis para el cociente de varianzas en dos poblaciones normales e independientes
Con medias conocidas
Hipótesis nula Estadístico de contraste
H 0 : σ
2
x
= σ
2
y
F =
n ∑
i=
(X
i
− μ x
2
/n
m ∑
i=
(Y
i
− μ y
2
/m
∼ Fn,m
Hipótesis alternativa Región de rechazo
H
1
: σ
2
x
= σ
2
y
F ≤ F
n,m,
α
2
ó F ≥ F n,m, 1 −
α
2
H 1 : σ
2
x
> σ
2
y
F ≥ Fn,m, 1 −α
H 1 : σ
2
x
< σ
2
y
F ≤ tn,m,α
Con medias desconocidas
Hipótesis nula Estadístico de contraste
H 0 : σ
2
x
= σ
2
y
F =
S
′ 2
x
S
′ 2
y
∼ Fn− 1 ,m− 1
Hipótesis alternativa Región de rechazo
H 1 : σ
2
x
= σ
2
y
F ≤ Fn− 1 ,m− 1 ,
α
2
ó F ≥ Fn− 1 ,m− 1 , 1 −
α
2
H 1 : σ
2
x
> σ
2
y
F ≥ Fn− 1 ,m− 1 , 1 −α
H
1
: σ
2
x
< σ
2
y
F ≤ t n− 1 ,m− 1 ,α
Inferencia estadística. Análisis de la varianza de un factor
Tratamientos Observaciones Total Media
1 x 11
x 12
... x 1 n 1
T
1
x 1
2 x 21 x 22... x 2 n 2
T 2 x 2
k x k 1
x k 2
... x knk
T
k
x k
T x
SCT =
k ∑
i=
ni ∑
j=
x
2
ij
T
2
n
SCT R =
k ∑
i=
T
2
i
ni
T
2
n
SC
E
= SC
T
− SC
T R
CMT R =
SCT R
k − 1
CME =
SC
E
n − k
Fuente de
variación
Grados de
libertad
Suma de
cuadrados
Cuadrados
medios
F
Entre tratamientos k − 1 SCT R CMT R
F =
CM
T R
CME
Error n − k SC E
CM
E
Total n − 1 SC T
Criterio de decisión: Rechazaremos H 0
al nivel de signi cación α si F exp
> f k− 1 ,n−k;1−α
Test Estadístico de contraste Región de rechazo
Barlett
Bexp =
c
[
(n − k) lns
′ 2
−
k ∑
i=
(ni − 1) lns
′ 2
i
]
s
′ 2
n − k
k ∑
i=
(ni − 1) s
′ 2
i
c = 1 +
3 (k − 1)
k ∑
i=
n i
n − k
B
exp
> χ
2
k− 1 , 1 −α
Comparaciones múltiples de Scheé F ij
(¯x i
− x¯ j
2
CM
E
ni + nj
n i
n j
F
ij
> (k − 1) f k− 1 ,n−k, 1 −α
Inferencia estadística. Modelo lineal de regresión simple
- Estimación de los parámetros del modelo: yˆ =
β 0 +
β 1 x,
β 0 = ¯y −
S
xy
S
2
x
x ¯,
β 1 =
S
xy
S
2
x
- Estimación del parámetro de dispersión: σˆ
2
u
= S
2
ˆu
n − 2
n ∑
i=
u ˆ
2
i
n − 2
n ∑
i=
y i
β 0
β 1
x i
2
- Intervalos de con anza para los coe cientes de regresión:
[
β 0 − t n− 2 , 1 −α/ 2
S ˆ
β 0
β 0 + t n− 2 , 1 −α/ 2
S ˆ
β 0
]
con S (^) ˆ β 0
S
2
uˆ
n
¯x
2
nS
2
x
[
β 1
− t n− 2 , 1 −α/ 2
S ˆ
β 1
β 1
S ˆ
β 1
]
con S (^) ˆ β 1
S
2
ˆu
nS
2
x
- Intervalo de con anza para el parámetro de dispersión:
[
(n − 2)S
2
uˆ
χ
2
1 −α/ 2 ,n− 2
(n − 2)S
2
uˆ
χ
2
α/ 2 ,n− 2
]
- Contrastes de hipótesis para los coe cientes de regresión:
Hipótesis nula Estadístico de contraste
H
0
: β i
= β
0
i
, i = 0, 1 t exp
βi − β
0
i
S
ˆ βi
Hipótesis alternativa Región de rechazo
H
1
: β i
= β
0
i
|t exp
| > t n− 2 , 1 −α/ 2
H 1 : βi > β
0
i
texp > tn− 2 , 1 −α
H 1 : βi < β
0
i
texp < −tn− 2 , 1 −α
- Contraste de hipótesis para el parámetro de dispersión:
Hipótesis nula Estadístico de contraste
H
0
: σ
2
u
= σ
2
u 0
χ
2
exp
(n − 2)S
2
uˆ
σ
2
u 0
Hipótesis alternativa Región de rechazo
H
1
: σ
2
u
= σ
2
u 0
χ
2
exp
< χ
2
n− 2 ,α/ 2
ó χ
2
exp
> χ
2
n− 2 , 1 −α/ 2
H
1
: σ
2
u
> σ
2
u 0
χ
2
exp
> χ
2
n− 2 , 1 −α
H
1
: σ
2
u
< σ
2
u 0
χ
2
exp
< χ
2
n− 2 ,α
- Intervalos de con anza para la predicción:
· sobre el valor esperado de Y dado el valor xp de X:
β 0 +
β 1 xp ± t n− 2 , 1 −α/ 2
Suˆ
n
(¯x − x p
2
nS
2
x
· sobre el valor de Y dado el valor x p
de X:
β 0
β 1
x p
± t n− 2 , 1 −α/ 2
S
ˆu
n
(¯x − x p
2
nS
2
x
