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1. Productos de dos binomios con un término común
(x + a)(x + b) =x^2 + (a + b)x + ab
Ejemplos: Y (x + 5)(x + 3) = (x)^2 + (5 + 3)x + (5)(3) = x^2 + 8x + 15 Y (x + 4)(x – 2) = (x)^2 + (4 – 2)x + (4)(–2) = x^2 + 2x – 8 Y (x –3)(x–7) =(x^2 ) + (–3–7)x + (–3)(–7) = x^2 –10x + 21
2. Binomio al cuadrado
(a+b)^2 = (a)^2 + 2(a)(b) + (b)^2 (a –b)^2 = (a)^2 –2(a)(b) + (b)^2
Ejemplos: Y (x + 3)^2 = (x)^2 + 2(x)(3)+3^2 = x^2 + 6x + 9 Y (2x +5)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(5) + (5)^2 = 4x + 20x + 25 Y (3x – 2y)^2 = (3x)^2 –2(3x)(2y) + (2y)^2 = 9x 2 –12xy+ 4y^2
3. Producto de binomio, suma por binomio diferencia (diferencia de cuadrados)
(a + b)(a – b) = a^2 – b^2 (a – b)(a + b) = a^2 –b^2
Ejemplos: Y (x + 4)(x–4) = (x^2 ) –(4)^2 = x^2 – 16 Y (3x – 4)(3x + 4) = (3x)^2 –(4)^2 = 9x^2 – 16 Y ( 5 +2)( 5 –2) = ( 5 )^2 –(2)^2 = 5–4 = 1
4. Identidades de Legendre
(a+b)^2 + (a–b)^2 = 2(a^2 + b^2 ) (^) (a+b)^2 –(a –b)^2 = 4ab
Ejemplos: Y (3x + 2)^2 + (3x–2)^2 = 2[(3x)^2 + (2)^2 ] = 2[9x^2 + 4] = 18x^2 + 8 Y (3x + 5y)^2 – (3x –5y)^2 = 4(3x)(5y) = 60xy
Nota: Z (a + b)^2 ≠ a^2 + b^2 Z (a–b)^2 ≠ a^2 –b^2
PRODUCTOS NOTABLES AL CUADRADO
Trabajando en clase
Integral
1. Reduce:
A =(x + 1)(x + 5) – (x + 4)(x + 2)
2. Efectúa:
A =(x + 3)^2 + (x – 3)^2
3. Reduce:
(x – 3)(x + 3) – (x + 4)(x – 4)
PUCP
4. Reduce: (x + 5)^2 + (x – 5)^2 + 3x^2 Resolución: Por la identidad de Legendre: (x + 5)^2 + (x –5)^2 + 3x^2 2[(x)^2 + (5)^2 ] + 3x^2 2x 2 + 50 + 3x^2 5x 2 + 50 5. Reduce: (x + 3)^2 + (x – 3)^2 – 2x^2 6. Reduce:
A =
(2x+3y)^2 – (2x– 3y)^2 6
7. Reduce:
A = (x+2y)
(^2) + (x–2y) 2 x^2 + 4y^2
UNMSM
8. Si a + b = 5 ∧ ab = 2, calcula el valor de «a 2 + b^2 »
Resolución: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 (5)^2 = a^2 + 2(2) + b^2 25 = a^2 + 4 + b^2 25 – 4 = a^2 + b^2 21 = a^2 + b^2
9. Si a +b = 5 ∧ ab = 4, calcula el valor de «a^2 + b^2 » 10. Si a – b = 7 ∧ ab = 2, calcula el valor de «a^2 + b^2 » 11. Calcula el valor de «m + n» si m^2 + n^2 = 80 ∧ mn = 10
UNI
12. Si x^2 + 2x = 3, calcula el valor numérico de la siguiente expre- sión: A = (x + 1)^2 + (x + 5) (x – 3)
Resolución: A = (x + 1)^2 + (x + 5)(x – 3) A = x^2 + 2x + 1 + x^2 + 2x – 15; reemplazando: x 2 + 2x = 3 A = 3 + 1 + 3 – 15 A = – 8
13. Si x^2 – 4x = 5, calcula el valor numérico de la siguiente expre- sión: A = (x – 2) 2 + (x – 5)(x + 1) 14. Si x –^1 x
= 5, calcula: x 2 + x–
