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M. Varela. Física Aplicada i Òptica. Universitat de Barcelona.
3. CONDUCTORS
3.1 Una esfera metàl·lica de radi R 1 té una càrrega neta Q 1****. Es connecta mitjançant un fil conductor a una altra esfera de radi R 2 descarregada i molt llunyana de la primera. (a) Calculi la càrrega i el potencial de cadascuna de les esferes després de la connexió. (b) Determini el valor del camp elèctric en un punt proper a la superfície de les esferes. (A.N. R 1 =1 m , R 2 =30 cm , Q 1 =1 nC )
a) Después de la conexión el potencial de las dos esferas debe ser el mismo. Se tendrá:
2
2 1
1 0 2
2 0 1
1 4 4 R
Q'
R
Q'
πεR
Q'
πεR
Q'
V' (^) a = V'b ⇒ = ⇒ =
Como la carga debe conservarse tendremos: Q 1 (^) = Q' 1 + Q' 2
y por lo tanto
Q R R
R
Q ; Q'
R R
R
Q' 1
1 2
2 1 2 1 2
1 1 = + = +
El potencial de cada esfera será:
πε(R R )
Q
V' (^) a V'b 0 1 2
1 4 +
b) En un punto próximo a la superficie de las esferas será:
ε 0
σ E =
La densidad de carga en cada esfera será:
πR(R R )
Q
Q
R R
R
πR πR
Q'
σ
πR(R R )
Q
Q
R R
R
πR πR
Q'
σ
b 2 1 2
1 1 1 2
2 2 2
2 2
2
1 1 2
1 1 1 2
1 2 1
2 1
1 1
El campo
πεR(R R )
Q
E
πεR(R R )
Q
E
0 2 1 2
1 2
0 1 1 2
1 1
Substituyendo valores se tiene:
a) Q' (^) 1 = 7_._ 7 × 10 -^^10 C ; Q' 2 = 2_._ 3 × 10 -^10 C ; V' (^) a = V'b = 6_._ 92 V
b) m
V
;E
m
V
E 1 = 6. 92 2 = 23
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3.2 Dues làmines metàl·liques paral·leles molt extenses, d'àrea S , tenen densitats de càrrega σ i − σ i estan separades per una distància d****. Entre les dues s'introdueix paral·lelament una tercera làmina metàl·lica de la mateixa àrea i gruix t , que no té càrrega neta. Determini la diferència de potencial entre les làmines originals.
En la Figura se representa un esquema del sistema. Puesto que la lámina metálica de espesor t está descargada en cada una de sus superficies se tendrán unas densidades de carga σ y − σ tal como se indica en la figura. El campo eléctrico en el interior de esta lámina, y por lo tanto conductora, será nulo. En la zona entre las láminas del condensador el campo será (ver Teoría Tema3):
ε a^ x
σ E
0
La diferencia de potencial será:
(d-t) ε
σ a d l ε
σ a d l ε
σ V V E d l
x d
x d t
x
x d
x
x
x d
x 0 0 0 0 0
1 2 1
1
=
= +
=
=
=
=
Es decir:
(d-t) ε
σ V V 0
3.3 Al centre d’una escorça esfèrica conductora de radis a i b ( a < b ) hi ha una càrrega puntual q****. Determini la distribució de càrregues al conductor i el seu potencial quan: (a) està aïllat i té càrrega nul·la; (b) està connectat a potencial zero; c) està aïllat i té càrrega Q ; d) està connectat a potencial V****.
En la superficie interior de la cáscara conductora, en todos los casos, la carga debe ser igual a la de la carga puntual cambiada de signo. Aplicamos el T. de Gauss a una superficie cerrada tal como la indicada en la figura.
S
i ε
Q
E dS 0
El flujo del campo eléctrico, puesto que el campo dentro de un conductor en equilibrio electrostático es nulo, será nulo y por lo tanto también será nula la carga encerrada por la superficie.
