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Aplicaciones de la derivada
- Encontrar el punto sobre la gr·Öca de f (x) =
1 + x^2
donde la recta tangente tiene la pendiente m·xima y el punto donde la recta tangente tiene la pendiente mÌnima.
SoluciÛn 1 La derivada de una funciÛn g es la funciÛn que permite calcu- lar el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva de g en cada uno de los puntos en donde g y g^0 est·n deÖnidas. f 0 (x) =
2 x (1 + x^2 )^2
deÖne
las pendientes de las rectas tangentes a f , hay que encontrar los valores extremos de la funciÛn f 0 , por tanto, se halla su derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuaciÛn resultante. f 00 (x) =
3 x^2 1
(1 + x^2 )^3
Los extremos
ocurren en x =
r 1 3
Para veriÖcar cu·l es el m·ximo y cual el mÌnimo hallamos la derivada de f 00 (x):
f 000 (x) =
24 x
1 x^2
(1 + x^2 )^4
f 000
r 1 3
r 1 3
!^0
r 1 3
A
r 1 3
A
p 3 1 +
4 <^0
f 000
r 1 3
r 1 3
!^0
r 1 3
A
r 1 3
A
p 3 1 +
4 >^0
Por tanto,
r 1 3
es un m·ximo y
r 1 3
es un mÌnimo. En el punto
r 1 3
la recta tangente a f tiene la m·xima pendiente y en r 1 3
la mÌnima.
- La recta que une A y C cruza las dos rectas paralelas como se muestra en la Ögura. El punto B est· a d unidades de A. øA quÈ distancia de C debe situarse el punto D de manera que la suma de las ·reas de los dos tri·ngulos sombreados sea un mÌnimo?
SoluciÛn 2 AB = d, DC = x, EF = h 1 , EG = h 2 , h 1 + h 2 = h, distancia constante que separa las rectas paralelas. Los tri·ngulos 4 AEB y 4 CED son semejantes (Teorema A.A.A.), por tanto las alturas corre- spondientes son proporcionales a los lados correspondientes,
d x
h h 1 h 1
) x = dh 1 h h 1
m·xima.
SoluciÛn 3 Para las tres situaciones se tendr· en cuenta el hecho que la recta que pasa por los puntos de coordenadas (3; 0) y (0; 4) tiene por
ecuaciÛn y = 4
x (y y 1 =
y 2 y 1 x 2 x 1
(x x 1 )) en consecuencia, cualquier
punto sobre la recta ser· de la forma
x; 4
x
. El punto F del rec-
t·ngulo DCEF tiene por coordenadas (x; 0) el punto C, al estar sobre
la recta, tendr· coordenadas
x; 4
x
) F C = 4
x la funciÛn
objetivo es el ·rea del rect·ngulo DCEF , cuya base es x > 0 y altura
4
x = 4
x )
aDCEF (x) = x
12 4 x 3
= 4x
4 x^2 3
derivando con respecto a x e igualando a cero, 4
8 x 3
= 0 ) x =
^y = 2
La segunda derivada,
conÖrma que el valor es un m·ximo. Una forma
alternativa es considerar que el rect·ngulo DCEF , determina los 4 ADC y 4 CF B que son semejantes, sea DE = y, EF = x, AD = 4 y,
F B = 3 x )
4 y y
x 3 x ^ y =
12 4 x 3 lo cual conduce al mismo
resultado.
