¡Descarga Programacion Lineal - INACAP y más Apuntes en PDF de Técnicas de Optimización en Ingeniería solo en Docsity!
Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas
Recuerda: La región solución de un sistema de inecuaciones lineales puede ser no acotada o acotada (región representada por un polígono y su interior).
Programación lineal
Aprendizaje esperado Resuelve un problema dado mediante el planteamiento y resolución de un sistema de inecuaciones lineales en forma gráfica determinando la región solución. Criterios de evaluación: Representan en forma gráfica la región solución de un sistema de inecuaciones lineales.
EJERCICIO RESUELTO:
Determinar gráficamente la región del plano o conjunto solución correspondiente al siguiente sistema de inecuaciones lineales.
DESARROLLO
Primero se debe graficar el semiplano correspondiente a cada inecuación para luego intersectar los semiplanos y obtener el conjunto solución.
i) Para x y 1 , se grafica la recta asociada a la ecuación ( x y 1 ). Esta recta divide al plano
en dos semiplanos. Para determinar el semiplano solución se considera un punto perteneciente a uno de los semiplanos definidos y se evalúa en la inecuación. Consideramos el punto (0,0). Al evaluarlo se obtiene que: 0 0 1 0 1 Como este resultado es verdadero, pues 0 es menor que 1, el punto (0,0) pertenece al semiplano solución de la
inecuación x y 1
Por lo tanto, el semiplano solución es el que se ubica sobre la recta y que contiene al punto (0,0). En este caso, la recta se dibuja como una línea continua, pues está contenida en la solución ( ).
La gráfica de la inecuación x y 1 se muestra en la
imagen 1.
x y x y y x y
(^) Imagen 1
Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas
ii) Para la inecuación 3 x 2 y 2 se grafica la recta asociada a la ecuación ( 3 x 2 y 2 ), dividiéndose el plano en dos semiplanos. Para determinar el semiplano solución, se considera un punto perteneciente a uno de ellos y se evalúa en la inecuación. Considerando el punto (^) 1, (^1) , al evaluarlo se obtiene que: (^3) 1 (^2) 1 2
Como se produce una contradicción, pues -5 no es mayor que -2, el semiplano solución es el que se ubica sobre la recta y que no contiene al punto ( 1, 1). En este caso, la recta se dibuja como una línea continua, pues está contenida en la solución ( ). La gráfica de la inecuación 3 x^ ^2 y ^2 se muestra en la imagen 2.
iii) Para la inecuación y 4 se grafica la recta asociada a la ecuación ( y 4 ). Dividiéndose así el
plano en 2 semiplanos.
Para determinar el semiplano solución, se considera un punto perteneciente a uno de los semiplanos definidos y se evalúa en la inecuación.
Considerando el punto 1,1 , al evaluar se obtiene que: 1 4 Como este resultado es verdadero, pues 1 es menor que 4, el punto (1,1) pertenece al semiplano solución de la inecuación
y 4.
En este caso, la recta se dibuja como una línea punteada, pues ésta no pertenece a la solución . La gráfica de la inecuación y 4 se muestra en la imagen 3. Imagen 3
Imagen 2
Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas EJERCICIOS PROPUESTOS: Determina gráficamente la región del plano o conjunto solución para cada sistema indicando si es una región acotada o no acotada.
1.
x y y x x y
2.
x y x
3.
x y y x x y
4.
42 5 21 32 21 1 2 5 9 2
x y x y x y x
5.
x y x y x
6.
x y x y x y x y
RESPUESTAS :
1. Región acotada 2. Región no acotada 3. Región no acotada 4. Región acotada 5. Región no acotada 6. Región no acotada
Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas
Criterios de evaluación: Plantea un problema de programación lineal en un sistema de inecuaciones, identificando las variables de decisión, las correspondientes restricciones y la función objetivo.
