¡Descarga Problemes biologia y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Exercicis de Matem`atiques Biologia. 2013/
Funcions d’una variable. Derivades. C`alcul integral
- Donada la funci´o f (x) = x^3 + 5x − 4, calculeu f (2), f (−2), f (0) i f (
- Sigui f (x) = sin( x− 2 π), calculeu f (0), f (3π), f (3π/2) i f (5π/3).
- Calculeu g(a), g
a
g(a)
, g(a^2 ), g(a)^2 , eg(a), g(e^2 a),
per a cadascuna de les funcions:
(a) g(x) = (^) x (^21) +3. (b) g(x) = (^1) x. (c) g(x) = ln( (^) x^12 ).
- Representeu gr`aficament la funci´o valor absolut: f (x) = | x |.
- Trobeu el domini i dibuixeu la gr`afica de les seg¨uents funcions: (a) y = 3x + 1 (b) y = 3x + 2 (c) y = x^2 (d) y = 2x^2 (e) y = x^2 + 2 (f) y = x^3 (g) y = (x + 1)^3 (h) y =
−x (i) y =
| x | (j) y = (^1) x (k) y = (^) x−^11 (l) y = ln x (m) y = ex^ (n) y = e−x
- Calculeu l’equaci´o d’una recta que passi pels punts de coordenades (2, 3) i (− 1 , 0).
- Calculeu l’equaci´o d’una par`abola (y = ax^2 + bx + c) que passi pels punts (3, 0) i (− 1 , 0). Podeu trobar-ne d’altres?
- Per a cadascuna de les funcions que segueixen calculeu els valors x tals que f (x) = 9. En quins punts la gr`afica de f talla la recta horitzonal y = 4?
(a) f (x) = (^1) x. (b) f (x) =
3 x − 2. (c) f (x) = 3
3 x^2 − 11.
- Calculeu tots els valors de x tals que f (x) = 0, en cas que hi hagin. El mateix per f (x) = 1 i f (x) = −1. Podeu determinar els valors de a tals que l’equaci´o f (x) = a t´e una ´unica soluci´o? (i) f (x) = 2x − 9. (ii) f (x) =
3 x − 2
. (iii) f (x) = 4 − 7 x^2. (iv) f (x) = x^3. (v) f (x) = +
x. (vi) f (x) = ln |x|.
- Calculeu la suma, producte i quocient de les seg¨uents parelles de funcions:
(a) f (x) = 3x^2 i g(x) = (^2) x^1 − 3. (b) f (x) =
x + 3 i g(x) =
x + 3. (c) f (x) = | x | i g(x) = −5.
- Calcules les composicions f ◦ g i g ◦ f de les parelles de funcions de l’exercici anterior.
- Calculeu els seg¨uents l´ımits, en cas que existeixin:
lim x→ 0 +
x) lim x→− 6 +
x + 6 + 6) lim x→ 3 −
| x − 3 | x − 3
) lim x→ 8 −
x − 8
- Calculeu els seg¨uents l´ımits, en cas que existeixin:
lim x→ 0
x^2 + 2x 7 x^2 − x
lim x→ 1
(x^3 − x^2 − x + 1)(x − 1) x^2 + 3x − 4
- Calculeu els seg¨uents l´ımits, en cas que existeixin:
lim x→∞
x^2 + 2 3 x^2 − x − 1
lim x→∞
x^3 − x^2 + 1 x^2 + 3x
lim x→∞
5 x^2 + 20 x^3 + 3
- El nombre de bacteris en una placa de Petri ve donat per B(t) = 10000e^0.^1 t^ on t es mesura en hores.
a) Quants bacteris hi ha presents a t = 0, 1 , 2 , 3 i 4? b) Trobeu l’instant t en el qual el n´umero de bacteris assoleix el valor 100000.
- Una granja de conills t´e ara mateix 27 exemplars. Segons l’experi
encia del seu propietari, aquesta quantitat es duplica cada any. Quants anys haura d’esperar per tenir 100000 conills? - Per mesurar la temperatura es solen usar tres escales de mesura diferents, Farenheit, Celsius i Kelvin, que estan relacionades linealment. Els graus Celsius estableixen els 0oC com a temperatura de congelaci´o de l’aigua i els 100oC com la temperatura d’ebullici´o (tot aix
o a una atmosfera de presi´o). En l’escala Farenheit, aix`o passa als 32oF i als 212oF respectivament. Respecte als graus Kelvin, aquests estableixen els 0oK al m´ınim de temperatura possible o zero absolut. Aquest l´ımit inferior de la temperatura es situa als − 273. 15 oC. A m´es, l’increment d’un grau Kelvin representa el mateix increment en graus Celsius.
