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PROBLEMES DE GENÈTICA QUANTITATIVA I MILLORA
La distància entre el valor central i les meves observacions és més gran com més variabilitat trobem entre les nostres dades. 𝜎!^!^ = Σ
( 165 − 169 )!^ + ( 160 − 169 )!^ + ⋯
El concepte de covariància indica com evolucionen conjuntament les variàncies de X i de Y. Quan X augmenta i Y també, la covariància serà positiva. Si quan una augmenta i l’altra disminueix, la covariància és negativa. Si no estan relacionades, la covariància és 0. Tan la variància, com la covariància com la mitjana sempre tenen unitats. 𝜎!"^!^ = Σ
LA COVARIÀNCIA D’UNA VARIABLE AMB SI MATEIXA ÉS IGUAL A LA VARIÀNCIA D’AQUESTA.
r^2 = 0’ indica quin percentatge de l’alçada del fill ve determinada per l’alçada del pare
Ens demanen calcular una equació de regressió y = a + bxyx, on la x serà el pes del cos (independent) i la y el consum d’aliment (dependent). La pendent de la recta de regressió m indica la magnitud del canvi que es produeix en la variable y quan x varia. Això ve definit pel coeficient de regressió bxy. Amb les dades que tenim, la covariància 𝜎!" serà 1’312 i la de X serà 0’17. 𝑏!" =
𝜎!^!^
Calculem les mitjanes de x i y substituint b a l’equació anterior busquem el valor de a. Dóna a = 55’26. La correlació i la relació són intercanviables entre sí, si saps un saps l’altre. 𝑟!" =
𝜎!^!
𝜎!^!
Si calculem la correlació és r = 0’82, per tant r 2 = 0’ 2 = 0’67. El 67% del consum d’aliment ve determinat pel pes de l’animal. Es recomana també estudiar de manera complementària els problemes del llibre de Falconer y Mackay següents:
7.1, 7.3 a 7.9; 8.1 a 8.6; 9.1 a 9.4; 10.1 a 10.10; 19.1 i 19.
Valors millorants (desviat a la mitjana poblacional) AA1A1 = α 1 +α 1 = 8’64 valor millorant del genotip A 1 A 1 AA1A2 = α 1 +α 2 = - 2’ AA2A2 = α 2 +α 2 = - 12’ Valors genotípics (també desviats) GA1A1 = 38 individus – 34’48 = 3’ GA1A2 = 40 – 34’48 = 5’ GA2A2 = 10. 34’48 = - 24’ Dominància DA1A1 = GA1A1-AA1A1 = 8’64 – 3’52 = DA1A2 = GA1A 2 - AA1A 2 DA2A 2 = GA2A 2 - AA2A 2 A1A1 A1A2 A2A VA (2qα)^2 p^2 = 26’87 [(q-p)α]^2 2pq = 2’24 (-2pα)^2 q^2 = 26’ VD (-2q^2 d)^2 p^2 = 9’44 (2pqd)^2 2pq = 28’31 (-2p2d)^2 q^2 = 21’ VG (a-M)^2 p^2 = 4’46 (d-M)^2 2pq= 14’63 (-a-M)^2 q^2 = 95’
Σ𝑦!^ !.^ =
( 68!^ + 72!^ + 83!^ + 75 !) = 3512′
𝑦..^!^ =
· 374!^ = 3496′
Σ𝑦!"^!^ = ( 8!^ + 9!^ + 10!^ + 6!^ + ⋯ ) = 3610
L’objectiu sempre és descompondre la variància en dos components: entre grups i dintre grups. Els graus de llibertat entre grups és el número de tractaments - 1 T-1 = 4. Dintre grups és Tn- 1 = 35 graus de llibertat. Fem la suma de quadrats: QM: Entre = 3512’25 – 3496’9 = 15’35 15’35/4 = 3’ Dins = 3610 – 3512’5 = 97’7 97’7/35 = 2’ F = QMB/QMW = 1’37 Això s’ha de comparar amb una F amb α=0’05 i g.l. 4, 35. La Fcrt=2’ Si la Fobservada és menor que la de la taula, considerem que no hi ha evidències significatives.