EJERCICIOS RESUELTOS:
Problema de minimización
Se requiere programar una dieta con dos alimentos X e Y. Cada unidad de alimento X contiene 250 calorías y 20 g de proteínas. La unidad de alimento Y contiene 300 calorías y 10 g de proteínas. La dieta requiere como mínimo 1.200 calorías y 60 g de proteínas diarias. El precio de cada unidad de alimento X es $800 y $700 el de cada unidad de alimento Y. Identifica las variables de decisión, la función objetivo y las correspondientes restricciones para calcular cuántas unidades de cada alimento debe contener la dieta para minimizar el costo.
DESARROLLO
Para resolver este problema, identificamos que es un problema de minimización ya que se quiere minimizar el costo de la dieta que contenga cierto número de unidades de cada alimento. Se organiza la información en la siguiente tabla.
Alimento X Alimento Y Mínimo Calorías 250 300 1200 Proteínas 20 10 60 Costo 800 700
El siguiente paso es identificar las variables de decisión
Sea x :Número de unidades del alimento X
y : Número de unidades del alimento Y
De acuerdo con los datos del problema, la minimización del costo está dada por la optimización de la función objetivo siguiente:
F x y ( , ) 800 x 700 y
El conjunto de restricciones lineales para las variables x e y , está dado por el número de calorías
y gramos de proteínas que contienen los alimentos.
x y x y
TIPS: Como la dieta requiere como mínimo 1200 calorías por eso utilizamos el signo. Lo mismo ocurre con las proteínas ya que la dieta requiere como mínimo 60 gr de proteínas utilizamos el signo.
Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas
Además, debe cumplirse que x 0 , y 0 , porque el número de artículos que se fabricarán no
pueden ser negativos.
EJERCICIOS PROPUESTOS:
Identifica las variables de decisión, la función objetivo y las correspondientes restricciones para resolver los siguientes problemas.
- Una empresa elabora dos productos: A y B para fabricar cada unidad del producto A, se necesitan 2 obreros y 1 técnico; para cada unidad del producto B, 3 obreros y 3 técnicos. Se desea aprovechar el trabajo simultáneo de 18 obreros y 12 técnicos al menos. Si cada unidad del producto A, tiene un costo de $2.500, y cada unidad del producto B, un costo de $ 4.000, calcula la cantidad de cada artículo que se debe producir para que el costo sea mínimo.
- Una camioneta tipo A puede transportar 5 cajas y 1 tambor, una del tipo B, 2 cajas y 1 tambor. Se quiere trasladar como mínimo 20 cajas y 7 tambores. El costo del flete es $20.000 para la camioneta tipo A y $9.000 para el tipo. Calcula cuántos viajes conviene hacer en cada camioneta para que el flete tenga un costo mínimo.
- Una fábrica de conservas envasa salsa de tomates de dos tipos: A y B. la primera contiene 200 gramos de tomate y 25 gramos de carne por tarro, la segunda 150 gramos de tomate y 50 gramos de carne. Calcula cuántos tarros de cada uno deben fabricarse con 4 kilogramos de tomates y 1, kilogramos de carne si se quiere obtener el máximo número de tarros.
- Un atleta debe tomar por lo menos 4 unidades de vitamina A, 6 de vitamina B y 12 de vitamina C cada día. Hay dos productos en polvo P1 y P2 que por cada frasco contiene las siguientes cantidades de esas vitaminas
A B C P1 4 1 4 P2 1 6 6 Si el precio de un frasco de P1 es de $5.000 y el de un frasco P2 es de $8.000, averigüe como deben mezclar ambos productos para obtener las vitaminas deseadas con el mínimo precio.
Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas
RESPUESTAS
- Variables de decisión: x :cantidad de artículos A, y :cantidad de artículos B
Función objetivo: F (^) x y , (^) 2500 x 4000 y Restricciones:
x y x y x y
- Variables de decisión: x :cantidad de viajes camioneta tipo A, y :cantidad de viajes camioneta tipo A.
Función objetivo: F (^) x y , (^) 20000 x 9000 y Restricciones:
x y x y x y
- Variables de decisión: x :número de tarros salsa A y :número de tarros salsa B
Función objetivo: F (^) x y , (^) x y Restricciones:
x y x y x y
- Variables de decisión: x :cantidad de P1 y :cantidad de P2.
