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ELASTICIDAD Y RESISTENCIA DE MATERIALES I
PROBLEMAS
TEMA 1: INTRODUCCIÓN
1-) Dados los vectores ᠡ, ᠢ y ᠣ realizar las siguientes operaciones:
a-) ᠡᝰᠢ b-) ᠢᝰᠡ c-) ᠡᝰᠣ d-) ᠣᝰᠢ e-) 䙦ᠡᝰᠢ䙧 · ᠣ h-) 䙦ᠢᝰᠣ䙧 · ᠡ
2-) Expresar en forma matricial los siguientes tensores de segundo orden: 㐄 2᠅❸ᝰ᠅❸ ㎗ 3᠅❸ᝰ᠅❹ ㎗ 4᠅❹ᝰ᠅❸ ㎘ 5᠅❸ᝰ᠅➀ ㎗ ᠅➀ᝰ᠅➀ 㐄 5᠅❸ᝰ᠅❸ ㎘ 6᠅❸ᝰ᠅➀ ㎗ ᠅❹ᝰ᠅❸ ㎗ 3᠅❹ᝰ᠅➀ ㎘ 4᠅➀ᝰ᠅❸ ㎗ 5᠅➀ᝰ᠅➀
3-) Dados los tensores de segundo orden A, B y C realizar las siguientes operaciones 㐄 3᠅❸ᝰ᠅❸ ㎗ 2᠅❹ᝰ᠅❹ ㎘ ᠅❹ᝰ᠅➀ ㎗ 5᠅➀ᝰ᠅➀ 㐄 4᠅❸ᝰ᠅➀ ㎗ 6᠅❹ᝰ᠅❹ ㎘ 3᠅➀ᝰ᠅❹ ㎗ ᠅➀ᝰ᠅➀ 㐄 ᠅❸ᝰ᠅❸ ㎘ 2᠅❸ᝰ᠅❹ ㎗ 4᠅❹ᝰ᠅➀ ㎘ 6᠅➀ᝰ᠅❹
a-) · b-) · c-) · d-) 䙦 · 䙧 㐁
4-) Dados los tensores de segundo orden A, B y C del punto 3 y los vectores ᠢ y ᠣ, realizar las siguientes operaciones ᠢ 㐄 2᠅❸ ㎘ 3᠅❹ ㎗ 4᠅➀ ᠣ 㐄 4᠅❸ ㎗ 5᠅❹ ㎘ ᠅➀ a-) 䙦 · 䙧 · ᠢ b-) 䙦 · 䙧 · ᠣ c-) : d-) :
5-) Dada la diádica 㐄 3᠅❸ᝰ᠅❸ ㎘ 4᠅❸ᝰ᠅❹ ㎗ 2᠅❹ᝰ᠅❸ ㎗ ᠅❹ᝰ᠅❹ ㎗ ᠅➀ᝰ᠅➀ como un operador vectorial lineal, determinar el vector v que resulta cuando A actúa sobre ᠡ 㐄 4᠅❸ ㎗ 2᠅❹ ㎗ 5᠅➀
6-) Para índices variando de 1 a 3, dar el significado de los siguientes símbolos tensoriales cartesianos: ᠧ〶〶, ᠧ〶〷〷 , ᠨ〶〷, ᡓ〶ᡆ〶〷, ᡓ〶ᡔ〷ᡅ〶〷
7-) Calcular las expresiones siguientes en las que interviene el delta de Kronecker ‒〶〷
para índices variando de 1 a 3: a-) ‒〶〶 b-) ‒〶〷 ‒〶〷 c-) ‒〶〷 ‒〷〸 d-) ‒〶〷 ᠧ〶〸
8-) Desarrollar y simplificar en lo posible la expresión ᠧ〶〷ᡶ〶ᡶ〷 para a) ᠧ〶〷 㐄 ᠧ〷〶 y b) ᠧ〶〷 㐄 ㎘ᠧ〷〶
9-) Mediante una rotación de un ángulo ‖ alrededor del eje ᡶ⡱ se obtiene un conjunto de ejes cartesianos con primas ᡁᡶ⡩䖓^ ᡶ⡰䖓^ ᡶ⡱䖓^. Determine los coeficientes de transformación ᡃ〶〷
que relacionan los ejes entre sí y las componentes con primas del vector ᠡ 㐄 ᡳ⡩᠅❸ ㎗ ᡳ⡰᠅❹ ㎗ ᡳ⡱᠅➀
10-) Mediante una rotación de un ángulo ‖ alrededor del eje ᡶ⡱ se obtiene un conjunto de ejes cartesianos con primas ᡁᡶ⡩䖓^ ᡶ⡰䖓^ ᡶ⡱䖓^. Determinar las componentes con primas de las siguientes entidades: a-) ᠢ 㐄 2᠅❸ ㎘ 3᠅❹ ㎗ 4᠅➀ b-) ᠣ 㐄 4᠅❸ ㎗ 5᠅❹ ㎘ ᠅➀ c-) 㐄 2᠅❸ᝰ᠅❸ ㎗ 3᠅❸ᝰ᠅❹ ㎗ 4᠅❹ᝰ᠅❸ ㎘ 5᠅❸ᝰ᠅➀ ㎗ ᠅➀ᝰ᠅➀ d-) 㐄 5᠅❸ᝰ᠅❸ ㎘ 6᠅❸ᝰ᠅➀ ㎗ ᠅❹ᝰ᠅❸ ㎗ 3᠅❹ᝰ᠅➀ ㎘ 4᠅➀ᝰ᠅❸ ㎗ 5᠅➀ᝰ᠅➀
11-) Si ᠨ〶〷 es antisimétrico y ᠧ〶〷 es simétrico, probar que ᠧ〶〷ᠨ〶〷 㐄 0
12-) Probar para la función ’ 㐄 ᠧ〶〷ᡶ〶ᡶ〷 donde ᠧ〶〷 es constante, que (^) ㄅけㄅゐ ㊄
y ㄅ
ㄘゐ ㄅけ㊄ㄅけ㊅^ 㐄 㐵ᠧ〶〷^ ㎗ ᠧ〷〶㐹. Simplificar estas derivadas para el caso^ ᠧ〶〷^ 㐄 ᠧ〷〶
