Problemes MD, Ejercicios de Ingeniería Infórmatica

¡Descarga Problemes MD y más Ejercicios en PDF de Ingeniería Infórmatica solo en Docsity!

Matem`atica Discreta

Exercicis

Curs 2012/

Grau en Inform`atica

Escola d’Enginyeria, UAB

Conceptes previs

1. Donats dos enters x, y ∈ Z, diem que estan relacionats si x − y ´es un nombre parell. Demostreu que aquesta relaci´o ´es d’equivalencia i digueu quines classes t´e el conjunt quocient. Generalitzeu el problema considerant que x esta relacionat amb y si x − y ´es m´ultiple d’un nombre fixat n ∈ Z.
2. Siguin A i B dos conjunts i siguin f : A −→ B i g : B −→ A dues aplicacions. Definim la composici´o de totes dues, f ◦ g com (f ◦ g)(a) = g (f (a)), per a tot element a ∈ A. Justifiqueu si s´on certes o falses les seg¨uents afirmacions:

(a) f ◦ g ´es injectiva si g ´es bijectiva i f exhaustiva.

(b) f ◦ g ´es injectiva si g ◦ f ´es injectiva.

(c) f ◦ g ´es injectiva si g ´es injectiva.

(d) Si A = B i f ´es injectiva, llavors f ´es bijectiva.

3. Siguin k, n ∈ N amb k ≤ n. Demostreu les igualtats:

(i)

n k

n n − k

(ii)

n k

n − 1 k

n − 1 k − 1

4. Demostreu la f´ormula del binomi de Newton:

(x + y)n^ =

∑^ n

k=

n k

xkyn−k^ ∀x, y ∈ R.

Utilitzeu-la per demostrar la igualtat:

∑^ n

k=

n k

= 2n.

5. Donat un conjunt A = {a 1 ,... , an} identifiquem cada subconjunt seu B ⊆ A amb el seu vector carater´ıstic ~vB = (v 1 ,... , vn) on vi = 1 si ai ∈ B

Fonaments de grafs

1. Sigui G un graf amb n vertexs i m arestes tal que tots els vertexs tenen grau k o k + 1. Demostreu que si G t´e nk vertexs de grau k i nk+1 vertexs de grau k + 1, aleshores

nk = (k + 1)n − 2 m.

2. Es cert que tot graf´ G(V, A) sense lla¸cos amb |V | > 1 cont´e, pel cap baix, dos vertexs que tenen el mateix grau? Per que?
3. Reunits en una conferencia d’alt nivell, els presidents dels estats A, B, C, D, E, F, G i H intenten decidir quin d’ells s’encarregara d’organitzar la propera reuni´o, de vital importancia per aprovar els estatuts d’un projecte com´u de gran transcendencia. Es vol que l’organitzador estigui amb bona sintonia amb el major nombre de presidents d’aquests estats i, per aquest motiu, decideixen escollir com a organitzador el president que s’hagi reunit de manera no oficial m´es vegades amb altres presidents en el darrer any. Comen¸ca el recompte i A diu que s’ha reunit amb 6 dels presents, B, C, D i E afirmen que s’han reunit amb 5, F amb 2, i G i H amb 1. Quan tot sembla indicar que l’organitzador sera A, el president B afirma que algun dels presents no ha dit la veritat i, per tant, s’hauria de repetir el recompte especificant les trobades que ha fet cadasc´u. En aquest moment, el president A abandona la reuni´o visiblement molest i acusa el president B de dubtar de la seva honorabilitat i conspirar contra la integritat del seu pa´ıs. Un cop ha abandonat la sala, B assegura a la resta del presents que pot demostrar que algun dels presidents no deia la veritat i, per a confirmar-ho, els demana que diguin si van reunir-se amb A. Efectivament, nom´es ell, G i H s’havien reunit amb A el darrer any i, per tant, aquest no havia fet sis reunions, sin´o tres. Els altres presidents, sorpresos per la capacitat de B, decideixen que aquest organitzi la reuni´o. El president B accepta l’encarrec amb un lleu somriure interior.
   1. Podia B demostrar realment que algun dels presents no deia la veritat?
   2. Creus que B ´es honrat quan accepta organitzar la reuni´o?
4. Determineu si existeix un graf que tingui un vertex de grau 5, un de grau 4, un de grau 1, dos vertexs de grau 3 i tres de grau 2.

5. Sigui G(V, A) el graf simetric i connex on V esta format per tots els vectors binaris de k coordenades (sense cap codificaci´o repetida), de manera que dos v`ertexs s´on ve¨ıns si, i nom´es si, les codificacions corresponents difereixen en una coordenada exactament. Aquest graf s’anomena un k-cub. Demostreu que
   1. G ´es k-regular
   2. |V ||A| = k 22 k−^1.
6. Un pont ´es una aresta tal que, si s’elimina, el graf passa a tenir m´es components. Demostreu que si tots els vertexs d’un graf simetric G tenen grau parell aleshores G no cont´e cap pont.
7. Digueu quants grafs hi ha amb 4 vertexs, llevat d’isomorfismes. I amb 5 vertexs i 3 arestes? I amb 6 v`ertexs i 4 arestes?
8. Donats dos grafs G 1 i G 2 , demostreu que G 1 i G 2 s´on isomorfs si i nom´es si ho s´on els seus complementaris G 1 i G 2.
9. Un graf ´es autocomplementari si ´es isomorf al seu graf complementari.