PARENTIU GENEAOLÒGIC
Primer de tot identifiquem els progenitors i tots els possibles camins i calculem els coeficients de consanguinitat parcial: CBAED à ( ½ )n^ (1+FA) = (½)^5 (1+FA) Com que FA = 0, = 1/ CBGFED à ( ½)^6 (1+FA) = 1/ CED à (½)^3 (1+FA) = 1/ CD à (½)^2 (1+FA) = Per calcular aquesta FA hem de calcular el de BAE i BGFE BAE = (½) 3 (1+FA) = 1/ BGFE = (½)^4 (1+FA)= 1/ FA = 1/8 + 1/16 = 3/16 à CD = ¼ * 19/16 = 19/ Fx = 30/
Mateix procediment que abans
- FBADG = (½)^6 (1+FA) = 1/
- FCADG = (½)^7 (1+FA) = 1/
- BAEG = (½)^6 (1+FA) = 1/
- FCAEG=(½)^7 (1+FA) = 1/
- Fx = 2/128 + 1/128 + 2/128 + 1/128 = 6/128 = 3/
- PJEAHLQ = (½)^7 (1+FA) = 1/
- PJEDGLQ = (½)^7 (1+FA) = 1/
- PJFCGLQ = (½)^7 (1+FA) = 1/
- PJFBGLQ = (½)^7 (1+FA) = 1/
- PJEKQ = (½)^5 (1+FA) = 1/32 = 4/
- PJFKQ = (½)^5 (1+FA) = 1/32 = 4/
PARÀMETRES GENÈTICS
Cal fer un anàlisi de la variància, on tenim una font de variació entre, dintre i tindrem uns graus de llibertat. Número de tractaments entre és 5, dins és Tn-T. GL entre = 5 – 1 = 4 GL dins = 58 – 5 = 35 GLL SQ QM Esperança QM Entre 5 - 1 = 4 17197’6 17197’6/4 = 4299’4 8 σ^2 B + σ (^2) W Dins 58 - 5 = 35 81686’3 81686’3/35 = 2333’9 σ^2 W = 2333’ σ^2 B = 245’ σ^2 W = 2333’ t = σ^2 B/ σ^2 B+ σ^2 W = 245’7 / (245’7 + 233309) = 0’095. σ^2 t = ! [ !! !!! !]!(!!!)! ! !!! (!!!) on n és el número d’observacions, 8 en aquest cas, N és el número de tractaments. σ^2 t = ! [ !! !!! !"!#$]!(!!!"!#$)! ! !!! (!!!) 0’ σ^2 h2 = σ^2 (4t) = 16 σ^2 t = 16 x 0’02 = 0’ h^2 ±1’96 σ^2 h2/95% = 0’38±(1’96x0’565) = [-0’73, 1’49]
PROBLEMAS DE EVALUACIÓN GENÉTICA. ÍNDICES DE SELECCIÓN.
Hemos mesurado la prolificidad de unes cerdas: lechones nacidos vivos /parto. I = b 1 X 1 + b 2 X 2 b 1 σ^2 X1 + b 2 σ^2 X1X2 = σ^2 AX Queremos el valor mejorante de la cerda, lo llamamos A, y para esto tenemos un valor fenotípico X. - ¿Cuántas X tenemos? Una. Mi índice será simplemente b 1 X 1. Sólo nos hace falta b 1 σ^2 X1= σ^2 AX1. b 1 = !!"! !!^!^ !=^ !!^! !!^!^ = h 2 σAX1 = cov(A, X 1 ) = cov (A, A+E) = Cov(A,A) + Cov (A,E) = σ^2 A I = h^2 ( xi-𝑥 )
Var (x-cte) = var(x)
La covarianza de un todo + una variable de este todo = la varianza de la parte.
