Estadística Matemàtica. Curs 2006-2007
Exercicis del Tema 3: Principis de reducció de dades
1. Calcular la funció de versemblança per a una mostra aleatòria de grandària n de cada
una de les poblacions següents:
a) N(µ,σ2)b) Exp(λ)c) Po(λ)d) Geo(π)
2. Proporcionar la funció de versemblança per a una mostra aleatòria de grandària n per
a un membre de la família exponencial:
f(x|θ) = B(θ) h(x) exp(Q(θ) R(x))
3. L’experimentador A observa un procés de Poisson amb intensitat λ i considera com a
observació el temps t0 que ha passat fins que ha ocorregut el succés k-èsim, on k és un
cert nombre prefixat amb anterioritat. L’experimentador B observa el mateix procés,
però prefereix prefixar amb antelació el temps que observa el procés en lloc del
nombre de successos. Si B prefixa t0 i resulta que observa precisament k successos,
demostrar que A i B tenen la mateixa funció de versemblança.
4. Es comença a observar n components electrònics simultàniament, es deté
l’observació en l’instant I. Es troba llavors que n-k continuen funcionant i que k s’han
avariat, coneixent-se exactament quan s'han produït les avaries. Suposant que els
temps d’avaries segueixen una distribució Exp(θ) determina la funció de
versemblança de θ.
5. La toxoplasmosis és una malaltia que pot ser transmesa a les persones pels gats. Per
a assignar la magnitud del perill potencial que suposa tindre gats en casa, un equip
d’epidemiòlegs va comprovar en una ciutat A, que de N gats estudiats n tenien
anticossos de toxoplasmosis, indicant que almenys una vegada havien contret la
malaltia. D’altra banda, en una ciutat B, es va observar que de M gats, m tenien
anticossos de toxoplasmosis. Se suposa que la probabilitat que un gat de la ciutat A
haja tingut toxoplasmosis és π i que aqueixa probabilitat per a un gat de B és π2,
determina la funció de versemblança de π.
6. El temps de vida, X, dels individus d’una certa població és una variable aleatòria
absolutament contínua amb funció de densitat: f(x | θ) = θ exp(-θ x) si x > 0, i val
zero en qualsevol altre cas. En una experiència es disposa de 10 individus, tots ells
nascuts en l’instant x = 0. S’efectua observacions de la supervivència en els instants x
= 1, x = 2 i x = 3, resultant que en l’instant x = 1 sobreviuen 8 individus, en l’instant x
= 2 sobreviuen 3 individus i en l’instant x = 3 han mort tots. Determina la funció de
versemblança de θ.