SoluciÛn 4 Para el cÌrculo, se debe tener en cuenta que el ·rea es fun- ciÛn del radio, por tanto, el ·rea ser· m·xima cuando la distancia entre
cualquiera de los puntos de tangencia y el centro de la circunferencia sea m·xima. En toda circunferencia, la recta tangente es perpendicular al ra- dio en el punto de tangencia. Las coordenadas de los puntos de tangencia ser·n:
D : (d; 0) ; C : (0; d) ; E :
a; 4
a
ya que el punto E est· sobre la recta y = 4
x. El centro I de la
circunferencia tiene coordenadas (d; d) y la recta que pasa por los puntos
E e I, por ser perpendicular a la recta y = 4
x, tiene por ecuaciÛn
y =
x+d. Las coordenadas del punto E deben satisfacer tanto la ecuaciÛn
de la recta tangente como la ecuaciÛn de la recta y =
x + d
E :
a; 4
a
a;
a + d
a + d = 4
a
) a =
(4 d)
E :
48 12 d 25
36 16 d 25
La funciÛn distancia es:
f (d) =
s 48 12 d 25
d
36 16 d 25
d
p 2
p 72 12 d + 61d^2 5
) f 0 (d) =
p 2 10
6 + 61d p 72 12 d + 61d^2
entonces, si 61 d 6 = 0 d =
. La segunda derivada de f es:
f 00 (d) =
p 2 5 (72 12 d + 61d^2 )
(^32)
La funciÛn g (d) = 72 12 d + 61d^2 representa una par·bola que abre hacia arriba, el discriminante de la ecuaciÛn 72 12 d+61d^2 = 0 es 144 17568 <
0 por tanto, para todo valor de d, 72 12 d + 61d^2 > 0 ) f 00
luego d =
maximiza el ·rea.
SoluciÛn 5 Para el semicÌrculo, el ·rea es tambiÈn funciÛn del radio, el ·rea ser· m·xima cuando la distancia entre los puntos E y G sea m·xima,
dimensiones de la cruz para que su ·rea sea m·xima?
SoluciÛn 6 Sea OC = x ^ DC = y, OD = r. ]DOC = , O es el centro de la circunferencia, El ·rea de la regiÛn delimitada por la cruz ser·:
A (x; y) = 4xy + 4xy (2y)^2 = 8xy 4 y^2
cos =
x r
) x = r cos ^ sin =
y r
) y = r sin
A (x; y) = 8 xy 4 y^2 = = 8 r cos r sin 4 r^2 sin^2 = = 8 r^2 cos sin 4 r^2 sin^2 = = 4 r^2
2 cos sin sin^2
= 4 r^2
sin 2 sin^2
La funciÛn de ·rea es una funciÛn del ·ngulo , 0 < <
es esta la funciÛn objetivo, A () = 4r^2
sin 2 sin^2
A^0 () = 4 r^2 (2 cos 2 2 sin cos ) = = 4 r^2 (2 cos 2 sin 2)
Si 4 r^2 (2 cos 2 sin 2) = 0 ) 2 cos 2 sin 2 = 0 ) sin 2 cos 2
tan 2 (Esta divisiÛn es posible hacerla porque al pertenecer al inter- valo
, cos 2 6 = 0) De 2 = tan 2 se tiene que =
arctan 2 2
31 : 72 ^ Para veriÖcar que este valor maximiza el ·rea, se halla la se- gunda derivada de A (). A^00 () = 8 r^2 (sin 2 + cos 2) ) A^00 (31: 72 ) = 8 r^2 (sin 63: 44 ^ + cos 63: 44 ) < 0 Las dimensiones de la cruz simÈtrica, que maximizan su ·rea son entonces: x = r cos 31: 72 ^ ^ y = r sin 31: 72
- Una viga de acero de 27 pies de longitud se transporta por un pasillo de 8 pies de ancho hasta un corredor perpendicular al pasillo. øCu·l debe ser
el ancho del corredor para que la viga pueda pasar por la esquina? No considere la anchura horizontal de la viga.
SoluciÛn 7 De acuerdo al diagrama, y teniendo en cuenta que los tri·n- gulos rect·ngulos son semejantes, se puede aÖrmar que:
sin =
u ^ sin (90 ) = cos =
x 27 u ) u =
sin
^ x = (27 u) cos
) x =
sin
cos
dx d = sin
sin
cos sin^2
cos^2 sin^2
27 sin = 8 sin^2 + 8 cos^2 27 sin^3 sin^2
sin^2 + cos^2
27 sin^3 sin^2
8 27 sin^3 sin^2 si
8 27 sin^3 = 0 ) sin =
^ cos =
p 5 3
u = 12 ^ x = (27 12)
p 5 3
El ancho mÌnimo del pasillo debe ser 11.18 pies.
- Cu·les ser·n las dimensiones del cilindro circular recto de volumen 1000 m^3 si es destapado y se requiere que se minimize la cantida de material con
porque hay dos tapas cuadradas de lado x y cuatro lados rectangulares de base x y altura y El costo de construcciÛn de la caja es
20 2 x^2 + 30 4 xy = 40x^2 + 120xy = C (x; y)
de x^2 y = 144 se tiene que
y =
x^2 ) C (x) = 40x^2 + 120x
x^2 = 40x^2 +
x Es esta la funciÛn que debe optimizarse.