Vamos a calcular el índice del primer parte de la cerda 1, y luego lo mismo para todos los partos de todas las cerdas. Necesitamos saber a priori el valor de la heretabilidad. Suele salir 0’10, es el valor estándar. Tienes que tenerla a priori, te la dan, o bien cada uno de los componentes o bien directamente. La cerda 1 es fenotípicamente inferior en 0’6, pero genotípicamente inferior en 0’06. Lo que nos da el índice es superioridad o inferioridad en términos de valor mejorante.
Calculamos de la misma forma cada valor y obtenemos los siguientes valores: Una opción para saber qué cerda es mejor sería hacer un índice con la media de los tres partos: Queremos saber el valor mejorante con la media de los partos (m partos en la diapositiva). Usamos sólo X 1 porque va a ser la media. b 1 σ^2 X1 = σAX Empezamos por la varianza de X 1 : σ^2 X1 = σ^2 ( !!!!!!!!!⋯!!! !
σ^2 (ax) = a^2 σ^2 (x) dónde la a= 1/n σ^2 = 1/n^2 (σ^2 X1 + σ^2 X2 + … + σ^2 Xn + 2 σX1X2 + 2 σX1X3 + … + 2 σXn-1Xn Estamos en el contexto de repetibilidad (medidas repetidas en un mismo individuo): tenemos 3 observaciones en 5 cerdas, las observaciones en una cerda (los partos) todo son covarianzas dentro del mismo grupo: σ^2 B. La repetibilidad r = σ^2 B/ σ^2 P De aquí simplificamos: σ^2 P !! !!!! ! si n>1, el valor σ^2 P siempre es <1. b 1 = !!"! !!^!^! = !!^! !!^!^ !!^! !!!^! σAX1 = Cov (A 1 X 1 ) = cov (A, !!!!!!!!!⋯!!! ! ) = 1/n (cov(A, X 1 ) + cov(A, X 2 ) + …. Cov (A 1 Xn) = 1/n ·n σ^2 A La variabilidad de n medidas es mayor que la de 1 medida. Obvious. Calculamos b 1 : b 1 = nh^2 /1+(n-1)r = 0’
PROBLEMA 19. Tenemos un perro que ha obtenido una nota de agresividad de 6 puntos y una perra cuya nota ha sido 8 puntos. Sabiendo que la heredabilidad del carácter agresividad es 0,25, se pide: 1.Hacer una predicción del valor mejorante de un hijo o hija de esta pareja, si la media de la población para agresividad es 5. Si apareamos estos dos perros, ¿Qué agresividad tendrá la descendencia? Hacemos un índice. Los índices eran I=b 1 x 1 + b 2 x 2 dónde el x 1 es el fenotipo del padre y el x 2 es el fenotipo de la madre. Hacemos las ecuaciones que nos permitan calcular b 1 y b 2 : b 1 σ^2 P es la varianza fenotípica. Si no tenemos información sobre esto asumimos que no son parientes y que el componente ambiental tampoco importa. σAX1 es la covarianza del valor fenotípico del padre. El valor fenotípico del padre es A+E, y el valor fenotípico esperado del hijo será ½ A, ya que transmite la mitad del valor mejorante, transformado a la ecuación como la covarianza del valor mejorante, σ^2 A. En el otro caso también tenemos b 2 σ^2 P= 1/2σ^2 A. b 1 = ½ σ^2 A/σ^2 P = ½ h^2 y lo mismo para b 2 I= ½ h^2 (xpadre-xmedia) + ½ h^2 (xmadre-xmedia) I = ½ 0’25 (6-5) + ½ 0’25 (8-5) = 0’ Interpretación: la descendencia tendrá una agresividad 0’5 unidades superior a la media de la población. 2.¿Cuál sería la precisión de esta predicción? Hay que hacer las ecuaciones para demostrar que rAI= h/√2 = √h^2 /2 = √0’125 = 0’35 36 Una observación con un carácter con heredabilidad 0’1 da una precisión de 0’316, esto es ligeramente superior.
