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MIRALLS, DIOPTRES I LENTS PRIMES
10.1 (a) Determini l’altura mínima d’un mirall pla que permeti a una persona d’alçada 1.70 m veure’s sencer si els seus ulls disten 0.10 m de l’extrem del seu cap. (b) A quina alçada s’haurà de penjar el mirall?
a) Para que una persona se vea completamente en el espejo debe ocurrir que:
- El rayo procedente de la parte superior de su cabeza y que se refleja en el extremo superior del espejo forme la imagen en el ojo de la persona.
- El rayo procedente de los pies y se refleja en la parte inferior del espejo debe formar la imagen en el ojo de la persona. Tendremos el siguiente esquema
La altura mínima del espejo será: 85 cm 2
h 2
a 2
h h a E + = =
b) A partir del esquema anterior, se puede ver que la altura a que se debe situar la parte superior del espejo es: 165 cm 2
h −a= Si lo situásemos a más altura la imagen del extremo de la cabeza no se formaría en el ojo. A altura inferior ocurriría lo mismo con la imagen de los pies.
10.2 En una habitació hi ha dos miralls plans i paral·lels que disten 3 m. Si una persona es col·loca a una distància d’un d’ells d’1 m, quina serà la distància entre les dues primeres imatges que veurà?
Se tendrá el esquema de la figura (las distancias están en m)
Las dos primeras imágenes que verá serán las situadas a la izquierda del espejo de la izquierda. La primera imagen es la directa formada en este espejo. La segunda imagen que verá es la debida a la imagen formada en el espejo de la derecha que actúa como objeto para el espejo de la izquierda. Se observa que la distancia entre las dos imágenes de la izquierda es d = 4 m
10.3 Dibuixi el diagrama de raigs que mostri la formació de la imatge en un mirall esfèric còncau de radi R quan un objecte real dret d'alçada R/6 està situat a 1.5R del vèrtex del mirall. Calculi la posició de la imatge i l'augment lateral.
Aplicamos la ecuación del espejo
f
s'
s
Donde
2
f =R
Puesto que R 2
s = 3 , se tiene
R 4
s'^3 3 R
s'
R
s'
3 R
El aumento lateral es:
5 s'^1 4
s'
f
s'
s
Para el segundo espejo (cóncavo) la distancia objeto será la suma de s’ (en valor absoluto) y d, y por lo tanto
1 1
d 0. 25
d 0. 33
f
s''( (d s))
s' d
2
De donde ( d+ 0. 2 )(d− 0. 25 )= 2 d− 0. 05 ⇒d^2 − 2. 06 d= 0 ⇒d(d− 2. 05 )= 0 De donde d = 2. 05 m= 205 cm
10.6 Una piscina està plena d’aigua fins a una altura h. (a) Determini en funció de l’índex de refracció de l’aigua n la profunditat aparent h’ a la qual es veu el fons quan s’observa verticalment des de l’aire. (b) Determini gràficament la posició de la imatge d’un punt del fons quan s’observa obliquament des de l’aire.
a) La superficie agua-aire actúa como un dioptrio plano (R = ∞)
s n
s' -n R
n n s'
n s
n 1
En nuestro caso la distancia objeto s es igual a la profundidad de la piscina h, n 1 es el índice de refracción del medio donde está el objeto (agua) n 1 = n y n2 es el índice de refracción del medio donde se propaga la luz después de refractarse (aire) n 2 = 1. El valor absoluto de la distancia imagen s’ será la profundidad aparente h’
h′^ =
h n
b) En la figura se indica la formación de la imagen de un punto del fondo de la piscina cuando se observa oblicuamente desde el aire. Se han considerado dos situaciones: en el diagrama de la izquierda los rayos salen casi verticales y en el diagrama de la derecha los rayos salen oblicuamente. En el primer caso los rayos forman con la normal ángulos pequeños y estamos es la aproximación paraxial y el resultado gráfico concuerda con el obtenido en el apartado a). En el segundo caso la ecuación del dioptrio no predice de forma correcta la formación de la imagen. Esta ecuación está deducida en aproximación paraxial.
10.7 Un peix està a 12 cm de la superfície plana d'una peixera. Un nen que està a 1 m de la superfície de la peixera està mirant al peix. (a) On veu el nen al peix? (b) On veu el peix al nen? (c) Si la superfície de la peixera és esfèrica de radi 20 cm, on veu el nen al peix? (d) En aquest cas, pot veure el peix al nen nítidament? L'índex de refracció de l'aigua és 1.33.
