¡Descarga PROBLEMES RESOLTS I y más Ejercicios en PDF de Probabilidad solo en Docsity!
Llista 1 de Probabilitat: El model probabil´ıstic
Josep Vives
Tardor 2008
- Descriu l’espai mostral en els casos seg¨uents:
(a) Llan¸cament d’una moneda. (b) Temps de vida d’una rentadora. (c) Llan¸cament d’un dau i una moneda. (d) Nombre de persones que entren en un centre comercial un dissabte. (e) Llan¸cament repetit d’una moneda fins que surt cara.
L’espai mostral ´es el conjunt de resultats possibles d’una experiencia aleatoria. Aleshores tenim
(a) Ω = {cara, creu}. Si identifiquem cara=1 i creu=0 tenim Ω = { 1 , 0 }. (b) Ω = [0, ∞). (c) Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } × { 1 , 0 }. (d) Ω = N ∪ { 0 }. (e) Ω = N
- S’ha de triar una comissi´o de 5 membres entre un grup de 8 persones que est`a format per 5 dones, que denotem per a, b, c, d, e, i 3 homes, que designem per f, g, h. Se suposa que cadascun dels membres del grup t´e la mateixa probabilitat de ser escollit. Calcula la probabilitat que:
a) la comissi´o estigui formada per tres dones i dos homes. b) els tres homes formin part de la comissi´o. c) la comissi´o no tingui com a membres a a i b simult`aniament.
Donat que tots els individus del grup tenen la mateixa probabilitat de ser escollits, per calcular la probabilitat en cada apartat hem de dividir el nombre de casos favorables pel nombre de casos possibles. El nombre de casos possibles ´es pot identificar amb el nombre de subcon- junts de 5 elements que podem seleccionar d’un conjunt de 8 elements. Aix`o ´es
Pel que fa a les probabiltats tenim:
(a) Cal comptar de quantes maneres podem escollir les tres dones en- tre les 5 i els dos homes entre els 3. Per tant, aplicant el principi fonamental tenim ( 5 3
Aleshores
P =
(b) Ara simplement cal escollir dues dones d’entre les 5 per formar la comissi´o. Tenim ( 5 2
Per tant la probabilitat que ens demanen ´es
P =
(c) Finalment, el conjunt de comissions que no tenen simultaniament els individus a i b ´es el complementari del conjunt de comissions que contenen els individus a i b. El nombre de comissions amb aquests individus equival al nombre de subconjunts de 3 elements que es poden formar a partir d’un conjunt de 6 elements, ja que dels 6 individus que no son a i b n’hem d’escollir 3 per a formar amb a i b la comissi´o de 5. Les maneres de fer aixo s´on: ( 6 3
Per tant la probabilitat que ens demanen ´es
P =
- Quants nombres entre 1000 i 3000 es poden formar amb les xifres 0, 1, 2, 3, 4 i 5, si es permet repetir d´ıgits en un mateix nombre? I sense repetir? Aplicant el principi fonamental, si es permet repetir, tenim 2 possibilitats per al primer lloc i 6 per a cada un dels tres seg¨uents. Per tant tenim
(a) El nombre d’equips amb 4 estudiants de cada classe ´es ( 10 4
(b) Si hi ha d’haver m´es jugadors de la classe B, vol dir que n’hi ha d’haver 6,7 o 8 d’aquesta classe, o equivalentment, un m`axim de 3 de la classe A. Aleshores els equips possibles s´on
∑^3
i=
i
8 − i
(c) Els equips amb un m´ınim de 2 estudiants de la classe A s´on
∑^8
i=
i
8 − i
- Considera el conjunt S = { 1 , · · · , n}.
(a) Quants subconjunts es poden fer? (b) Quants d’aquests subconjunts tenen el n´umero 3?
(a) El nombre total de subconjunts de S ´es el nombre de subconjunts amb 0 elements, m´es el nombre de subconjunts amb 1 element, m´es el nombre de subconjunts amb 2 elements, i aix´ı successivament fins al nombre de subconjunts amb n elements. Per tant ´es
1 + n +
n 2
n n
Observem que aquesta suma ´es pot escriure com
∑^ n
i=
n i
∑^ n
i=
n i
1 i 1 n−i^ = (1 + 1)n^ = 2n.
