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INDUCCIÓ ELECTROMAGNÉTICA
6.1 Dues barres conductores paral·leles disten a i estan unides en un extrem per un conductor. Sobre elles llisca perpendicularment una altra barra conductora que es mou amb velocitat v constant. Determini la força electromotriu induïda al circuit i el sentit del corrent que circula quan existeix un camp magnètic B uniforme i perpendicular al pla de les barres.
Tendremos la situación de la figura. En un tiempo dt la barra se habrá desplazado una distancia d =vdt. La variación de flujo magnético será debida a la variación de la superficie del circuito. Esta variación será: dS =dv dt Por lo tanto la variación de flujo dΦ =BdS=Bdv dt La f.e.m. inducida en el circuito debido a esta variación será:
Bv d dt
d Φ e =− =−
y la intensidad de la corriente inducida:
R
Bvd R
e i = =−
El signo menos, puesto que hemos tomado el flujo positivo (es decir el vector dS
hacia dentro del papel y por lo tanto el sentido positivo de recorrido del contorno el sentido horario), indica que la corriente recorre el circuito en sentido antihorario.
6.2 En un camp magnètic uniforme B, una barra conductora de longitud a es mou amb velocitat v constant perpendicular a la barra i sobre un pla perpendicular al camp. Consideri l’acció de la força magnètica sobre les càrregues lliures de la barra i determini la diferència de potencial que apareix entre els extrems de la barra. Expliqui com s’origina el corrent induït del problema anterior.
En la Figura se representa un esquema del sistema. Al moverse la barra conductora, sus cargas están sometidas a la Fuerza de Lorentz debida al campo magnético creado por el hilo
F qv B
= ×
Tendremos:
F qvay B( ax) qvBa z
= × − =
Esta fuerza desplazará las cargas positivas hacía la parte superior de la barra y las negativas hacia la parte inferior (si la barra es metálica de hecho sólo se desplazan las negativas hacia la parte inferior y dejan una zona de carga positiva en la
zona superior). Las cargas se acumulan en los extremos de la barra y crean un campo eléctrico dirigido de las cargas positivas a las negativas (de la parte superior a la inferior). En equilibrio la fuerza que ejerce este campo sobre una carga será igual a la fuerza de Lorentz pero de sentido opuesto. Es decir:
Ftotal 0 qE qv B qvBa z
= ⇒ =− × =−
de donde:
E vBa z
La diferencia de potencial será:
−
−
V+ − V−= E⋅dl= Edl(−az)⋅(−az)=vBa
En resumen: V+ − V−= vBa
6.3 Una espira conductora circular elàstica es troba en una regió de camp magnètic uniforme B perpendicular al seu pla. L'espira s'expansiona amb una velocitat v constant, de manera que el seu radi varia amb el temps de la forma a = a 0 +v.t. Calculi la fem induïda a l'espira i discuteixi el sentit del corrent induït amb l'ajut d'un dibuix.
Flujo magnético
S
2 0 Φ B dS BS Bπa^2 Bπ(a vt)
Fuerza electromotriz inducida A partir de la Ley de Faraday tenemos:
(a vt) - 2 πv(a vt)B - 2 πva B dt
d
d Φ e =− = 0 +^2 = 0 + =
Es decir: e =- 2 πva B
En la Figura (a) se representa la espira y se indica el sentido positivo de recorrido de su contorno
determinado por el sentido de dS
Puesto que la fuerza electromotriz es negativa y la intensidad también lo será, es decir que la corriente recorre la espira en sentido contrario al que se ha tomado como positivo (Figura b).
Puesto que el flujo magnético aumenta al aumentar la superficie de la espira, la corriente inducida crea un campo magnético opuesto al campo externo para contrarrestar el aumento de flujo.
6.6 Sobre el solenoide del problema anterior hi bobinem coaxialment un segon solenoide de N 2 espires, radi R 2 >R 1 i longitud l****. Determini el coeficient d'inducció mútua M de les dues bobines.
Flujo debido al campo del solenoide 2 a través de una espira del solenoide 1:
2 2 1
2 21 0 I πR
N
Φ' μ
donde se ha utilizado el campo del solenoide 2 considerado como indefinido en puntos interiores
2
2 0 2 2 0 I
N
B μ n I μ
Flujo total a través del solenoide 1 debido al campo debido al solenoide 2:
2
2 1
1 2 21 1 21 0 πR I
N N
Φ N Φ' μ
Coeficiente de inducción mutua:
π R
N N
μ I
M M 0 1 2 12
2
1 21
Podríamos haber calculado el coeficiente de inducción mutua del solenoide 1 sobre el 2. En este caso tendríamos: Flujo debido al campo del solenoide 1 a través de una espira del solenoide 2:
2 1 1 1 12 0 I πR
N
Φ' μ
donde se ha utilizado el campo del solenoide 2 considerado como indefinido en puntos interiores
1 1 0 1 1 0 I
N
B μ n I μ
y se ha tenido en cuenta que el campo creado por el solenoide 1 es nulo entre R 1 y R (^2) (puntos exteriores al solenoide 1) y por lo tanto, aunque se calcule para una espira del solenoide 2 de radio R 2 , sólo hay flujo a través de una superficie de radio R 1.
Flujo total a través del solenoide 2 debido al campo debido al solenoide 1:
1
2 1 2 1 21 2 12 0 πR I
N N
Φ N Φ' μ
Coeficiente de inducción mutua:
π R
N N
μ I
M M 0 1 2 21
1
2 12 = =^ =
Se observa que el coeficiente de inducción mutua es el mismo. (a) U=μoI 2 h[1/4+ln(b/a)]/(4π), (b) L=μoh[1/4+ln(b/a)]/(2π)
6.7 Per un cable coaxial de radis a, b i c (a<b, b=c), i longitud h (h>>c), circula un corrent d’intensitat I. Determini (a) l'energia magnètica emmagatzemada al cable, (b) la inductància del cable.
La energía magnética la determinaremos a partir de
B dv 2 μ
U
v
2 0
m = ∫
Con el campo magnético obtenido en el Problema 5.5 (en este caso b=c)
2 φ
(^0) a 2 πa
μIr r a B
φ
(^0) a 2 πr
μI a r b B
r > b B= 0
Puesto que el campo depende de r, para poder integrar al volumen del campo coaxial tomaremos elementos de volumen del tipo dv = 2 πrhdr (representan cáscaras cilíndricas de radio r espesor infinitesimal dr y altura h).
Se tendrá:
b
a
2 0 0
a^2
0
2
0 v 0
2 0
m 2 πrhdr 2 πr
μI 2 μ
2 πrhdr 2 πa
μ Ir 2 μ
Bdv 2 μ
U
(no se ha considerado r>b puesto que en esta zona el campo es nulo).
Integrando se obtiene:
a
b ln 4
4 π
μ hI U
2 0 m
