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PROGRAMACION NO LINEAL 6 BUENO
Tipo: Apuntes
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¡No te pierdas las partes importantes!
Crear modelos con ecuaciones no lineales basados en problemas organizacionales de la actualidad, donde el principal objetivo sea minimizar costos y maximizar las utilidades.
La programación no lineal forma parte de la investigación de operaciones y también, como la programación lineal, tiene como finalidad proporcionar los elementos para encontrar los puntos óptimos para una función objetivo. En este planteamiento, tanto la función objetivo como las restricciones son no lineales.
Los problemas que contienen restricciones lineales, se resuelven de una forma más sencilla que los problemas con restricciones no lineales.
Una forma de resolver los problemas de programación no lineal es convirtiendo los problemas de forma tal, que se pueda aplicar la programación lineal. Los problemas de programación no lineal abarcan problemas con función objetivo no lineal y restricciones no lineales, como se presenta en el ejemplo siguiente: Maximizar Z= ($9.6 X - $0.06 X^2 ) + $10Y Sujeto a: 3 X^2 + 2Y^2 < 13, X > 0, Y > 0
Como se puede observar, tanto la función objetivo como la restricción presentan variables de segundo grado (potencia cuadrática); por lo tanto, son no lineales. Para comenzar con la resolución de un problema no lineal se representa la restricción en un gráfico, para ello, se utiliza el mismo procedimiento empleado en el método gráfico de programación lineal (véase tema 2.3 Algoritmos de solución). Considerando la desigualdad 3 X^2 + 2Y < 13, 950, se le asigna un valor de 0 a la variable Y, para encontrar el punto de X en el gráfico. Así mismo, se asigna un valor de 0 a la variable X, para encontrar el punto Y en el gráfico:
Despejando la variable X se procede de la forma siguiente: 3 X^2 + 2Y^2 < 13, 3 X^2 + 2(0)^2 < 13,
Para despejar la variable Y se procede como sigue: 3 X^2 + 2Y^2 < 13, 3 (0)^2 + 2Y^2 < 13, Y^2 < 13,950 / 2 Y^2 < 6, Y < 6, Y < 83.
De acuerdo con el procedimiento por el método grafico de programación lineal, se debe dibujar en un plano cartesiano cada una de las restricciones formuladas matemáticamente, de esa forma se representa como se muestra en el grafico siguiente la restricción considerada para este ejemplo:
La solución óptima para este ejemplo es X=30 y Y=75; sin embargo, puede calcularse matemáticamente. Para ello, se debe encontrar la derivada de la función objetivo, como se muestra a continuación: Se resuelve la ecuación de la función objetivo para encontrar a través de un procedimiento matemático el valor de las variables, despejando las variables mediante el uso del álgebra y aplicando el cálculo diferencial, como sigue:
Z = (9.6 X - $0.06 X^2 ) + $10Y
Z – $10Y = ($9.6 X - $0.06 X^2 )
dy dx =^ –^ 0.96 +^5
A partir de aquí se puede derivar, tomando en cuenta que Z es constante.
Una vez encontrada la derivada de la función objetivo, se procede a encontrar la derivada de la restricción, como se muestra a continuación:
El siguiente paso consiste en igualar los resultados de las dos derivadas, la derivada de la restricción con la derivada de la función objetivo.
–3X 0.06 X = – 0.96 + 2Y 5 1 –2 0.06 X = – 0.96 + Y 3X 5
Y = – 3X 2 – 0.96 + 0.06 X 5
Enseguida, se sustituye la ecuación Y resultante en la ecuación original de restricción.
2 2 2 A partir de^ aquí se puede derivar. d (^) (Y 2 )= dx
d dx
2 Y dy dx= (^) – 3 X
dy dx = (^) – 3 X 21 Y
dy dx = – (^32) YX
Con lo anterior, se tienen los valores óptimos de X e Y, por lo que ahora se procede a calcular la contribución óptima, sustituyendo los valores encontrados en la función objetivo: Z = 9.6 (30) - $0.06 (30)^2 + $10(75) Z= $ 984 Se puede concluir que la empresa necesita producir 30 unidades del producto X y 75 unidades del producto Y para tener una contribución máxima de $984.
Sujeto a: 2 X^2 + 3Y^2 < 12, X > 0, Y > 0
A menudo, las empresas tienen operaciones que son recurrentes; es decir, que vuelven a ocurrir una y otra vez, con diferentes valores cuantitativos dependiendo del tiempo en que suceden. Para estos casos, podemos predecir qué ocurrirá en el futuro, si conocemos con exactitud los precedentes o antecedentes históricos. Por ejemplo: una empresa realiza un depósito de $5,000 en su cuenta bancaria, con intereses anuales del 10% y quiere conocer cuánto dinero tendrá en diez años. Para conocer el monto en veinte años, se debe formular un algoritmo, denominado relación de recurrencia , que describa el problema en cuestión. Con cálculos simples, sabemos que los montos son de: Monto en 1 año = 5,000.00 + (1,000.00) (0.10) = $ 5,500.