(b) Observem que el nombre de subconjunts de S que contenen el tres (ara hem de suposar, evidentment, que n ≥ 3) equival al nombre de subconjunts de S¯ := S − { 3 }. Per tant, n’hi ha 2n−^1. Una manera alternativa de pensar-ho, que m’ha fet notar l’estudiant David Buchaca, ´es la seg¨uent. Podem identificar els subconjunts amb tires de n bits; si hi ha un 1 en un lloc vol dir que el sub´ındex del lloc ´es al subconjunt. La tira de zeros equival al conjunt buit, les tires amb un sol 1 equivalen als subconjunts amb un sol element, i aix´ı successivament, fins a la tira de uns, que equival al conjunt total. Aleshores, els subconjunts que tenen el 3 equivalen a les tires que sempre tenen un 1 a la tercera posici´o. Per tant, n’hi ha 2n−^1.
- Set persones entren a l’ascensor a la planta baixa d’un edifici de 10 plantes. Suposem que cada persona pot baixar de l’ascensor a qualsevol dels pisos (primer, segon,..., des`e) amb igual proba- bilitat. Calcula les probabilitats dels esdeveniments seg¨uents:
A = Ning´u no baixa al primer o al segon pis. B = Exactament tres persones baixen al cinqu`e pis. C = Cada persona baixa en un pis diferent. D = Totes baixen al mateix pis.
Els casos possibles s´on 10^7 ja que cada una de les 7 persones t´e 10 possi- bilitats per baixar.
(a) Si tothom baixa a partir del 3er pis, els casos favorables s´on 8^7. Per tant, la probabilitat ´es
P = (
)^7.
(b) Els casos favorables a que exactament 3 persones baixin al 5`e pis s´on ( 7 3
Per tant
P =
(c) Per a comptar els casos favorables ara hem d’escollir les 7 plantes diferents on baixaran les 7 persones, ´es a dir
7
i despr´es ordenar- les, ´es a dir, multiplicar per 7!. Per tant
P =
7
Observem que tamb´e podem comptar els casos favorables, directa- ment com
V 10 , 7 = 10 · 9 · · · 4.
(d) Ara per a comptar els casos favorables, simplement hem d’escollir el pis. En tenim 10. Per tant
P =
(b) Calcula la probabilitat de que el nombre escollit contingui exactament dues vegades el nombre 3. (c) Calcula la probabilitat de que el nombre escollit contingui exactament un d´ıgit m´es gran de 5.
El nombre de n´umeros enters entre 10000 i 99999 ´es 90000.
(a) El conjunt dels que contenen com a m´ınim un 1 ´es el complementari del conjunt dels que no contenen cap 1 que s´on 8 × 94. Per tant la probabilitat buscada ´es
P = 1 −
8 × 94
9 × 104
(b) Si un dels tresos ´es a l’inici tenim 4 · 93 casos; el 4 indica les possibles posicions de l’altre tres. Si cap dels tresos ´es a l’inici es tenen
2
casos; el nombre binomial indica les maneres de colocar els dos tresos. Per tant, el nombre de casos favorables ´es 4 · 93 +
2
· 8 · 92. I per tant la probabilitat buscada ´es
P =
2
(c) Ara, per comptar els casos favorables hem de distingir si el nombre m´es gran que 5 ´es al primer lloc o despr´es. En el primer cas tenim 4 · 64. En l’altre cas cal decidir a quin lloc dels 4 restants es troba i multiplicar per les possibilitats de cada lloc: 5 en el primer, 4 en l’escollit i 6 en els altres tres. Per tant, els casos favorables s´on
- En una botiga hi ha 10 fotocopiadores, quatre de les quals fan fotoc`opies a color. Calcula la probabilitat que si en un moment hi ha 5 fotocopiadores lliures:
a) Les quatre fotocopiadores a color estiguin lliures. b) Com a m´ınim n’hi hagi dues a color lliures.