Q q
ε
Q q ε
Q
E dS
a i a
S ⇒ =−
0 0
^
Vamos ahora a determinar, en los distintos casos, el valor de la carga en la superficie exterior 𝑄𝑏 y el potencial de la cáscara. a) Cáscara aislada y descargada.
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1 2
1 2 V V
Q
Q C(V V ) C
En nuestro caso, para un condensador esférico, se tendrá:
b a
ab V V
Q
C
a b −
3.5 Determini per dos mètodes diferents l'energia electrostàtica d'un conductor esfèric de radi a que té una càrrega Q distribuïda uniformement.
(El problema ya está resuelto en clase de teoría)
a) El primer método consiste en calcular la energía a partir de la carga y el potencial del conductor. La expresión de la energía es:
U QV 2
En el caso de un conductor esférico de radio a con carga Q , su potencial es (ver teoría Tema 3):
a
Q
V
y por lo tanto la energía:
a
Q
U
0
2
b) El segundo método se basa en utilizar la densidad de energía del campo:
0 2 2
u E ε =
La energía será:
∞ ∞
v v
(^0 2) dv 2
U u dv E
ε
donde el campo es:
2 r 0
a 4
Q
r
E(r)
La energía será:
8 a
dr
4 r dr
dv (^2 )
2
0
2 2 0
2 2 4 0
2
2 2 4 0
2
2 0 πε πε πε
π πε π ε
ε Q r
Q
r
Q
r
Q
r
Q
U
a a a a
^ =
∞ ∞ ∞ ∞
Es decir
a
Q
U
0
2
3.6 Un condensador pla de plaques quadrades de costat a i separació d es carrega a una diferència de potencial V mitjançant una bateria. Després es desconnecta la bateria i es separen les plaques una distància 2d****. Determini: (a) la càrrega de les plaques; (b) la nova capacitat del condensador; (c) la diferència de potencial entre les plaques; (d) el treball necessari per variar la separació de les plaques des de d fins 2d****.
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a) La carga del condensador cuando se carga será
V d
a V d
S
Q CV
2 = =ε 0 = ε 0
Puesto que a continuación el condensador se desconecta de la batería la carga debe conservarse para cualquier situación posterior. En la nueva situación (distancia 2d ) la carga es la misma
V d
a Q
2 = ε 0
b) En la nueva situación la capacidad del condensador será
d
a C' 2
2 = ε 0
c) La diferencia de potencial para la distancia 2d:
V a
d V d
a C'
Q
V ' 2
2 0
2 = = 0 =
c) El trabajo de las fuerzas externas será igual a la variación de energía del sistema. En la situación inicial la energía es:
U (^) i QV 2
En la situación final la energía será:
U (^) f = QV' = QV 2
Por lo tanto la variación de energía es
U Uf Ui QV QV QV 2
Escribiendo el valor de la carga obtenida en el apartado a) se tiene
d
aV Wext U 2
2 2
=∆ =^ ε^0
El trabajo es positivo puesto que la fuerza externa debe ser opuesta a la fuerza eléctrica, que es atractiva, y por lo tanto la fuerza externa y el desplazamiento, de d a 2d , tienen el mismo sentido.
3.7 Un condensador pla té emmagatzemada una energia Uo****. Quina és la variació de l'energia quan es redueix a un terç la distància entre les plaques si: (a) el condensador està aïllat; (b) el condensador es manté connectat a una bateria.
a) Si el condensador está aislado su carga se conserva. La energía la escribimos en
términos de la carga y la capacidad C
Q
U
2 1 2
La variación de energía es:
f i
i C
Q
C
Q
U U
2 1
2 1 f 2
∆ =U − = −
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Antes de introducir el dieléctrico tendremos:
- Carga: Q 0 =C 0 V 0
- Campo eléctrico:
d
V
E 0 =^0
Si el condensador está mantenido a una diferencia de potencial V mediante un generador, entonces V = V 0 y al introducir el dieléctrico se tendrá:
- Carga: Q =CV=εr C 0 V 0 =εrQ 0
- Campo eléctrico:
0
0 E
d
V
d
V
E = = =