(a) Escriu les equacions que relacionen les temperatures Kelvin i Farenheit repecte a l’escala Celsius i fes les gr`afiques corresponents. (b) A quina temperatura coincideixen els graus Celsius amb els graus Farenheit?
- En un cultiu de laboratori hi trobem 18000 bacteris. Aquests creixen durant 2 dies (48h) a una velocitat de 250 bacteris per hora. A partir d’aquest moment deixen de cr´eixer i comencen a morir a una velocitat de 180 bacteris per hora fins que desapareixen tots.
(a) Quin ´es el nombre maxim de bacteris que arribem a tenir? (b) En quin moment tornem a tenir la poblaci´o inicial de 18000 bacteris? (c) I en quin moment desapareixeran totalment? (d) Dibuixeu una grafica que representi la poblaci´o de bacteris en funci´o del temps.
- Als vertebrats, els embrions i els joves tenen caps molt grans en comparaci´o amb la mida total del cos. A mesura que envelleixen, les proporcions canvien. Per exemple, la relaci´o entre la longitud del crani i la longitud del cos disminueix. Aix
o no passa nom´es pels vertebrats vius sin´o tamb´e pels fossils. Els Ictiosaures s´on un grup de reptils marins. Tenien forma de peix i la seva mida era comparable a la dels dofins. En un estudi realitzat sobre 20 esquelets fossils es va trobar la relaci´o alom`etrica S = 1. 162 B^0.^93 entre la mida del crani S (en cent´ımetres) i la longitud de l’espina dorsal B (en cent´ımetres).
a) Feu transformacions adequades per a S i B de manera que la relaci´o resultant sigui lineal. Dibuixeu la relaci´o transformada i obteniu el pendent i l’ordenada a l’origen. b) Comproveu que l’equaci´o alom`etrica confirma que els exemplars joves tenen caps relativament grans (calculeu la relaci´o de S a B per a diferents valors de B, per ex. 10 cm, 100 cm, 500 cm i compareu).
- Quan les plantes creixen a intensitats altes s’observa sovint que el n´umero de plantes disminueix a mesura que el pes creix (degut al propi creixement de la planta). Si es dibuixa el logaritme del pes total en sec de la biomassa no soterrada per planta, log w, en funci´o del logaritme de la densitat de supervivents, log d (en base 10), resulta una l´ınia recta de pendent − 32. Obteniu l’equaci´o que relaciona w amb d suposant que w = 1g quan d = 10^3 m−^2.
- Als models matem`atics que descriuen la interacci´o entre preses i predadors t´ıpicament es considera que el n´umero de preses devorades per predador creix amb la densitat de preses. A la versi´o m´es simple, el n´umero de captures de preses per cada predador ´es proporcional al producte del n´umero total de preses i el per´ıode de temps durant el qual els predadors cacen. Es a dir, si diem´ N al
- Determineu la derivada de les seg¨uents funcions:
(a) f (x) =
x^3 − 1 x^3 + 1
(b) f (x) =
(3/ 5 x) − 1 (2/x^2 ) + 7
(c) f (x) =
3 x + 8 2 x + 5
(d) f (x) = sin(3x + 1) − t x^2 − 1
(e) f (x) = ln(x^2 + e−x),
(f) f (x) = (
(^23) − x
(^23) )
(^32) , (g) f (x) = arctan(ln x).
- La funci´o r(N ) = (^) kaN+N (on a > 0, k > 0) es fa servir sovint per a descriure la velocitat de creixement per c
apita d’un organisme, quan la velocitat de creixement depen de la concentraci´o d’algun nutrient N i es satura per a concentracions de nutrient suficientment grans.
a) Calculeu limN →∞ r(N ) (nivell de saturaci´o). b) Feu un esbos de la grafica de r(N ) (observeu que la velocitat de creixement creix amb la concentraci´o del nutrient N , per`o doblar la concentraci´o del nutrient t´e un efecte molt m´es gran sobre la velocitat de creixement per a valors petits de N que per a valors grans).