Els casos possibles evidentment s´on ( 10 5
Els casos favorables al primer apartat s´on 6, ´es a dir, les 6 maneres d’escollir la fotocopiadora no a color com a lliure. En el segon apartat tenim que els casos favorables s´on ( 4 2
- Problema dels aniversaris. Quina ´es la probabilitat de que en una classe de n alumnes, si m´es no, dos celebrin l’aniversari el mateix dia? Calcularem la probabilitat del conjunt complementari, ´es a dir, la proba- biliat que tots els alumnes celebrin l’aniversari en dies diferents. Aplicant el principi fonamental es t´e que els casos possibles s´on, evidentment, 365n, i els casos favorables s´on 365 · 364 · · · (365 − n + 1). Aleshores
P = 1 −
365 · · · (365 − n + 1) 365 n^
n∏− 1
j=
j N
Observem que P ≥ 12 ⇔ 365 ···(365 365 n− n+1)≤ 12. A partir de quin n es com- pleix?
- En un tauler d’escacs es col.loquen a l’atzar 8 torres. Quina ´es la probabilitat que cap d’elles pugui matar una altra? Aquest problema es pot resoldre de diverses maneres per
o la m´es sis- tematica crec que ´es la seg¨uent: El tauler t´e 64 caselles. Suposem que les torres s´on distingibles. Aplicant el principi fonamental, els casos possibles s´on 64 · 63 · · · 57 i els favorables 64 · 49 · 36 · 25 · 16 · 9 · 4 · 1. Una alternativa ´es suposar que les torres no s´on distingibles (de fet, m´es natural que l’anterior). Aleshores, els casos possibles s´on les eleccions de 8 caselles en un conjunt de 64, ´es a dir
8
. Per a comptar els casos favorables cal adonar-se que aquests coincideixen amb les configuracions de 8 caselles en que nom´es n’hi ha una per fila i una per columna. Aleshores, si comptem per files tenim 8 · 7 · · · 1 = 8! casos favorables.
- De les 28 fitxes que formen un domin´o se n’escullen dues a l’atzar. Quina ´es la probabilitat que amb elles es pugui formar una ca- dena segons les regles del joc? Notem d’entrada que un joc de domin´o t´e 28 fitxes, 21 simples i 7 dobles (del doble 0 al doble 6). Podem resoldre el problema tenint en compte l’ordre en l’extracci´o de les fitxes o no Si tenim en compte l’ordre, el nombre de casos possibles ´es 28 · 27. El nombre de casos favorables ´es
ja que si la primera ´es doble (7 possibilitats), despr´es tenim 6 fitxes de les que queden per escollir que connecten amb la doble escollida, i si la
Ara ens demanen P (A 1 ∪ · · · ∪ An). Per aix`o necessitem la coneguda f´ormula d’inclusi´o i exclusi´o:
P (A 1 ∪ · · · ∪ An) =
∑^ n
k=
i 1 6 =···6=ik
(−1)k−^1 P (Ai 1 ∩ · · · ∩ Aik )
Notem que
P (Ai 1 ∩ · · · ∩ Air ) = (n − r)! n! independentment de quins siguin concretament els sub´ındexos i 1 ,... , ir. D’altra banda la suma
i 16 =···6=ik t´e^
(n k
termes. Aleshores
P (A 1 ∪ · · · ∪ An) =
∑^ n
k=
(−1)k−^1
n k
(n − k)! n!
∑^ n
k=
(−1)k−^1
k!
∑^ n
k=
(−1)k k!
(c) Fent tendir n a ∞ a la darrera f´ormula, es t´e
P (A 1 ∪ · · · ∪ An) = 1 −
∑^ n
k=
(−1)k k!
−→n↑∞ 1 −
e
- A la Lotto 6/49 una aposta consisteix a seleccionar sis nombres diferents entre 1 i 49. La rifa consisteix a escollir a l’atzar sis n´umeros entre 1 i 49 (combinaci´o guanyadora) i un set
e n´umero (el complementari). El primer premi ´es encertar la combinaci´o guanyadora sense importar-ne l’ordre, el segon encertar 5 n´umeros de la combinaci´o guanyadora i el complementari, el tercer encertar- ne 5 de la combinaci´o guanyadora, el quart encertar-ne 4 de la combinaci´o guanyadora i el cinque encertar-ne 3 de la combi- naci´o guanyadora. Calcula quina ´es la probabilitat d’obtenir cada premi. El nombre de casos possibles, ´es a dir, el nombre de butlletes que puc omplir a l’atzar ´es (^) ( 49 6
Pel que fa als casos favorables tenim:
(a) Nom´es hi ha una butlleta possible amb el primer premi.
