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1.- Una partícula efectúa un movimiento rectilíneo tal que si x ( t ) es la posición a lo largo de la recta y v ( t ) la componente de la velocidad en dicha dirección, se cumple en todo instante
a) Determinar la aceleración en cada punto. ¿Qué tipo de movimiento efectúa la partícula? b) Si en t = 0 la partícula se encuentra en x = x 0, ¿cuál es su posición en cualquier instante posterior?
Solución:
La aceleración la obtenemos derivando la velocidad respecto al tiempo , lo cual se consigue aplicando la regla de la cadena,
pero la derivada de la posición respecto al tiempo es la propia velocidad, por lo que
La aceleración es por tanto constante y el movimiento es uniformemente acelerado.
2.- Supóngase el movimiento de un proyectil que se caracteriza por poseer una aceleración constante
una posición inicial nula () y una velocidad inicial v 0 que forma un ángulo α con la horizontal.
a) Determinar el vector de posición, la velocidad y la aceleración en cada instante. b) Calcular la celeridad y el vector tangente en el instante inicial, en el instante en que se encuentra a mayor altura y en el momento en que vuelve a impactar con el suelo. c) Hallar la aceleración tangencial y la aceleración normal, así como el vector unitario normal en los tres instantes anteriores. d) Calcular el radio de curvatura y el centro de curvatura en el punto más alto de la trayectoria. e)
Para este mismo punto, hallar las componentes intrínsecas de la velocidad y la
aceleración, así como el radio de curvatura, si , y.
3.- Una barra rígida AB de longitud L se mueve en un plano vertical OXY , manteniendo su extremo A articulado en un punto del eje horizontal de coordenadas , y verificando θ ( t ) = 2ω t , con y siendo ω = cte. Un hilo inextensible de longitud 2 L tiene uno de sus
extremos conectado al origen del sistema de referencia (punto O ), mientras que del otro cuelga una partícula P que mantiene al hilo siempre tenso. El hilo se apoya sobre una pequeña polea de radio despreciable situada en el extremo B de la barra, de forma que el tramo permanece siempre paralelo al eje OY (ver figura). Se pide:
a) Ecuación de la trayectoria del punto P ,. b)
Instante del tiempo tM en que la partícula alcanza su
altura máxima.
c) Radio de curvatura de la trayectoria seguida por P , en el instante considerado en el apartado anterior.
Solucion:
La posición del punto P puede escribirse como suma de tres vectores
donde
y
El vector es vertical hacia abajo y con un módulo igual a
siendo
Por tanto
y el vector de posición buscado es
En función del tiempo la trayectoria es
El instante de máxima altura se alcanza en el momento en que la componente vertical de la velocidad se anula.
La velocidad en cada instante es
La componente y se anula cuando
En este caso conocemos la relación entre la componente vertical de la aceleración y la coordenada correspondiente
que nos dice que en la coordenada y experimenta un movimiento armónico simple, con solución
Las constantes A y β las obtenemos de las condiciones iniciales. Sabemos que inicialmente la partícula se encuentra en y = b y su velocidad inicial es nula, por lo que
de donde
y la coordenada y en cada instante es
La coordenada x la obtenemos de la ecuación de la parábola
Aplicando relaciones trigonométricas, queda
que nos dice, que la partícula también oscila armónicamente en la dirección horizontal, pero con frecuencia doble que en la vertical.
El vector de posición instantánea es
A partir de la posición obtenemos la velocidad
Volvemos a derivar respecto al tiempo, para obtener la aceleración
La siguiente posición de reposo se alcanza cuando la velocidad vuelve a ser nula. Separando las componentes de la velocidad
Estas dos componentes se anulan para
y la posición en ese instante es
que es la posición simétrica de la inicial respecto al eje de la parábola.
6.- Una partícula gira alrededor de un eje que pasa por el origen de coordenadas y está orientado según la dirección y el sentido del vector. La aceleración angular de este movimiento es constante y de módulo 1 rad/s². La velocidad angular inicial es nula. Si en la partícula se encuentra en calcular, para este instante
a) La velocidad y la aceleración. b) Las componentes intrínsecas de la aceleración. Solución:
La velocidad de una partícula que describe un movimiento circular en torno a un eje puede escribirse en la forma
siendo un punto del eje de giro (no necesariamente el centro de la circunferencia). De acuerdo con el enunciado, podemos tomar este punto como el origen de coordenadas
La velocidad angular la hallamos sabiendo que la aceleración angular es constante (se trata de un movimiento uniformemente acelerado)
La aceleración angular (suponiendo que su sentido es el mismo que el del vector ) es
por lo que en la velocidad angular vale
Multiplicando vectorialmente por el vector de posición obtenemos la velocidad
El vector posición de un punto, en función del tiempo, viene dado por:
r (t)= t· i + (t^2 +2) j (S.I.)
Calcular:
a) La posición, velocidad y aceleración en el instante t= 2 s.;
b) El ángulo que forman el vector velocidad y aceleración en el instante t= 2 s.;
c) La aceleración media entre 0 y 2 segundos.
Sol: r (2)= 2 i + 6 j m; v (2)= i + 4 j m/s; a (2)= 2 j m/s 2 ; 14º; a = 2 j m/s