(a) Dibuixeu un graf amb 4 vertexs i un amb 5 vertexs que siguin auto- complementaris.

(b) Demostreu que si un graf autocomplementari t´e n v`ertexs, aleshores n ≡ 0 o n ≡ 1 (mod 4).

10. Entre les seq¨uencies de nombres que es mostren a continuaci´o hi ha les seq¨uencies de graus dels vertexs corresponents als grafs simetrics G 1 , G 2 , G 3 i G 4. Sabent que no tenen lla¸cos, que G 1 no pot ser connex, que G 2 ´es complet i que G 3 ´es un arbre, assigneu a cada graf la seva seq¨u`encia.

s 1 = 2, 3 , 3 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 s 2 = 1, 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 2 s 3 = 1, 2 , 2 , 3 , 4 , 5 , 5 , 3 s 4 = 1, 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 4 s 5 = 7, 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , 7 s 6 = 3, 3 , 3 , 3 , 4 , 4 , 4 , 8

(c) Trobeu la llista de vertexs visitats utilitzant l’algorisme BFS comen¸cant pel vertex 1.

(d) Trobeu la llista de vertexs visitats utilitzant l’algorisme BFS comen¸cant pel vertex 6.

3. Una pagesa t´e una garrafa de 8 litres plena de vi, i disposa nom´es de dues garrafes buides de 3 i 5 litres respectivament. Per a mesurar de manera exacta una quantitat, l’´unica possibilitat que t´e ´es abocar el contingut d’una garrafa cap a una altra fins que la primera es buida completament o la segona s’omple del tot. Plantegeu en termes de grafs (´es a dir, descriviu quin ´es el graf i quin problema de grafs es vol resoldre) els problemes seg¨uents, indicant la soluci´o, el metode que s’utilitza per a trobar-la i l’ordre en que s’exploren els v`ertexs.

(a) Es vol determinar si ´es possible repartir el vi en dues parts iguals.

(b) Es vol trobar el m´ınim nombre de passos que cal fer per a repartir el vi en dues parts iguals.

(c) L’esfor¸c que cal fer per aixecar una garrafa ´es proporcional a la quan- titat de vi que cont´e. Es vol determinar la manera de repartir el vi en dues parts iguals de manera que l’esfor¸c total per a aconseguir-ho sigui el menor possible.

4. Una empresa su¨ıssa d’aviaci´o va ampliar l’estiu passat el seu negoci, obrint vols diaris entre 6 ciutats. Aquesta taula d´ona les dist`ancies entre aquestes 6 ciutats:

Berl´ın Dubl´ın Helsinki Ginebra Praga Palerm Berl´ın − 1530 1430 1139 348 2533 Dubl´ın 1530 − 2665 1570 1819 3440 Helsinki 1430 2665 − 2381 1739 4007 Ginebra 1139 1570 2381 − 948 1990 Praga 348 1819 1739 948 − 2294 Palerm 2533 3440 4007 1990 2294 −

(a) Degut al mal temps, avui els vols de les seg¨uents l´ınies no s’enlairaran, ni en un sentit ni en l’altre: Praga/Dubl´ın, Praga/Ginebra, Palerm/Helsinki, Palerm/Ginebra, Berl´ın/Dubl´ın i Berl´ın/Helsinki. Utilitza algun dels algorismes que coneixes per trobar la manera d’anar de Dubl´ın a Praga recorrent la m´ınima dist`ancia possible.

(b) L’empresa entra en crisi i ha de tancar algunes l´ınies. Determina quines l´ınies tancaries si es vol mantenir la possibilitat de volar des de qualsevol ciutat a qualsevol altra fent que la dist`ancia total de les l´ınies que es mantenen sigui la menor possible.

5. Set ordinadors estan interconnectats per una xarxa de baixa velocitat. La taula seg¨uent d´ona els temps (en milisegons) que tarden els missatges a rec´orrer cada segment de la xarxa:

Segment (A,B) (A,C) (A,D) (B,C) (C,D) (B,E) (B,F) (D,F) (E,F) (E,G) (F,G) Temps 5 4 4 3 2 4 2 3 2 3 4

L’administrador de la xarxa, situat en el punt C, ha d’enviar diariament missatges a tots els ordinadors. Indicant el tipus d’arbre generador que es vol trobar, el metode utilitzat per a obtenir-lo i els passos seguits, determineu la subxarxa per la que caldria enviar el missatge si es vol minimitzar el temps total que es necessita per a enviar el missatge per la xarxa.