- La velocitat d’una reacci´o enzim
atica es descriu sovint mitjan¸cant l’equaci´o de Michaelis-Menten v = (^) kax+x on v ´es la velocitat de la reacci´o, x ´es la concentraci´o de substrat, a ´es la velocitat maxima de la reacci´o i k ´es la concentraci´o de substrat a la qual la velocitat ´es la meitat de la velocitat maxima. Aquesta corba descriu la forma en que la velocitat de reacci´o dep`en de la concentraci´o de substrat.
a) Comproveu que quan x = k, la velocitat de reacci´o ´es la meitat de la velocitat maxima. b) Comproveu que la concentraci´o de substrat s’ha d’augmentar en 81 vegades per tal que la velocitat canvi¨ı des del 10% fins al 90% de la velocitat maxima, independentment del valor de k.
- Un globus s’est`a inflant de forma que el seu radi en cent´ımetres al cap de t segons ´es r(t) = 3
t. Calculeu a quina velocitat esta canviant el radi, el volum i l’area de la superf´ıcie d’aquest globus quan t = 8.
- Determineu els intervals de creixement i decreixement de la funci´o f (x) = (^) x 2 x++1x+1 en el seu domini i el seus m´ınims i m`axims locals si en t´e.
- Suposem que l’al¸cada y (en metres) d’un arbre ´es funci´o de l’edat de la seva edat x (en anys), i ve donada per y = 468e−^
10 x (^) , x > 0.
a) Demostreu que l’al¸cada de l’arbre augmenta amb l’edat. Quina ´es la maxima al¸cada que pot assolir? b) Estudieu la concavitat/convexitat de la grafica de l’al¸cada.
- Les equacions alom
etriques descriuen la relaci´o d’escala entre les mesures, com el pes d’un arbre en funci´o del seu diametre o la longitud d’un crani en funci´o de la longitud de l’espina dorsal. Sovint, aquestes equacions s´on de la forma y = bxa^ on b ´es una constant positiva i a una constant que pot ser positiva, negativa o zero. Suposem que y i x s´on mesures positives. Per a quins valors de a ´es y una funci´o creixent de x pero de manera que la relaci´o yx disminueixi amb x? Per a aquests valors ´es y convexa o concava respecte x? - Una plaga de cucs que desfolia els pins del Canad
a (Choristoneura fumiferana) t´e als ocells com a depredadors. Un model de la velocitat de depredaci´o per capita ´es f (N ) = (^) k 2 aN+N 2 on N ´es la densitat de cucs i a i k s´on constants positives. Trobeu la densitat de cucs que maximitza la velocitat de depredaci´o. - Es vol construir un dip
osit d’acer en forma de cilindre circular i semiesferes en els extrems per emmagatzemar gas propa. El cost per metre quadrat dels extrems esferics ´es el doble que el de les parets cil´ındriques. Quines dimensions s´on les m´es economiques si el volum desitjat ´es de 10 metres c´ubics?
- Sigui f (N ) la collita d’una explotaci´o agr
aria de blat de moro en funci´o del nivell de nitrogen al terra N. Un model d’aquesta situaci´o pot ser f (N ) = (^) 1+NN 2 per a N ≥ 0 (on N es mesura en les unitats apropiades). Calculeu el nivell de nitr`ogen que maximitza la collita. - Una empresa pot produir una gran quantitat d’articles per setmana. L’experi
encia pero demostra que es poden vendre n articles setmanals a un preu p = 111 − 0. 2 n euros per unitat. D’altra banda el cost de produir n articles ´es C = 600 + 10n + n^2. Quants articles ha de produir la f`abrica per optimitzar els beneficis? - La corba log´ıstica representa el creixement d’una certa poblaci´o en funci´o del temps i t´e per equaci´o y = (^) 1+kbeat on t denota el temps, y el nombre d’individus de la poblaci´o a l’instant t i k, a i b tres constants que satisfan k > 0, b > 0 i a < 0. Representeu gr`aficament aquesta corba per als valors k = 4, b = 2 i a = −1 (tot i que nom´es t´e sentit per t positives representeu-la per a t ∈ R).