(a) En este caso el objeto es el pez. Debemos obtener la posición de la imagen a través de dióptrico agua-aire. La ecuación del dióptrico es:
R
n n s'
n s
n (^1) + (^2) = 2 − 1
En nuestro caso n1 = 1.33; n2 = 1; R = ∞ y s= 12 cm. Tendremos:
cm 9. 02 cm
33
(^33) s' 12 s'
La imagen es virtual, es decir se forma dentro de la pecera. Puesto que el niño esta a 100 cm de la pecera, verá al pez a una distancia de d = 109 cm
(b) En este caso el objeto es el niño. Tendremos n1 = 1; n 2 = 1.33; R = ∞ y s= 100 cm.
- (^33) s' 133 cm s'
El pez verá al niño a una distancia d = 12 + 133 = 145 cm
(c) Ahora de nuevo el objeto es el pez, pero tenemos un dióptrico esférico. Se tendrá: n 1 = 1.33; n2 = 1; R = - 20 cm y s= 12 cm.
s' 10. 6 cm 20
s'
El niño verá al pez a una distancia de d = 110. 6 cm
(d) En este caso el objeto es el niño. Tendremos n 1 = 1; n2 = 1.33; R = 20 cm y s= 100 cm.
s' 205 cm 20
s'
La imagen es real y se forma detrás del pez. Por lo tanto éste no podrá ver una imagen nítida del niño. La imagen enfocada está situada a (^) d = 205 − 12 = 193 cmdetrás del pez.
10.8 Calculi la distància focal d'una lent prima biconvexa de radis 10 i 20 cm construïda amb vidre d'índex de refracció n=1.22 i submergida en: (a) aire (n=1); (b) aigua (n=1.33).
La ecuación de la focal de una lente delgada es
= − ^ −
1 1 2
2 1 R
R
n
n n f
(a) f 30. 3 cm 20
f
= − ; (b) f 80. 6 cm 20
f
Vamos a analizar el sistema a partir de la imagen final. Puesto que la imagen a través de la lente divergente L 2 , el objeto para ésta debe situarse sobre el punto focal objeto. Dado que la lente es divergente el punto focal objeto está después de la lente. El objeto para la lente divergente es la imagen formada por la lente convergente L 1. La distancia imagen para L 1 será la suma de la distancia entre las dos lentes y la focal, en valor absoluto, de L 2. Es decir s 2 '= 20 +f 2 = 30 cm. La posición del objeto para la lente L 1 se obtendrá a partir de
s 10 cm 30
s'
f
s
f
s'
s
1 1 1 1 1 1 1
Este objeto, que está a 10 cm de la lente L 1 , es la imagen mediante el espejo del objeto inicial. La distancia de esta imagen respecto al espejo será s 1 '= d− 10. Aplicando la ecuación del espejo
d 40 cm 10
d 10
f
s'
s
e e e
10.11 Un grup d’amics vol realitzar una projecció de diapositives del viatge de vacances de l’estiu passat. Volen presentar les diapositives com indica la figura, de manera que les diapositives verticals presentin una ampliació doble respecte a les horitzontals y=2x. Disposen de tres projectors formats per un sistema d’il·luminació amb portadiapositives (objecte) i una lent. La distància entre la pantalla i lent de cada projector és de 5 metres. a) Calculi la focal del projector de diapositives verticals si aquestes queden enfocades per a una distància objecte-lent de 10.2 cm. b) Quines característiques hauran de tenir els projectors de diapositives horitzontals perquè puguin enfocar correctament sense variar la distància lent-pantalla?
Ecuación de una lente
f
s'
s
a) Para el proyector vertical tendremos s 1 ’ = 5 m = 500 cm y s 1 = 10.2 cm. Substituyendo en la ecuación de la lente se tiene
f 10 cm f
1 1
Por otra parte, el aumento lateral del proyector vertical es:
49
s
m s' 1
1 =−^1 =− =−
b) Para que el proyector horizontal enfoque correctamente sobre la pantalla la distancia imagen debe ser la misma que en el caso del proyector vertical, es decir s’ = 500 cm. Por otra parte el aumento debe ser la mitad que en el caso del proyector vertical y por lo tanto
x
y
20.4cm
m
s s' s
24.5 m s' 2
m 2
2 2 2
Substituyendo en la ecuación de la lente para el proyector horizontal se tiene
f 19. 0 cm f
2 2