(b) El nombre de butlletes possibles que obtenen el segon premi s´on les que encerten 5 n´umeros de la combinaci´o guanyadora i el complemen- tari. Aquest nombre ´es el nombre de maneres d’escollir 5 nombres entre els premiats, agafar el complementari i no agafar-ne cap de la resta. Per tant ( 6 5
(c) Seguint el mateix raonament, els casos favorables al tercer premi s´on ( 6 5
= 6 × 42 = 252.
Observem que hem de triar el nombre no premiat entre 42 i no 43 per que no podem escollir el complementari, ja que si ho f´essim, estar´ıem en la situaci´o de l’apartat anterior. (d) Els casos favorables al quart premi s´on: ( 6 4
= 15 × 43 × 21 = 13545.
(e) Finalment els casos favorables a obtenir el cinqu`e premi s´on ( 6 3
- En una ma de p
oquer sense comodins, calcula la probabilitat d’obtenir un poquer, un full, un trio, una doble parella, i una parella. I si hi ha dos comodins? En el joc del p`oquer sense comodins hi ha 52 cartes distribu¨ıdes en 4 pals amb 13 cartes cada un. Les possibles mans de 5 cartes, ´es a dir, els casos possibles, s´on ( 52 5
(a) Un poquer consta de dues figures diferents, una de les quals apareix quatre vegades. El nombre de poquers es pot comptar de la manera seg¨uent: ( 13 2
on
- el primer factor compta el nombre de maneres d’escollir les dues figures amb les que farem el p`oquer.
(d) El nombre de trios ´es ( 6 3
(e) El nombre de dobles parelles ´es ( 6 3
(f) El nombre de parelles ´es ( 6 4
(g) El nombre de combinacions sense etiqueta ´es ( 6 5
- Difusi´o de rumors. En un poble de n + 1 habitants, una persona explica un rumor a una segona persona, qui a la seva vegada el repeteix a una tercera, i aix´ı successivament. En cada pas s’escull aleat`oriament al receptor del rumor entre n persones disponibles. Troba la probabilitat de que el rumor passi r vegades sense:
(a) tornar al que el va originar. (b) repetir-ho a una persona.
Els casos possibles s´on nr^ ja que cada persona t´e n possibles alternatives per comunicar el rumor. Els casos en que el rumor no torna a la persona que el va originar s´on n(n − 1)r−^1. Els casos en que el rumor no torna a cap persona que ja el coneixia s´on n(n − 1)(n − 2) · · · (n − r + 1). Per tant, en el primer cas tenim
P = (1 −
n
)r−^1
i en el segon cas
P =
r∏− 1
j=
j n
- Problema del borratxo i les claus. Un home t´e un clauer amb n claus de les quals nom´es una obra la porta de casa seva. Arriba borratxo a casa i comen¸ca a provar les claus a l’atzar. Calcula la probabilitat que necessiti provar k claus si
a) treu les claus sense reposici´o. b) treu les claus amb reposici´o.
Si les claus es van escollint sense reposici´o, hi ha n! maneres d’anar-les seleccionant una a una. D’aquestes, les que tenen la clau bona al lloc k s´on (n − 1)! Per tant la probabilitat d’encertar-la en l’extracci´o k−`essima ´es
P =
n
Si les claus es van agafant amb reposici´o, es tracta de comptar les maneres de fallar k − 1 vegades i encertar a la k−`essima. Ara l’experiment ´es sempre el mateix i independent dels resultats anteriors. Aleshores es t´e que la probabilitat buscada ´es
P = (
n − 1 n
)k−^1 ×
n
- A i B juguen alternativament a llan¸car un parell de daus. Qui obtingui primer una suma de 7 en llan¸car els dos daus guanya el joc. Troba la probabilitat que:
a) qui llen¸ca primer els daus guanya. b) qui llen¸ca segon els daus guanya. c) empaten.