- Calculeu el comportament de la funci´o f (x) =
x^3 + ex 2 x^3 − 2000
en els extrems del seu domini (l´ımits quan x s’acosta a +∞ o −∞ i als punts de discontinuitat). Determineu les as´ımptotes de f.
- Representeu gr`aficament les corbes
(a) f (x) = x
4 − x^2. (^) (b) y = x 3 x^2 − 1
. (c)^ y^ = ln(x
(^2) − 3 x + 2).
- Considereu la funci´o f (x) = arctan(x) +
x x − 2 Determineu el domini de definici´o de f i trobeu les seves as´ımptotes, verticals, horitzontals i obliques, si en t´e. Trobeu els intervals de creixement i de decreixement de f i els seus extrems relatius. Feu una representaci´o gr`afica aproximada de la funci´o.
- Es considera la funci´o f (x) =
x^2 + 1 x^2 − 1
(a) Determineu el domini de definici´o de f i les as´ımptotes verticals, horitzontals o obliq¨ues de la funci´o. (b) Calculeu la primera derivada de f i determineu els intervals de creixement i de decreixement aix´ı com els punts de maxim o m´ınim locals, en cas d’haver-n’hi. (c) Calculeu la derivada segona de f i determineu els seus punts d’inflexi´o, en cas d’haver-n’hi. (d) Amb les dades obtingudes, feu un esb´os de la grafica de la funci´o f.
- Calculeu les seg¨uents primitives:
∫ (x − 1)^2 dx
1 + x
dx
(3 − 2 x)x
dx
x^2 + 5x + 3 x^2 + x + 1
dx
∫ xe−x^ dx
tan(x)
dx
x^2 ln(x) dx
cos(t) sin^3 (t) dt ∫ cos^3 (x) dx
(x^2 + 1) sin x dx
- Considerem una poblaci´o de de la qual en sabem la mida al temps t, N (t) i que creix a una velocitat donada per N ′(t) = e−t. Sabent que la poblaci´o inicial ´es N (0) = 0,
(a) Determineu expl´ıcitament N (t). (b) Calculeu el canvi en la poblaci´o entre t = 0 i t = 5.
- L’empresa GespaMax ven tres tipus de fertilitzant per a la gespa que s´on: GM-24-4-8, GM-21-7-12 i SL-17-0-0. Les xifres indiquen els percentatges de nitrogen, fosfat i pot
asi respectivament. Suposem que la nostra gespa requereix 500gr de nitrogen 100gr de fosfat i 180gr de potasi pels 100m^2 de que disposem. Quina quantitat de cadascun dels fertilitzants haurem de comprar? - Considereu les matrius A =
i B =
. Trobeu AB.
- Sigui A =
, B =
, calculeu AB i BA.
- Determineu dues matrius quadrades d’ordre 2 X i Y tals que
2 X − 5 Y =
− X + 2Y =
- Calculeu els seg¨uents determinants:
(i)
, (ii)
, (iii)
a b c c a b b c a
- Decidiu si les seg¨uents matrius s´on invertibles i, si ho s´on, doneu la inversa.
(a)
(^) (b)
(^) (c)
(^) (d)
- Sigui A =
a b c d
, ad − bc 6 = 0. Calculeu A−^1.
- Digueu si els seg¨uents sistemes d’equacions lineals s´on compatible determinats, compatibles inde- terminats o incompatibles.
(a)
− 3 x + 2y + 3z = 1 4 x − 4 y + z = 5 x + 3z = − 2
(b)
3 x − y − 2 z = 6 − 4 x − 2 y + z = − 1 x + 11y + 5z = 4
(c)
7 x − 3 y + z = 45 3 x + 2y + 7z = 16 − 6 x + 8y + 10z = − 44
- Trobeu tots els valors del par`ametre a tals que el seg¨uent sistema d’equacions lineals no t´e soluci´o
x + z = 1 2 ax + 3y + z = 2 + a ax + 3ay = a
- Estudieu en funci´o de a i b quan el sistema seg¨uent ´es incompatible, compatible determinat o compatible indeterminat. (^)
x + 2 z = a ax + y = b x + 2 y − az = 2
- Sigui A =
. Trobeu una matriu invertible P i una diagonal D de manera que
A = P DP −^1.
- Es considera la matriu A =
(a) Calculeu els valors propis i els vectors propis de la matriu A. (b) Calculeu A^11.