Monto en 2 años= 5,500.00 + (5,500.00) (0.10) = $ 6,050. Monto en 3 años= 6,050.00 + (6,050.00) (0.10) = $ 6,655. Monto en 4 años= 6,655.00 + (6,655.00) (0.10) = $ 7,320. Como se puede observar, calcular uno por uno es un proceso tedioso, por lo que es necesario formular una relación de recurrencia, que con cambiar un dato, nos arroje el resultado deseado. Para este ejemplo, se aprecia que todas las ecuaciones tienen características comunes, que se pueden representar como: Pn = Monto que se tiene en el año n Pn = Pn + (0.11) (Pn), entonces, el monto para 2 años es P 2 = 5,500.00 = 5,500.00 + (5,500.00) (0.10) = $ 6,050. Para simplificar las operaciones en cada ecuación, se puede realizar otro algoritmo: P 2 = 5,500.00 (1.10) = $ 6,050. P 3 = 6,050.00 (1.10) = $ 6,655. Sin embargo, todavía se tiene que calcular año por año, hasta llegar al año 20, que es el que le interesa a la empresa. Se aprecia que 1.11, es constante para todos los años, por lo que la relación de recurrencia, queda de la siguiente forma: Pn = 1000 * (1.11)n
Para el año 2 = P 2 = 5,000.00 (1.10)^2 = $ 6,050.
Para el año 20 = P 20 = 5,000.00 (1.10)^20 = $ 33,637. De esta forma, se pueden crear relaciones de recurrencia para cada problema de la empresa, siempre que se conozcan los precedentes y las operaciones ocurran recurrentemente.
Mencione cuál sería la relación de recurrencia que mencione el número de personas que se enteraron del nuevo negocio en un mes
5.- ¿Qué herramienta matemática se usa en la solución de problemas de programación lineal?
a) La trigonometría. b) Geometría analítica. c) El cálculo diferencial y el álgebra.
d) La ecuación de la línea recta.
Hoy en día, las organizaciones necesitan ampliarse, diversificarse, modernizarse o cualquier otra modificación que les permita ser redituables. Estos cambios o modificaciones requieren de una serie ordenada de actividades, cada una de las
En la etapa de formación se definen los objetivos, se organizan los recursos con los que se dispone y se elabora un plan maestro donde se incluye el presupuesto. En la etapa de operación, se ejecuta el trabajo, se dirige el proyecto y se controlan aspectos que no estén funcionando de acuerdo con lo planeado. En la última etapa, denominada terminación, se evalúan los éxitos o fracasos y se elabora un reporte que servirá como antecedente para los nuevos proyectos. Con lo anterior, podemos definir a la administración de proyectos como la aplicación del proceso administrativo para llevar a cabo un conjunto de acciones que están interrelacionadas y con un orden secuencial, que presentan un resultado único que, por lo general, busca la rentabilidad económica.
6.2 Sistemas de administración pert y cpm Se denominan sistemas de administración ya que engloban un conjunto de actividades interrelacionadas entre sí y se encargan de administrar los proyectos que se deriven de necesidades de la empresa. Las técnicas PERT y CPM son métodos de ruta crítica, que no es más que una serie de actividades que presentan el mayor tiempo de duración en el proyecto. El sistema PERT (Program Evaluation and Review Technique) toma a los tiempos de realización de cada actividad como aleatorios; es decir, los tiempos aunque se definan puede que se acorten o se alarguen. Por ello, para efecto de construcción de redes, encontramos tiempos optimistas (cuando la actividad se realiza en menor tiempo), pesimista (cuando la actividad se realiza en un tiempo mayor) y real (cuando se realiza en el tiempo que se tenía programado). El sistema CPM (Critical Path Method) contribuye también a organizar las actividades de un proyecto y encontrar la duración del mismo. A diferencia del
sistema PERT, este método considera que todos los tiempos de las actividades son conocidos, por lo que existe una certeza de que todo se llevará a cabo de acuerdo con lo planeado. Para la construcción de redes, primero es necesario delimitar el proyecto y conocer cada una de las actividades que lo integrarán. Después se debe relacionar cada una de las actividades desde el inicio hasta el fin. Luego se debe construir un diagrama o red, en donde se presente la relación de las actividades de acuerdo con el orden de ejecución de cada una. Una vez construida la red, es necesario establecer los costos y el tiempo de ejecución de cada actividad. Después se debe identificar la ruta crítica (la ruta con mayor tiempo de duración). Esta red es una herramienta de ayuda al administrador, para tener un mayor control del proyecto.
6.3 CONSTRUCCIÓN DE REDES FLECHA-ACTIVIDAD Y NODO-ACTIVIDAD La red permite visualizar todas las actividades inmersas en el proyecto. Para su construcción se deben usar flechas que relacionan una actividad con otra y nodos o círculos que representan a las actividades. Para comenzar a elaborar la red, se debe tener presente la secuencia de cada actividad, cuál es primero y cuál después; también, es necesario conocer qué actividades deben ejecutarse antes de iniciar otra o qué actividades se pueden realizar al mismo tiempo.
