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REFLEXIÓ Y REFRACCIÓ DE LA LLUM
9.1 Un raig lluminós incideix des de l’aire sobre una làmina plana de vidre d’índex de refracció n i gruix a. Si l’angle d’incidència és θ, (a) quin és l’angle θt que forma el raig que surt de la làmina amb la normal a la superfície. (b) Quin és el corriment d’aquest raig respecte la direcció del raig incident?. (c) Si el raig fos de llum blanca incident amb un angle de 30º i l’índex de refracció passés del valor 1.50 per al roig a 1.52 per al violat, quina seria la separació dels raigs roig i violat desprès de travessar una làmina de 1 cm de gruix?
Tendremos un esquema como el de la figura. a) El rayo procedente del aire cuando se encuentra con la superficie de la lámina se refracta y se propaga formando un ángulo θ ’ con la normal. Este ángulo se obtiene a partir de la ley de la refracción (Snell) n 1 sen θ 1 =n 2 senθ 2 En nuestro caso n1 =1 y por lo tanto: senθ =nsenθ ' En la superficie de separación vidrio-aire la luz de nuevo se refracta y el ángulo se salida se obtendrá aplicando de nuevo la ley de la refracción. Se tendrá n' senθ'=senθ t A partir de la dos expresiones anteriores se obtiene senθ =senθt ⇒θ=θ t
b) La desviación, d, del rayo transmitido respecto al rayo incidente será:
θ) PP'cos θ 2
π d =PP'sen ( − t =
La distancia PP’ será igual a PP' = OP−OP'. Si tenemos en cuenta las siguientes relaciones geométricas:
OP' atan θ a
OP'
tan θ
OP atanθ' a
OP
tanθ'
de donde:
= − = ^ −
cosθ'
senθ' cos θ
sen θ PP' atanθ tanθ' a
Aplicando la ley de Snell a la superficie de salida n senθ'=sen θ Obtendremos:
ncosθ'
cos θ
asen θ cosθ'
senθ' cos θ
sen θ PP' a
Si escribimos el cos θ' en función del senθ a partir de
sen θ n
cos θ'= 1 −sen^2 θ'= 1 − 2 2
Se tendrá
n senθ
1 sen θ 1 cos θ
sen θ a sen θ n
n 1
cos θ 1 cos θ
sen θ PP' a 2 2
2
2 2 Para finalizar, substituyendo en la expresión de la desviación d, se tiene
n sen θ
1 sen θ d PP'cosθ asenθ 1 2 2
2
Podemos observar que si los rayos siguen propagándose después de la lámina, el efecto de ésta es un desplazamiento paralelo del rayo incidente. Dicho desplazamiento es proporcional al grosor de la lámina. Este es el motivo de que al hacer el diagrama de rayos de una lente delgada (grosor muy pequeño y en la parte central prácticamente plano-paralela) el rayo central (que pasa por el centro de la lente) se dibuja sin que sufra desviación.
c) Aplicando la expresión anterior a las componentes roja (n (^) r=1.50) y violeta (nv=1.52) de una luz blanca que incide con un ángulo de 30^0 respecto a la normal de una lámina de 1 cm de grosor, se tiene. d (^) r = 1938 μm;dv= 1983 μm La separación entre las dos componentes será: d =dv −dr= 45 μ m
9.2 Dins de l’aigua d’una piscina a 2 m de profunditat hi ha una petita bombeta. La llum que surt de l’aigua delimita sobre la seva superfície un cercle. Determini el seu diàmetre sabent que l’index de refracció de l’aigua és 1..
Tendremos el esquema de la figura. La fuente de luz del fondo de la piscina, emitirá en todas las direcciones hacia el exterior de ésta. Únicamente saldrá de la piscina la luz cuyos rayos formen un ángulo, respecto a la normal a la superficie, menor o igual al ángulo crítico para reflexión total. El ángulo crítico para reflexión total se obtiene a partir de la ley de Snell imponiendo
que el ángulo de refracción sea 2
π (la
( )^2
2 1 n ≥n' 1 +senθ'
Si el cilindro está en aire (n’=1) se tiene
( )^2
1 n ≥ 1 +sen^2 θ'
b) Para cualquier valor del ángulo de incidencia óptica esta expresión debe cumplirse para todos los ángulos posibles. Es decir, en el caso más extremo, para
π θ '=. Se tendrá:
n ≥n' 2 Que en nuestro caso, puesto que el cilindro está en aire: n ≥ 1. 41
9.4 (a) Expliqui com podria desviar íntegrament un feix de llum un angle de 90º utilitzant un prisma transparent la base del qual és un triangle rectangle isòsceles i determini el valor mínim de l’índex de refracció del prisma. (b) Id. id. si l’angle fos 180º. (c) Expliqui com podria muntar un periscopi utilitzant dos prismes.
a) Tendremos el esquema de la figura La luz debe incidir normalmente a un cateto de la base del prisma. En la primera superficie el ángulo de incidencia respecto a la normal es nulo y, por lo tanto, el ángulo de refracción también lo debe ser. Es decir el rayo no sufre desviación. En la segunda superficie el ángulo de incidencia es 450 y, para que se produzca reflexión total, este ángulo debe ser igual al ángulo crítico. Es decir
π θc =
El índice de refracción mínimo del prisma debe ser
2 1. 414 2
sen θ
nsenθ 1 n c
c = ⇒ = = = =
b) En este caso el esquema será el que se indica en la figura. La luz tiene que incidir normalmente a la hipotenusa de la base del prisma. En esta superficie el ángulo de incidencia es nulo y por lo tanto también lo es el de refracción. En la segunda superficie, al igual que en el apartado anterior, el
ángulo de incidencia ( 4
π ) debe ser igual al ángulo
crítico de reflexión total. Se tendrá
π θc =
La luz reflejada en este cateto incidirá en el segundo formando el mismo ángulo de incidencia que en el primero. Por lo tanto también sufrirá reflexión total. El índice de refracción mínimo del prisma debe ser:
2 1. 414 2
sen θ
nsenθ 1 n c
c = ⇒ = = = =
c) Para construir un periscopio utilizaríamos dos prismas en la configuración del apartado a). Así tendríamos el esquema que se indica en la figura.