Función objetivo: F (^) x y , (^) 5000 x 8000 y Restricciones:
x y x y x y x y
Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas
EJERCICIOS RESUELTOS:
i) Los vértices de un polígono son (0,0); (7,0); (6,5); (4,8); y (0,7). Determine el máximo de la función objetivo F x y ( , ) 200 x 300 y , en la región factible determinada por el polígono y su interior.
DESARROLLO Para resolver este ejercicio, primero se realiza la gráfica de la región factible en el plano cartesiano, la región está determinada por el polígono y su interior.
Luego, para obtener el máximo de la función objetivo F x y ( , ) 200 x 300 y se trazan rectas paralelas a la función objetivo. Utilizando rectas de la forma 200 x 300 y k k R
Podemos notar que cualquiera de ellas no es paralela a las rectas frontera de la región factible, por lo tanto basta evaluar la función objetivo en los vértices de esta región para obtener el punto que lo maximiza.
Vértice Valor de la función objetivo 0, 0 F^ 0,0^ ^ 200 0^ ^ 300 0^ ^0 7, 0 F^ 7,0^ ^ 200 7^ ^ 300 0^ 1. 6,5 F^ 6,5^ ^ 200 6^ ^ 300 5^ 2. 4,8 F^ 4,8^ ^ 200 4^ ^ 300 8^ 3. 0, 7 F^ 0,7^ ^ 200 0^ ^ 300 7^ 2.
Por lo tanto, el máximo de la función objetivo se obtiene en el vértice 4,8y su valor es 3.200. En este caso la región factible es acotada y su solución es única.
Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas
ii) Los vértices de un polígono son A 1, 4, B 2,5, C 6, 4, D 7, 2, E 4,1
Determine el mínimo de la función objetivo F x y ( , ) 3 x 3 y , en la región factible determinada por el polígono y su interior.
DESARROLLO
Al igual que el ejercicio anterior, primero se realiza la gráfica de la región factible en el plano cartesiano. La región está determinada por el polígono y su interior.
Luego, para obtener el mínimo de la función objetivo F x y ( , ) 3 x 3 y se trazan rectas paralelas a la función objetivo.
Utilizando rectas de la forma 3 x 3 y k k R
Podemos notar que el segmento AE es paralelo a
las rectas trazadas, por lo tanto, el mínimo no lo alcanza en uno de sus vértices sino que en los
infinitos puntos del segmento AE.
Veamos en la tabla
Vértice Valor de la función objetivo A 1, 4 F (^) 1, 4 3 1 3 4 15 B 2,5 F (^) 2,5 (^) 3 2 3 5 21 C 6, 4 F (^) 6, 4 (^) 3 6 3 4 30 D 7, 2 F (^) 7, 2 3 7 3 2 27 E 4,1 F (^) 4,1 3 4 3 1 15
Observamos que el valor mínimo se toma en los puntos A y E y en todos los valores comprendidos en el segmento AE , por lo tanto, tiene infinitas soluciones.
Para tener presente: Un problema de máximos no tiene solución si la región factible no está acotada superiormente, y un problema de mínimos no tiene solución si la región no está acotada inferiormente.
Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas
Aprendizaje esperado Determina las restricciones de un problema de programación lineal modelado por un sistema de inecuaciones y con solución optima en forma grafica.
Criterios de evaluación: Determina la representación gráfica de la región solución y los puntos de optimización para la función objetivo.
EJERCICIO RESUELTO
La función objetivo de un problema de programación lineal es F x y ( , ) 10 x 12 y y las restricciones para las variables son:
3 5 35 2 3 22 10 0 0
x y x y x y x y
Determina gráficamente la región del plano que es conjunto solución del problema, los puntos de optimización, el máximo de la función y los valores x e y donde este se produce.