La probabilitat de sumar 7 en un llan¸cament de dos daus ´es p := 366 = 1 6.^ Aquesta ´es la probabilitat d’exit en cada una de les tirades, que s´on independents entre elles. La probabilitat d’obtenir el primerexit a la k−`essima tirada ´es
(1 − p)k−^1 p.
Diguem-li A al que tira primer i B al que ho fa en segon lloc. Es clar que´ la probabilitat que guanyi A ´es
P (A) =
k≥ 1 ,k senar
(1 − p)k−^1 p
i la probabilitat que guanyi B ´es
P (B) =
k≥ 1 ,k parell
(1 − p)k−^1 p.
Sigui 0 < r < 1. Es conegut que
P (
⋃^ n
i=
Ai) =
∑^ n
l=
(−1)l−^1
i 1 ...,il
P (Ai 1 ∩ · · · ∩ Ail )
∑^ n
l=
(−1)l−^1
n l
) (n l
· l! ·
( 2 n− 2 l 2
2
( 2 n 2
2
∑^ n
l=
(−1)l−^1
(n l
)(n l
( 2 n 2 l
l!2l (2l)!
- Un grup d’estudiants decideix recollir diners pel viatge final de curs. Cada vegada que una persona compri un dels seus pro- ductes (samarretes, entrades a una festa, n´umeros de loteria, etc) li regalaran un sobre amb un n´umero de l’1 al 20, aquests n´umeros estan uniformement repartits en els sobres; la persona que tingui tots els n´umeros guanyar`a una entrada per la propera cursa del campionat del m´on de motociclisme a celebrar a Mont- mel´o. Calcula la probabilitat que comprant k productes tinguem tots els n´umeros. Sigui Ai l’esdeveniment tenir el n´umero i, amb i = 1,... , 20. Evidentment, volem calcular la probabilitat de
A =
⋂^20
i=
Ai
Utilitzant la f´ormula del retrobament, tenim
P (A) = 1−P (
⋃^20
i=
Aci ) = 1−
∑^20
i=
P (Aci )+
i 6 =j
P (Aci ∩Acj )−· · ·+P (Ac 1 ∩· · ·∩Ac 20 ).
Observem que per a tot m = 1,... , 20 es t´e
P (Aci 1 ∩ · · · ∩ Acim ) = (20 − m)k 20 k^
m 20
)k
Per tant,
P (A) = 1 −
∑^20
m=
(−1)m−^1
m
m 20
)k.
- Un secretari ha escrit 4 cartes per a 4 persones diferents, M 1 , M 2 , M 3 , M 4. Posa cada carta en un sobre i escriu les adreces a l’atzar. Troba la probabilitat que:
a) Cada persona rebi la seva carta. b) Exactament 3 persones rebin la seva carta. c) Ning´u rebi la seva carta. d) Tots rebin la seva carta, si sabem que M 1 ha rebut la seva carta.
(a) Hi ha 4! maneres de posar les adreces en els sobres i nom´es una ´es correcta. Per tant
P =
(b) Si tres persones reben correctament la carta, la quarta tamb´e l’ha de rebre correctament de manera necess`aria. Per tant, la probabilitat que ens demanen ´es nul.la. (c) Si Ai ´es l’esdeveniment la persona i rep la carta, la probabilitat que ning´u la rebi ´es
P = 1 − P (A 1 ∪ · · · ∪ A 4 ) = 1 −
∑^4
k=
(−1)k−^1
k
(4 − k)! 4!
∑^4
k=
(−1)k^
k!
(d) Si s’ha produ¨ıt A 1 , hi ha nom´es 3! = 6 casos possibles. Per tant la probabilitat que ens demanen ´es 16.
