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PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN (2)
Sugerencia para el profesor Resolver en el pizarrón los siguientes problemas, solicitando la intervención de los
alumnos en cada uno de los pasos a seguir.
Procedamos a resolverlo:
v(r) = k (R – r) r
2 , v(r) = k (R r
2
- r
3 )
2 k Rr r dr
dv = −
2. k (2R r – 3r
2 ) = 0.
3. 2R r – 3 r
2
= r(2R – 3r) = 0; r 1 = 0; 2R – 3r = 0; r 2 = R
2
2
k R r dr
d v = −
v R k R R 3
" = k(2R – 4R) = - 2kR < 0, porque k y R son positivas.
- La velocidad del aire expulsado v(r) tiene un máximo cuando r = R 3
Ejemplo 1 Problema de la tos
Cuando alguien tose, la tráquea se contrae
violentamente, lo que afecta de modo directo a la
velocidad del aire expulsado a través de ella. Si la
velocidad del aire durante una tosida se puede expresar
v(r) = k (R – r) r
2 , donde k es una constante positiva que
depende de la persona, R es el radio normal de la
tráquea y r el radio durante el golpe de tos, ¿qué valor
del radio r producirá la máxima velocidad del aire
expulsado?
Resolvámoslo:
32
3 2
t
t t t
dt
dC
32
3 3
t
t t
3 2
3
t
t
32
3
=
t
t ; 2
t = ; 3 2
t =.
t =^3 =.
Obtener la segunda derivada resulta un proceso largo, probemos el criterio
de la primera derivada.
4. t = 2.3811 divide al eje X en dos intervalos: (− ∞, 2. 3811 )y ( 2. 3811 ,∞)
Pasos 5 y 6.
Intervalo ( − ∞, 2. 3811 ) ( 2. 3811 ,∞)
Valor de t 2 3
Valor de C’(t)
- 0269 1225
Signo de C’(t) + -
- ∴ C(t) tiene un máximo en t = 2.3811 horas = 2 h 22 min 51 seg
Ejemplo 2 Problema del medicamento
La concentración C de un medicamento en la
sangre, después de t horas de inyectado en tejido
muscular, se expresa como 3 27
t
t C t
=. ¿Para
qué valor de t la concentración C en la sangre es
máxima?
La planta obtiene la máxima ganancia produciendo 5.52 toneladas de acero
de segunda clase al día.
La función que queremos optimizar es A = Acírculo + Acuadrado
2 2 A = π r + x ....... (2)
Con el propósito de que A dependa sólo de una variable, por ejemplo r ,
despejaremos x en (1) y la sustituiremos en (2).
De (1): 4
1 2 r x
− π = ,^ así que ahora
2 2
4
r Ar r
π π
Procedemos a resolverlo:
dr
dA 2 π r + 2 (^)
1 2 π π = 2 π r + 16
2 − π + π r = 2 π r - 4 2
2 π π r
2
r − − r =
π π π ; 2r - 4 2
1 π r
- = 0; 8r – 1 + 2 π r = 0; r (8 + 2 π ) = 1;
8 2 π
r =
2
2
2 π = π + dr
d A = 16.1527 > 0, constante positiva.
Ejemplo 4 Problema de la varilla
Se tiene una varilla de un metro de longitud para
hacer un círculo y un cuadrado. ¿Cómo debe cortarse
la varilla para que la suma de las áreas de las figuras
construidas sea máxima? ¿Y para que sea mínima?
r
x
1 m 2 π r 4x
Llamemos r al radio del círculo y x al
lado del cuadrado.
La suma de los perímetros:
2 π r + 4 x = 1 m ……..(1)
El área del círculo será A = π r
2
El área del cuadrado será A = x
2
- ∴ A(r) tiene un mínimo absoluto en 8 2 π
r = , es decir, un círculo de radio
8 2 π
r = m y un cuadrado de lado 4
1 2 r x
− π = = 0.14 m producen el área mínima.
- Acírculo =
2
π = 0.015399 m
2 ; Acuadrado =
2
π
π = 0.
La función A(r) es cóncava hacia arriba en todo su dominio, tiene un mínimo
absoluto, sin embargo en los valores extremos permitidos para r , A(r) tiene
máximos relativos, el mayor de ellos, si lo hay, será el máximo relativo de la
función en ese intervalo.
¿Cuál es el menor valor que puede tomar r? r = 0
El mayor valor que puede tomar r es
2 π
r = , ¿por qué?
Porque 2 π r = 1 m
De manera que 2 π
0 ≤ r ≤
Evaluamos A(r) en cada extremo del intervalo y tomamos el mayor, si lo hay.
A(0) = π (
2 ) + 16
(1 - 2 π (0)) = 16
= 0.0625 m
2
2 2
+^ −
^ =
π
π π
π π
A =
4 π
= 0.0795 m
2
Para este valor del radio, el lado del cuadrado es cero.
El valor máximo de A(r) sucede cuando 2 π
r = , por lo tanto no hay que
cortar la varilla, sólo doblarla para formar el círculo.
C(x) tiene un mínimo cuando x = 10.
C ( 10 ) 100 101.5 artículos.
La empresa debe producir 101.5 artículos diarios para minimizar el costo de
producción.
- Determina el radio y la altura del cilindro de volumen máximo que puede
inscribirse en una esfera de 5 cm de radio. Calcula también el volumen máximo.
- Una compañía de televisión por cable sabe que obtiene una ganancia de
$15 por cada cliente, si tiene 1000 clientes o menos en cada sección. Si hay más
de 1000 clientes, la ganancia disminuye un centavo por cada cliente que pasa de
1000. ¿Cuántos clientes por sección le producen la máxima ganancia?
Ejercicio
El estudiante resolverá los siguientes
problemas de optimización.
- Un granjero necesita cercar una zona
junto al río. Si dispone de 1000 m de malla
ciclónica, ¿qué dimensiones debe darle a la
zona cercada para que su área sea máxima?
El lado que queda junto al río no requiere
malla.