- Trobeu els valors propis i vectors propis de la matriu A =
. Quant val A^55
- Calculeu An^ per a les seg¨uents matrius:
(a) A =
. (b) A =
- Sigui xn+1 = rxn(1 − xn) l’equaci´o log´ıstica discreta que determina l’evoluci´o d’una certa esp`ecie, on xn ∈ [0, 1] ´es la densitat de poblaci´o de la n-´esima generaci´o. Calculeu x 0 , x 1 ,... , x 20 i dibuixa xt en funci´o de t en els casos de x 0 i r seg¨uents:
(a) r = 2 i x 0 = 0.2, x 0 = 0.1, x 0 = 0.9. (b) r = 3.1 i x 0 = 0.5, x 0 = 0.1, x 0 = 0.9. (c) r = 3.8 i x 0 = 0.5, x 0 = 0.1, x 0 = 0.9.
Models de poblacions lineals
- Considereu un model de poblaci´o estructurada en 2 grups
jn = poblaci´o de joves l’any n, an = poblaci´o d’adults l’any n.
Tenint en compte que cada any succeeix el seg¨uent:
(a) Un 30% dels joves esdev´e adult i la resta mor. (b) Cada adult d´ona lloc a 3 joves m´es. (c) Un 20% dels adults mor.
Plantejeu un model en forma matricial (´es a dir, una f´ormula amb matrius) per a calcular el valor de (an, jn) en funci´o de la poblaci´o inicial (a 0 , j 0 ). Si les condicions inicials s´on j 0 = 0, a 0 = 100, quina ser`a la situaci´o al cap de 2 anys?
- Considerem un model an
aleg al de l’exerici anterior on denotem per α la supervivencia dels joves, β la superviv`encia dels adults i k la taxa de reproducci´o d’aquests ´ultims. A m´es, denotem per p 0 la poblaci´o inicial p 0 = (j 0 , a 0 )t. En els seg¨uents casos trobeu el nombre de femelles joves i adultes despr´es de 1, 2, 19 i 20 anys, i determineu les relacions a llarg termini entre les proporcions de joves i adults, i entre la poblaci´o total d’un any per l’altre:
(a) p 0 =
; k = 3, α = 0.4, β = 0.6.
(b) p 0 =
; k = 1, α = 0.3, β = 0.4.
(c) p 0 =
; k = 4, α = 0.7, β = 0.8.
- Considerem un model d’una piscifactoria en el qual distingim entre alevins i adults. Suposem que cada any passa el seg¨uent:
- el 10% dels alevins moren i la resta esdevenen adults,
- la reproducci´o d´ona lloc a 10 alevins per cada adult,
- el 80% dels adults es treuen fora de la piscifactoria.
(a) Si xn i yn denoten respectivament la poblaci´o d’alevins i adults a l’any n, quina ´es la matriu que d´ona
xn+ yn+
a partir de
xn yn
(b) Si es comen¸ca amb 200 parelles de peixos adults, compareu les poblacions d’alevins i adults al cap de tres, quatre i cinc anys, i calculeu la relaci´o entre les poblacions d’alevins i adults a llarg termini. (c) Pot succeir que l’´ındex de creixement a llarg termini es faci menor que 2 si es treu una proporci´o m´es alta de peixos adults? Quin efecte tindria treure nom´es un 70% dels peixos adults per any? I treure’n un 90%?
- En un estudi demogr
afic fet a un pa´ıs llunya s’ha obtingut que el 75% de la poblaci´o aturada al comen¸cament de l’any troba feina durant l’any i que el 5% de la poblaci´o amb feina a l’inici de l’any la perd al llarg de l’any. Suposem que aquesta situaci´o es mant´e constant. Siguin an la poblaci´o aturada al final de l’any n i en la poblaci´o amb feina al final de l’any n. Siguin, respectivament, a 0 i e 0 les poblacions d’aturats i amb feina a l’inici del primer any. Considerem la matriu A =
a) Justifiqueu la f´ormula
an en
= A
an− 1 en− 1
i expresseu
an en
en funci´o de A i de
a 0 e 0
b) Diagonalitzeu la matriu A i calculeu A^10. c) Trobeu a 10 i e 10 sabent que a 0 = 12.000 i e 0 = 176.000.