3.¿Cuál sería el valor mejorante si sólo se conociese la nota del padre? En este caso en concreto es I = ½ 0’25 (6-5) = 0’125. Es hacer sólo la parte del padre. 4.Compara la precisión de esta predicción con la del índice anterior. rAI = σI/σA σ^2 I= b 1 σAX1 = ½ h^2 · ½ σ^2 A = 0’0625σ^2 A b 1 = ½ h^2 ½ σ^2 A = σAX rAI = σI/σA = √0’0625σ^2 A/σ^2 A = √0’0625 = 0’ La precisión de la predicción del valor mejorante del hijo si sólo conocemos uno de los dos progenitores es 0’25. Si hacemos 0’3536/0’25 = 1’4144. El índice de los dos progenitores es 41’44% más preciso que este.
¿Cómo sería la precisión? rAI es la correlación entre el valor mejorante y el contexto de los índices. Hay que simplificar las fórmulas originales. b 1 = 2nh^2 /4+(n-1)h^2 = 2x5x0’3 / 4+(5-1)x0’3 = 0’
IT1 = 0’577 (x-xmedia) = 3’56 – 3’46 = 0’0577 es la predicción del valor mejorante para el toro IT2 = 0’577(3’32 – 3’46) = - 0’ IT3= 0’ IT4 = - 0’ El toro 1 es el mejor en valor mejorante. ¿Cómo sería el índice si el toro hubiese tenido 50 hijas y no 5? b 1 = 2nh 2 /4+(n-1)h 2 = 2x50x0’3 / 4+(50-1)x0’3 = 1’ ¿Y si tuviese 1000? b 1 = 2nh^2 /4+(n-1)h^2 = 2x1000x0’3 / 4+(1000-1)x0’3 = 1’ 976 Cuando tienes pocas hijas el valor de b 1 es bajo y las diferencias entre machos es pequeña. A medida que aumentas el número de hijas, aumenta b y se ve con mayor distanciamiento los buenos y los peores. Es una propiedad de la regresión que se ve muy clara si la aplicamos a la selección. Cuantas más muestras nuestro b tiende a 2, porque un toro pasa a sus descendientes la mitad, entonces la superioridad que tu observas es la mitad de su valor mejorante, lo que hace b es multiplicar el valor mejorante, en el mejor caso por 2. Las precisiones con 5, 50 y 100: rAI(5) = 0’ rAI(50) = 0’ rAI(100) = 0’ Va aumentando a medida que aumentamos el número de hijos. La correlación es muy elevada entre índice y valor mejorante.
Problema 23. Animales emparentados Cuando dos animales no están emparentados, las ecuaciones de modelo mixto son: 𝑋′𝑋^ 𝑋′𝑍 𝑍′𝑋 𝑍!𝑍 − 𝐴!!𝛼 𝑏 𝑎 𝑋!𝑦 𝑍′𝑦 La matriz resultante es: Ahora podríamos calcular la inversa y aplicar la fórmula. Método 2: Calcular la inversa de la matriz del parentesco no implica el cálculo caca. Reglas o algoritmo de Henderson para A-^1.
- imagina que hay una matriz inicial toda de 0. En este caso de 8x8, al igual que la inversa. La situación sería que la inicial tiene 0 en todas las casillitas.
- Consideramos: o Si conocemos los progenitores: +2 al elemento (i,i), - 1 a los (i,p)/(p,i), (i,m)(m,i), +0’ a los (p,p), (p,m), (m,m), (m,p) o Si conocemos UN progenitor: 4/3 al elemento (i,i), - 2/3 a los elementos (p,i) y (i,p), 1/ al elemento (p,p) o Si NO conocemos los progenitores: sumamos un 1 al elemento (i,i)