C^0 (x) = 80x
x^2
80 x^3 17280 x^2
Si 80 x^3 17280 = 0 ) x^3 216 = 0 ) (x 6)
x^2 + 6x + 36
como x^2 + 6x + 36 no se anula para ning˙n valor real, sÛlo es posible x = 6 C^00 (x) = 80 +
x^3
^ C^00 (6) = 80 +
es un mÌnimo. Las dimensiones de la caja que minimizan los costos son x = 6m, y = 4m
- Cu·les son las dimensiones del sÛlido rectangular con base cuadrada, de m·ximo volumen, de entre todos los que tienen un ·rea de 50 unidades cuadradas.
SoluciÛn 10 Un sÛlido rectangular de base cuadrada es un paralelepÌpedo que tiene dos caras que son cuadrados, las bases,
y las 4 restantes son rect·ngulos, el ·rea superÖcial ser· la suma de las ·reas de cada una de las caras, entonces, si x es la medida de los la- dos del cuadrado y x; y son las medidas de los lados de los rect·ngu- los, el ·rea superÖcial ser·: S (x; y) = 2x^2 + 4xy: Para este problema, 2 x^2 + 4xy = 50; =) y =
50 2 x^2 4 x
: el volumen de este tipo de sÛlido es
V (x; y) = x^2 y =) para la situaciÛn que nos ocupa V (x) = x^2
50 2 x^2 4 x
50 x 2 x^3 4
25 x x^3 2 : Esta es la funciÛn que vamos a optimizar, por
tanto V 0 (x) = 25 3 x^2 2
= 0 =) x = 5
p 3 3 _^ x^ =^ ^
5 p 3 3 Se descarta el valor negativo, y se veriÖca si x = 5
p 3 3 ;maximiza la funciÛn de vol- umen, para ello se usar· el criterio de la segunda derivada V 00 (x) = 3 x; V 00
5 p 3 3
5 p 3 3
p 3 < 0. Se tiene que 5
p 3 3 es un m·x-
imo, y =
5 p 3 3
5 p 3 3
- Una viga de madera tiene secciÛn rectangular de dimensiones l; h. Su resistencia S es directamente proporcional al cuadrado de su altura, h; y a su ancho, l: øCu·les son las dimensiones de la viga m·s resistente que se puede cortar de un tronco de 60cm de di·metro?
SoluciÛn 11 Por ser la resistencia de la viga directamente proporcional al cuadrado de su altura y a su ancho, se tiene que S (l; h) = klh^2 ; donde k es una constante de proporcionalidad. Como la viga se cortar· de un tronco de secciÛn circular, l y h est·n relacionados mediante la ecuaciÛn l^2 + h^2 = 602 =) h^2 = 60^2 l^2 =) S (l) = kl
602 l^2
:La funciÛn a optimizar es por tanto S (l) :
S^0 (l) = k
602 l^2
2 kl^2 = k
602 3 l^2
cuando S^0 (l) = 60^2 3 l^2 = 0 =) l^2 =
^ l =
p 3
p 3 S^00 (l) = 6 kl:Esto indica que si la constante de proporcionalidad es posi- tiva, S^00 (l) < 0 para cualquier valor de l; que necesariamente es un n˙mero positivo, luego el valor hallado es un m·ximo.
h =
p 602 l^2 =
r 602
r 2 3
p 6
Las dimensiones de la viga son 20
p 6 y 20
p 3
- El alcance R de un proyectil lanzado con velocidad inicial v 0 y ·ngulo con relaciÛn a la horizontal es
R =
v^20 sin 2 g
- Hallar las dimensiones del cilindro circular recto de m·ximo volumen que puede inscribirse en en un cono circular recto de radio R y altura H:(radio: 2 R 3
, altura:
H
SoluciÛn 14
En el diagrama del lado derecho se puede observar una seccion del cono y el cilindro inscrito, obtenida al cortar el solido con un plano, perpendicular a la base, que pasa por el centro del cÌrculo, el tri·ngulo rect·ngulo de catetos r y H-h es semejante al tri·ngulo rect·ngulo de catetos R y H, entonces, R r
H
H h , por tanto, r = R
R
H
h el volumen del cilindro inscrito es:
r^2 h =
R
R
H
h
h
El volumen del cilindro es funciÛn de h;derivando esta funciÛn con respecto a h e igualando a cero, se obtiene lo pedido.