- L’evoluci´o d’una poblaci´o dividida en joves no f
ertils i adults fertils segueix l’equaci´o:
( jn+ an+
= A
jn an
on A = ( (^00) .2 0^7 ..^55 ) i jn, an denoten, respectivament, el nombre de joves i d’adults al final de l’any n.
(a) Trobeu els valors propis i una base de vectors propis de la matriu A. (b) Si la poblaci´o actual ´es p 0 = ( 500100 ), quina sera la poblaci´o d’aqu´ı a deu anys? (c) A la llarga, la poblaci´o creixera, decreixera o es mantindra estable?
- Suposem una poblaci´o dividida en tres grups d’edat de manera que el 20% de les femelles d’edat 0 i el 70% de les femelles d’edat 1, sobreviuen fins al final de la seg¨uent estaci´o reproductiva (no hi ha superviv
encia m´es enlla del tercer any). Suposem a m´es que les femelles d’edat 1 tenen un promig de 3.2 cries femella i que en les d’edat 2 aquest promig ´es de 1.7. Si inicialment la poblaci´o consta de 2000 femelles d’edat 0, 800 d’edat 1 i 200 d’edat 2, planteja un model matricial que descrigui la poblaci´o a l’any n + 1 en funci´o de la poblaci´o a l’any n. Determina la poblaci´o al cap de un, dos i tres anys.
Equacions diferencials
- Digueu si les fam´ılies de funcions seg¨uents s´on soluci´o de la corresponent equaci´o diferencial.
(a) y(x) = cex^ de l’equaci´o y′^ − y = 0. (b) y(x) = 2e−^2 x^ + 13 ex^ de l’equaci´o y′^ + 2y = ex. (c) y(x) = 8 ln(x) + c de l’equaci´o y′^ = (^8) x.
- Per a les seg¨uents equacions diferencials, trobeu primer la soluci´o general i despr´es la soluci´o par- ticular que compleix les condicions inicials donades.
(a) y′^ = 2x, x 0 = 1, y 0 = 2. (b) y′^ = xe−x, x 0 = 0, y 0 = 1.
- Resoleu les seg¨uents equacions diferencials de variables separades:
(a) y′^ = 1 − x 1 + y
(b) y′^ = x^2 ex y − a
(c) y′^ = 1 + x^2 1 + y^2
(d) y′^ = x
1 − y^2
- Un cultiu de bacteris es reprodueix amb velocitat directament proporcional a la poblaci´o existent, ´es a dir, dxdt = kx. Se sap que en un cert moment la poblaci´o ´es de un mili´o de bacteris.
(a) Expresseu la poblaci´o en funci´o del temps. (b) Calculeu el temps necessari per a que la poblaci´o es quadrupliqui. (c) Calculeu el factor d’augment de poblaci´o en vuit dies.
- En un dels seus casos, Sherlock Holmes es va trobar amb l’assassinat del forense d’un petit hospital. La sala de dissecci´o es trobava a una temperatura constant de 5 graus cent´ıgrads quan van assassinar el metge. L’ajudant va entrar a la sala a les deu del mat´ı i el cos mort es trobava a 23 graus. La policia va arribar just al migdia i en aquell moment la temperatura del cos havia baixat fins a 18 .5 graus. Amb aquestes dades Holmes va ser capa de calcular l’hora en la que es va cometre l’assassinat. Podeu explicar com ho va fer i dir quina hora era? (Indicaci´o: sabem que la velocitat amb la que es refreda un cos ´es proporcional a la difer`encia entre la temperatura del cos i la temperatura ambient)
- En una reacci´o qu´ımica un cert compost es transforma en una altre subst
ancia a un ritme propor- cional a la quantitat no transformada. Si inicialment ten´ıem 20 grams de substancia original i 16 grams despr´es d’una hora, en quin moment s’haur`a transformat el 75% del compost? - Sigui N (t) el nombre d’individus d’una certa poblaci´o. Suposem que N (t) satisf`a l’equaci´o diferen- cial dN dt
= 0. 34 N
N
amb N (0) = 50
Resoleu aquesta equaci´o diferencial i trobeu el nombre d’individus d’aquesta poblaci´o a llarg termini (´es a dir, calculeu limt→∞ N (t)).