6. La taula seg¨uent recull la dist`ancia (en milles) entre diverses ciutats de l’estat d’Indiana (USA):

Bloomington Evansville Fort Wayne Gary Indianapolis South Bend Evansville 119 −− −− −− −− −− Fort Wayne 174 290 −− −− −− −− Gary 198 277 132 −− −− −− Indianapolis 52 168 121 153 −− −− South Bend 198 303 79 58 140 −− Terre Haute 58 113 201 164 71 196

Es vol construir un sistema de carreteres que comuniqui aquestes set ciutats. Suposant que el cost de construcci´o d’una milla de carretera esta fixat, determineu quines carreteres s’han de construir perque el cost total de la construcci´o sigui m´ınim. La soluci´o ´es ´unica o hi ha m´es d’una configuraci´o de carreteres amb cost total m´ınim? Justifiqueu la resposta.

7. Un viatjant treballa en un petit grup de 7 illes de l’arxipelag malai. Cada dia s’hauria de despla¸car a totes les illes diverses vegades. El bitllet per anar d’una illa a una altra ´es valid per a tot el dia. Aquesta taula mostra el valor del bitllet entre les illes que estan comunicades directament:

Planaritat

1. Hi ha cap graf pla i connex amb tots els v`ertexs de grau 4 i totes les regions delimitades per 4 arestes?
2. Demostreu que tot graf G(V, A) amb |A| < 9 o |V | < 5 ´es pla.
3. Demostreu que en tot graf G(V, A) on |V | > 10 es verifica que G o G ´es no pla. Pot ser que no siguin plans els dos alhora?
4. Demostreu que no hi ha cap graf pla que tingui 5 regions de manera que cada dues regions siguin adjacents.
5. Podem aconseguir que K 6 esdevingui pla eliminant dues de les seves arestes? I si en podem eliminar tres?
6. Sigui G(V, A) pla on la regi´o m´es petita est`a formada per k ≥ 3 arestes. Demostreu que

|A| ≤

k(|V | − 2) k − 2

7. Sigui G un graf pla, connex, amb 16 arestes i tal que el grau de cada vertex no ´es inferior a 4. Quantes regions tindra una representaci´o plana de G?

Grafs eulerians i hamiltonians

1. En els escacs, estudieu si ´es possible determinar un recorregut tancat (circuit) per a un cavall, tal que realitzi damunt del tauler (8 x 8) tots els moviments possibles una vegada (es considera que saltar d’una casella i a una altra j ´es el mateix moviment que fer-ho de la j a la i).
2. Quantes vegades (com a m´ınim) s’ha d’aixecar el llapis del paper per dibuixar la figura sense repetir cap l´ınia? Justifiqueu la resposta en termes de grafs.
3. Determineu un cam´ı euleri`a pel graf seg¨uent:

4. Caracteritzeu els grafs seg¨uents per tal que tinguin circuit euleri`a, ´es a dir, que siguin eulerians.

(a) El graf Tn corresponent a un arbre de n v`ertexs.

(b) El graf complet Kn.

(c) El graf Zn corresponent al circuit de n v`ertexs.

d’una empresa de distribuci´o ha planificat una ruta per tal que el repartidor visiti cada poblaci´o i torni a la central, de manera que el cost de la ruta no supera el 50% del cost de la ruta de cost m´ınim. Quants quilometres cal fer en aquesta ruta? El repartidor decideix que parara a dinar en la primera poblaci´o per la que torni a passar per segona vegada. Podr`a fer-ho?

v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 1 − 15 30 10 − 65 v 2 − 50 30 − − v 3 − 35 − − v 4 − 40 60 v 5 − 50 v 6 −

9. Determineu si el graf seg¨uent ´es hamiltonia. Si ho ´es, assenyaleu el circuit hamiltonia, si no ho ´es, demostreu-ho usant algun criteri general.

Complexitat computacional

1. Demostreu que 2^2 n+c ´es una funci´o de l’ordre O(2^2 n ), on c ´es un nombre real qualsevol.
2. Raoneu les q¨uestions seg¨uents:

(a) P ∈ P =⇒ P ∈ N P?

(b) Si P ∈ N P-Hard, pot passar que P ∈ P?

(c) Es decidible la q¨´ uesti´o: ´es P = N P?

(d) Si P 1 ´es N P–Complet i es pot reduir polinomicament a P 2 , que podem dir de P 2?

3. Digueu si s´on certes o falses les seg¨uents q¨uestions. Justifiqueu la resposta.

(a) Si P ´es N P-hard i P ∈ P, aleshores N P = P.

(b) Sigui P ∈ DT IM E(f (n)), on f (n) = O(n!). Si P ´es N P-Complet, llavors P = N P.

(c) Si P ´es N P-hard i P ∈ P, aleshores N P = co − N P.

(d) Si P ∈ DT IM E(3n^2 + n), llavors P est`a la classe P.

(e) Si P ´es N P −hard i P ′^ es pot transformar polin`omicament a P , llavors P ′^ tamb´e ´es N P − hard.

(f) Si P i P s´on N P, llavors necess`ariament P = N P.

(g) Si P esta a la classe P, llavors P esta a DSP ACE(nr), per a alguna r ∈ N.

(h) Si P esta a la classe N P i P no esta a N P, llavors segur que P 6 = N P.

(i) Si SAT ´es P llavors P no seria igual a N P.

(j) Si SAT ´es co − N P, llavors P no seria igual a N P.