DESARROLLO
Para resolver el problema, primero se determina gráficamente la región solución del sistema de inecuaciones intersectando los semiplanos de cada inecuación.
La región solución es el polígono que tiene por vértices los puntos O, A, B, C, D.
Luego se determinan las coordenadas de los vértices de la región solución.
El vértice A es el punto donde se intersecta la recta x y 10 con el eje x. Por lo tanto, A 10,0
Recuerda El resultado de un sistema de ecuaciones es el punto (x,y) donde se intersectan dos rectas. Teorema fundamental Si existe una solución que optimice la función objetivo, esta debe encontrarse en uno de los vértices de la región determinada por las restricciones del problema.
Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas
El vértice B es el punto donde se intersecta la
recta x y 10 con la recta 3 x 5 y 35
Para obtener B se realiza el sistema de ecuaciones: 10 3 5 35
x y x y
Luego, B 7,5 , 2,5
El vértice C es el punto donde se intersecta la recta 3 x 5 y 35 con la recta 2 x 3 y 22
Para obtener C se realiza el sistema de ecuaciones: 3 x 5 y 35 2 x 3 y 22 Luego, C 5, 4
El vértice D es el punto donde se intersecta la recta 3 x 5 y 35 con el eje y. Por lo tanto,
D 0,7
El vértice O es el punto (0,0) ya que se encuentra en el origen.
Según el teorema que se muestra en el recuadro, los vértices de la región objetivo son los puntos que optimizan la función, en el caso del ejercicio el máximo se encuentra en uno de los vértices.
Evaluando cada vértice en la función objetivo F (^) x y , (^) 10 x 12 y
Vértice Valor de la función objetivo O 0,0 F (^) 0,0 10 0 12 0 0 A 10,0 F (^) 10,0 10 10 12 0 100 B 7,5 , 2,5 F (^) 7,5 , 2,5 10 7,5 12 2,5 105 C 5, 4 F (^) 5, 4 (^) 10 5 12 4 98 D 0,7 F (^) 0,7 (^) 10 0 12 7 84
Por lo tanto, el máximo de la función objetivo se obtiene en el vértice B 7,5 , 2,5y su valor es 105.
Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas
RESPUESTAS
- La región solución es el polígono de vértices (^) 0,0 ; 16,0 ; 0,12 ; 14, 4 ; 9,9 , el valor
máximo es F (^) 14, 4 8.150y el valor mínimo es F (^) 0,0 (^) 250.
- La región solución es la región interior al triángulo de vértices (^) 3,3 ; 3,7 ; 5,7 , el valor
máximo es F 5,7 17.
- La región solución es la región en el primer cuadrante exterior al polígono de vértices 0,0 ; 0,9 ; 2,5 ; 7,0 ^ , el valor mínimo es^ F^ 0,9^ ^54.
- La región solución es la región en el primer cuadrante exterior al polígono de vértices 0,0 ; 0, 40 ; 4,30 ; 10, 20 ; 20,10 ; 60,0 ^ , el valor mínimo es F^ 20,10^ ^910
Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas
Criterios de evaluación: Resuelve problemas de programación lineal mediante el método grafico.
EJERCICIO RESUELTO
Una dieta puede contener alimentos A y/o B. El alimento A contiene 5, 3 y 1 unidades de carbohidrato, proteínas y vitaminas por kilogramo, respectivamente; en tanto que el alimento B contiene 2, 2 y 4 unidades, respectivamente, de los productos indicados. Si una persona necesita un mínimo de 15 unidades de carbohidratos, 12 unidades de proteínas y 12 unidades de vitaminas mensuales, calcula el número de kilogramos de cada alimento que deben comprarse al mes para minimizar el costo de la dieta, sabiendo que el costo de A es $ 1.500 y el de B $700 el kilogramo.
DESARROLLO
Para resolver este problema, identificamos que es un problema de minimización ya que se requiere el costo mínimo de la dieta al optimizar la cantidad de cada alimento.
Se organiza la información en la siguiente tabla.