- Sigui N (t) el nombre d’individus d’una certa poblaci´o. Suposem que N (t) satisf`a l’equaci´o diferen- cial dN dt
= 1. 5 N (1 −
N
a) Resoleu l’equaci´o diferencial quan N (0) = 10. b) Resoleu l’equaci´o diferencial quan N (0) = 90. c) Dibuixeu les solucions de a) i b) al mateix sistema de coordenades. d) Calculeu limt→∞ N (t) per a les solucions de a) i b).
- Dues subst
ancies qu´ımiques A i B es combinen per formar una substancia qu´ımica C. La velocitat de la reacci´o ´es proporcional al producte de les quantitats instantanies de A i B que no s’han convertit en la substancia C. Inicialment hi han 40 grs d’A i 50 grs de B i per cada gram de B es fan servir 2 grs d’A. S’observa que es formen 10 grs de C en 5 minuts. Quina ´es la quantitat que es formara en 20 minuts? Quina ´es la quantitat l´ımit de C despr´es de molt temps? Quina ´es la quantitat d’A i de B que quedara despr´es de molt temps? - Considerem un locus amb dos al.lels A 1 i A 2 en una poblaci´o diploide amb aparellament aleatori. Es´ a dir, cada individu de la poblaci´o pot ser dels tipus A 1 A 1 , A 1 A 2 o A 2 A 2. Sigui p(t) la freq¨u
encia de l’al.lel A 1 i q(t) la freq¨uencia de l’al.lel A 2 en la poblaci´o a l’instant t (noti’s que p(t) + q(t) = 1). Sigui ωij l’aptitud de l’al.lel AiAj i suposeu que ω 11 = 1, ω 12 = 1 − 2 s i ω 22 = 1 − s on s ´es una constant que satisfa 0 < s ≤ 1. ´Es a dir, l’aptitud de l’heterozigot A 1 A 2 esta a mig cam´ı entre les aptituds dels dos homozigots, i el tipus A 1 A 1 ´es el m´es apte. Si s ´es petit, es pot demostrar que es compleix l’equaci´o diferencial dp dt
sp(1 − p) amb p(0) = p 0.
a) Trobeu la soluci´o general de l’equaci´o diferencial. b) Suposem que p(0) = 0.1 i s = 0.01. Quant de temps ha de passar fins que p(t) = 0.5? c) Calculeu limt→∞ p(t). Interpreteu el resultat.
- Un dip
osit cont´e inicialment 200g d’una substancia t`oxica dissolta en 1000m^3 d’aigua. Es perden per filtraci´o 0. 5 m^3 de dissoluci´o al dia i, d’altra banda, s’evaporen 0. 1 m^3 d’aigua, tamb´e al dia.
(a) Justifiqueu l’equaci´o diferencial seg¨uent per a la quantitat en grams x(t) de substancia que queda al diposit al temps t < 1666 .6 dies.
x′(t) = −
- 5 x(t) 1000 − 0. 6 t
, x(0) = 200
(b) Useu l’equaci´o anterior per calcular la quantitat de ver´ı que s’haura filtrat al cap de 3 anys i la concentraci´o al diposit (en g/m^3 ) en el mateix moment.
- En un diposit que cont´e 200 l d’aigua es dissolen 30 grs de sal. Posteriorment es bombeja una dissoluci´o d’aigua i sal, amb una concentraci´o de 1 gr de sal per litre d’aigua, amb una velocitat de 4 l per minut. A la vegada la soluci´o, adequadament barrejada, es bombeja fora amb la mateixa velocitat. Trobeu el n´umero de grams de sal que hi ha al diposit en un instant qualsevol.
- Resoleu les seg¨uents equacions diferencials lineals:
(a) y′^ −
y x
= x (b) y′^ + y = e^3 x^ (c) y′^ + 2xy = x^3 (d) y′^ = − 2
y x
− 2 x
- Es bombeja cervesa amb un contingut d’alcohol del 6% per litre dins d’un diposit que inicialment cont´e 400 l de cervesa amb un 3% d’alcohol. La cervesa es bombeja a l’interior amb una velocitat de 3 l per minut, mentre que el l´ıquid barrejat es bombeja a l’exterior amb una velocitat de 4 l per minut. Trobeu el n´umero de litres d’alcohol que hi han dins del diposit en un instant qualsevol. Quin ´es el percentatge d’alcohol que hi ha en el diposit despr´es de 60 minuts? Quant trigar`a a buidar-se el diposit?