- Hallar las dimensiones del cono circular recto de m·ximo volumen que puede inscribirse en una esfera de radio R.
SoluciÛn 15
El diagrama del lado derecho representa una secciÛn de la esfera y el cono inscrito, obtenido al cortar la esfera con un plano que pase por su centro, perpendicular a la base del cono, r es el radio de la base del cono, R es
el radio de la esfera y R+x es la altura del cono circular recto, por tanto, x =
R^2 r^2
Si h representa la altura del cono, entonces,
h = R +
R^2 r^2
y el volumen del cono ser·:
1 3
r^2 h =
r^2
R +
R^2 r^2
derivando con respecto a r e igualando a cero, se obtiene lo pedido.
- Dada una esfera de radio R, hallar las dimensiones del cilindro circular recto, de mayor superÖcie lateral 2 rh que puede inscribirse en la esfera.
SoluciÛn 16
El segmento perpendicular a la base del cilindro, trazado desde el centro de la circunferencia que forma la base del cilindro hasta el centro de la esfera, por consideraciones de simetrÌa, debe tener una longitud igual a la mitad de la altura del cilindro, de acuerdo al diagrama,
R^2 =
h^2 4
r^2 =
4 R^2 h^2 4
r =
4 R^2 h^2 4
h: altura del cilindro, r: radio de la circunferencia de la base del cilindro, R: radio de la esfera. El ·rea lateral del cilindro es:
2 rh = 2
4 R^2 h^2 4
h =
4 R^2 h^2
h
A (h) =
4 R^2 h^2
h
El ·rea lateral es funciÛn de h, derivando con respecto a h e igualando a cero, se obtiene h = R
p
para resolver la ecuaciÛn bicuadrada a^4 + 4a^2 1 = 0 se hace a^2 = s ) s^2 + 4s 1 = 0. s =
p 16 + 4 2
p 5
en R, no es posible a^2 = s = 2
p 5 luego a^2 = s = 2 +
p 5 ; a =
p 2 +
p 5 = 0 :485 87 ^ b =
- Determine el ·rea del rect·ngulo m·s grande que tenga dos vÈrtices en el eje x y los otros dos en la par·bola y = 9 x^2 , por encima del eje x. Ejercicio 29.
SoluciÛn 18
Al ser un rect·ngulo, los puntos que se buscan deben estar en la par·bola y tener la misma ordenada, puesto que la par·bola es simÈtrica con respecto al eje y los puntos deben ser de la forma
a; 9 a^2
a; 9 a^2
, la base del rect·ngulo est· determinada por los puntos de coordenadas ( a; 0) y (a; 0) su longitud es 2 a la altura es 9 a^2 el ·rea es: 2 a
9 a^2
derivando con respecto a a e igualando a cero, se obtiene lo pedido.
- Una isla esta ubicada en el punto A a 4 Km mar adentro del punto m·s cercano B de una playa recta. Una mujer, en la isla, desea ir al punto C, a 6 Km de B playa abajo, la mujer puede dirigirse hacia el punto P , entre B y C en un bote de remos a 5 Km por hora y despuÈs caminar en forma recta de P a C a 8 Km por hora. Encuentre la ruta de A a C que ella puede recorrer en el menor tiempo.
SoluciÛn 19
Al ser B el punto m·s cercano desde A a la playa, el segmento AB ser· perpendicular a la playa, sea x la distancia de B a P entonces, AP = 16 + x^2
y el tiempo que se emplear· en recorrer esta distancia, remando
a 5 km=h, ser· t 1 =
16 + x^2
5 km=h
, la distancia de P a C es 6 x y al
caminar esta distancia a 8 km=h el tiempo empleado ser· t 2 =
6 x 8 km=h
el
tiempo total ser·:
16 + x^2
5 km=h
6 x 8 km=h
el tiempo depende del valor de x,
derivando con respecto a x e igualando a cero, se obtiene lo pedido.