A B Unidades mensuales mínimas carbohidratos 5 2 15 proteínas 3 2 12 vitaminas 1 4 8 Costo $1.500 $
Se identifican las variables de decisión
Sea x :Número de kilogramos del alimento A.
y : Número de kilogramos del alimento B.
De acuerdo con los datos del problema, la minimización del costo está dada por la optimización de la función objetivo siguiente:
F x y ( , ) 1.500 x 700 y
El conjunto de restricciones lineales para las variables x e y , está dado por las unidades
mensuales de carbohidratos, proteínas y vitaminas que necesita cada persona.
5 2 15 3 +2y 12 4 8
x y x x y
Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas
Basados en el teorema fundamental, se remplazan los valores (^) x y , de cada vértice en la función objetivo.
Luego, seleccionamos el vértice que optimiza el problema.
El vértice que optimiza el problema es 3 15, 2 4
B ^
, ya que, el costo en este punto es el mínimo,
siendo este de $4.875. Por lo tanto, el número de kilogramos que deben comprarse al mes son 1,5del alimento A y3, del alimento B.
EJERCICIOS PROPUESTOS
- Un agricultor tiene que plantar árboles de dos clases A y B, en un terreno de 4.400 m². para un árbol A se necesitan 25m² de terreno y 30 unidades de agua al año. El árbol B requiere de 40 m² de terreno y 15 unidades de gua. Se dispone de 3.300 unidades de agua al año. Calcula el número de árboles que debe plantar de cada clase si quiere maximizar la producción de fruta, sabiendo que la producción de árboles A es 1,5 veces la de los de la clase B.
- Una empresa fabrica dos artículos, P y Q, que se elaboran usando dos máquinas A y B. el artículo P requiere de 3 horas de uso de la máquina A y una hora de la máquina B. el articulo Q demora una hora en la máquina A y 2 horas en la máquina B. la ganancia por artículo es de $1. y $1.300 respectivamente. Calcula la cantidad de artículos P y Q que se deben producir para que la ganancia sea máxima, si la máquina a puede trabajar hasta 12 horas diarias y la B, 14 horas
- Un pastelero dispone de 150 Kg de harina, 22 Kg de azúcar y 27,5 Kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles “pop” y “sup”. Para fabricar una docena de pasteles de tipo “pop” necesita 3 Kg de harina, 1 Kg de azúcar y 1 Kg de mantequilla, y para hacer una docena de pasteles tipo de tipo “sup” necesita 6 Kg de harina, ½ Kg de azúcar y un 1Kg de mantequilla. El beneficio que obtiene por una docena de pasteles de tipo “pop” es de $2.000 y por una docena de pasteles de tipo “sup” es de $3.000. Hallar el número de docenas que tiene que fabricar de cada clase para que las ganancias sea máxima.
Vértice Valor de la función objetivo 0,^15 2
A ^
F ^
B ^
F ^
C ^
F ^
D 8,0 F (^) 8,0 1.500 8 700 0 12.
Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas
- Un colegio va a realizar un paseo. En total participarán 400 personas entre alumnos y profesores, al llamar a una empresa de transportes obtienen la siguiente información: la empresa dispone de 8 buses de 40 asientos y 10 buses con 50 asientos. Para el día del paseo habrá 9 choferes disponibles. El costo de arriendo es de $ 30.000 por cada bus de 40 asientos y de $40. por cada bus de 50 asientos. Antes de contratar los buses, el director del colegio decide analizar cuantos buses de cada tipo les conviene arrendar para que el arriendo resulten los más económicos.
RESPUESTAS
- El máximo de la función objetivo se obtiene en ( A B , ) (80,60). 80 árboles A y 60 árboles B.
- El máximo de la función objetivo se obtiene en el punto (^) P Q , (^) 2,6, 2 artículos en P y 6 en Q.
- El máximo de la función objetivo se obtiene en 5 , 22,5, 5 docenas de clase “pop” y 22 docenas y media de clase “sup”
- Lo más conveniente es 5 buses de 40 asientos y 4 buses de 50 asientos.