- Tres estudiants, A B i C, juguen a tirar-se la pilota amb l’objectiu de tocar un dels contrincants i eliminar-lo. Acorden que primer tirar
a A, despr´es B - sempre que no hagi estat eliminat- i, final- ment, C - si no ha estat ja eliminat. Es continua aix´ı fins que nom´es queda un jugador. Cada jugador quan arribi el seu torn pot triar llan¸car la pilota contra qualsevol dels seus contrincants no eliminats. No tots tenen la mateixa punteria; la probabilitat que A encerti ´es 1/3, la de C ´es 1/2 i la de B ´es 1. Se sap que, si B ha d’escollir, llen¸cara la pilota contra C. Calcula la probabilitat que A sigui el guanyador si, a la primera tirada,
a) A llan¸ca la pilota contra B. b) A llan¸ca la pilota primer contra C c) A falla expressament.
Quina estrat`egia ´es la m´es favorable? La millor manera de resoldre el problema ´es dibuixant l’arbre de possibil- itats. Tenim
Denotarem per V l’esdeveniment l’ordinador t´e un virus i per V c^ el seu complementari. Denotarem per + l’esdeveniment l’antivirus detecta un virus i per −, el seu complementari. L’enunciat ens diu que
P (V ) = 0. 2
P (+|V ) = 0. 9
P (+|V c) = 0. 02
Aleshores
(a) P (V c|+) =
P (+|V c)P (V c) P (+|V c)P (V c) + P (+|V )P (V )
(b) P (−|V ) = 1 − P (+|V ) = 1 − 0 .9 = 0. 1.
(c) P (V |−) =
P (−|V )P (V )
P (−|V )P (V ) + P (−|V c)P (V c)
- En una urna hi ha 20 boles negres i 30 de blaves. Es fan extrac- cions sense reposici´o i s’anota el color.
a) Calcula la probabilitat que la primera bola blava aparegui en la quarta extracci´o. b) Es fan cinc extraccions. Calcula la probabilitat que les dues primeres boles siguin del mateix color, si se sap que de les cinc boles exactament tres s´on blaves.
(a) Cal comptar les maneres de treure NNNB. Aix`o ´es 20 · 19 · 18 · 30. Aleshores:
P =
(b) Tota extracci´o amb tres boles blaves i dues negres t´e la mateixa probabilitat. Concretament:
P =
Aleshores, els casos possibles s´on
2
, ´es a dir, escollir les dos llocs per posar-hi les boles negres. Els casos favorables s´on 4, el cas NNBBB i tres casos en que les dues primeres s´on blaves: BBBNN, BBNBN i BBNNB. Per tant, la probabilitat buscada ´es
P =
- En una caixa hi ha cinc tiquets de colors vermell i blau, per`o no se sap la quantitat que n’hi ha de cada color; nom´es se sap que hi ha la mateixa probabilitat que la caixa contingui 0 , 1 , 2 , 3 , 4 o 5 tiquets vermells.
a) Es treuen 3 tiquets de la caixa amb reposici´o i se n’apunta el color. Si ha sortir la combinaci´o vermell, blau, vermell, calcula la probabilitat que hi hagi exactament 3 tiquets ver- mells dins la caixa. b) Considera la mateixa situaci´o que en l’apartat a), suposant per`o que les extraccions es fan sense reposici´o. Si ha sortit la combinaci´o vermell, blau, vermell, determina la probabilitat que hi hagi com a m´ınim, 3 tiquets vermells dins la caixa.
La probabilitat que la caixa contingui n tickets vermells ´es 16 , per a n = 0 ,... , 5.
(a) Hem tret tres tickets i hem observat la combinaci´o vbv. Aplicant el teorema de Bayes tenim
P (n = 3|vbv) =
P (vbv|n = 3)P (n = 3) ∑ 4 l=1 P^ (vbv|n^ =^ l)P^ (n^ =^ l)^
Observem que els casos n = 0 i n = 5 cal descartar-los, vist el resultat vbv, en el sentit que P (vbv|n = 0) = 0 i P (vbv|n = 5) = 0. En general, per als altres valors de n tenim
P (vbv|n = l) =
l 5
5 − l 5
l 5
l^2 (5 − l) 125
Aleshores
P (n = 3|vbv) =
32 × 2
l=1 l (^2) (5 − l)
