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INTEGRALES IMPROPIAS Y SUS APLICACIONES
Guido Antonio Vargas González. Facultad de Ingeniería Universidad de Cuenca. Email: [email protected] RESUMEN: En este trabajo trataremos las integrales impropias, estudiaremos las distintas clases y la manera de resolverlas mediante la utilización de métodos de integración ya aprendidos y el uso de los conceptos de los límites. También abordaremos sus aplicaciones en las que resolveremos áreas y volúmenes de funciones con límites de integración infinitos o funciones con discontinuidad. ABSTRACT: In this work we will treat the improper integrals, we will study the different classes and the way to solve them by means of the use of integration methods already learned and the use of the concepts of the limits. We will also address their applications in which we will solve areas and volumes of functions with infinite integration limits or functions with discontinuity. INTRODUCCIÓN 1.1 INTEGRALES IMPROPIAS Por el segundo teorema fundamental del cálculo se sabe que:
Si f es continua ∀ x ∈ [ a , b ] , donde a , b ∈ R ,entonces ;
∫ a b f ( x ) dx=F ( b)−F (a) En este caso tendremos los límites de integración discontinuos y con ± ∞. Pues a todas las integrales de este tipo se la denominan integrales impropias, las cuales pueden existir o no existir. Las integrales impropias son de dos tipos: I. Integrales impropias con limites infinitos. II. Integrales impropias con limites finitos. 2 MARCO TEORICO 2.1 INTEGRALES IMPROPIAS CON LIMITES INFINITOS Si analizamos el área bajo la curva de (^) ∫ 1 b dx x 2 donde f^ (^ x^ )=^
x 2 , y el eje x desde^ x=^1 hasta^ x=b. Figura 1. Grafica de la curva
x 2 dA=f ( x) dx ∫ 1 b dA=∫ 1 b f ( x ) dx A=∫ 1 b f ( x ) dx
A=∫
1 b dx x 2 El primer caso de integrales impropias con límites infinitos es cuando el límite de integración superior es +∞ , cuando b →+∞ lo podemos expresar como:
1 +∞ dx x
2 =^ blim →+ ∞^ ∫
1 b dx x 2 A= lim b →+∞
1 b dx x 2 A= lim b →+ ∞
x
1 b ¿ lim
b →+∞ (
b
Definición 2.1. Sif :¿ → R es una función continua, donde ∀ b>a la función es integrable en^ [a^ ,^ b]^ entonces la integral impropia la definimos por:
a +∞ f ( x ) dx= lim b →+∞
a b f ( x ) dx Si existe el límite y es número real diremos que la integral impropia es convergente, en caso contrario es divergente. Definición 2.1. Si f: Si f: (−∞ , b ¿ → R es una función continua donde (^) ∀ b>a la función es integrable en [a , b] entonces la integral impropia la definimos por:
−∞ b f ( x) dx= lim a→+ ∞
a b f ( x ) dx Si existe el límite diremos que la integral impropia es convergente, en caso contrario es divergente. Definición 2.1. Si f :(−∞ ,+∞ )→ R es una función continua, donde ∀ x ∈ R, entonces la integral impropia
−∞ +∞ f ( x) dxla definimos por:
−∞ +∞ f ( x) dx
−∞ c
f ( x) dx +∫
c +∞ f ( x ) dx lim a →−∞
a c f ( x ) dx+ lim b →+∞
c b f ( x ) dx Donde a<c< b, y c es un numero arbitrario cualquiera (^) ∈ R. Si las integrales impropias
−∞ c
f ( x) dx y ∫
c +∞ f ( x ) dx son convergentes entonces
−∞ +∞ f ( x) dxes convergente, caso contario se dice que es divergente. Si (^) f (x)≥ 0 entonces las integrales impropias convergentes representan el área de la región plana que determina la grafica de la función f y el eje x. 2.2 INTEGRALES IMPROPIAS CON LIMITES FINITOS Definición 2.2.
Si una función f es continua en [ a , b) ↔ b es
continúa por la izquierda, entonces la integral
impropia ∫
a b f ( x ) dx la definimos como:
a b f ( x ) dx=lim ε → 0
a b−ε f ( x ) dx lim b → c−¿ ∫ a b f ( x) dx ¿
Área bajo la curva: ∫ 0 1 dx √ x^ √^1 −x Como en los límites de integración la función no existe, esta área bajo la curva la trataremos como una integral impropia. Aplicando sustitución trigonométrica: senθ=√x → θ=sen − 1 √ x sen 2 θ=x 2 senθcosθdθ=dx Sabiendo que (^) cosθ=√ 1 −sen^2 θ, entonces: lim ¿ a → 0 +^ ¿ ∫ a (^12) 2 senθcosθdθ senθcosθ +lim^ ¿b→ 1 −¿^ ∫ 1 2 b 2 senθcosθdθ senθcosθ ¿ ¿¿
Simplificando: lim ¿ a → 0 +^ ¿^2 ∫ a (^12) dθ+lim ¿b→ 1 −¿ (^2) ∫ 1 2 b dθ¿ ¿¿
Integrando y evaluando: lim ¿a → 0 + ¿ (^2) ¿ ¿ ¿ lim ¿ a → 0 +^ ¿( 2 sen−^1 √ 2 − 2 sen−^1 √ a)¿
- lim ¿ b → 1 −¿( 2 sen−^1 √b− 2 sen−^1 √ 2 )¿
Aplicando límites: A= π 2 − 0 + π − π 2 A=π u 2 Entonces decimos que el área bajo la curva es convergente a (^) π unidades cuadradas. Figura 2. Grafica de la curva
√x^ √^1 −x 5 CONCLUSIONES Al culminar este trabajo pudimos analizar, observar y determinar las integrales impropias y las distintas maneras de resolverlas en los distintos casos aplicando métodos del cálculo integral ya aprendidos en las clases. También podemos concluir que al finalizar el estudio que las integrales impropias también pueden ser aplicadas para encontrar áreas, volúmenes, etc. de funciones con límites de integración infinitos o funciones con discontinuidades. 6 RECOMENDACIONES Como recomendación al finalizar este proyecto, me gustaría decir que al analizar las integrales impropias debemos tener muy en cuenta los conceptos y las aplicaciones de los límites y de los diversos métodos de integración para así poder comprender las integrales impropias y así resolver los ejercicios de la mejor manera. 7 REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFIA [1] Leithold, L. El Cálculo. 7ma. Edición. Editorial Oxford. [2] IngenieríaElectrónica. 2018. [En línea]. Disponible en:
https://ingenieriaelectronica.org/integrales- impropias-definicion-ejemplos-y-ejercicios- resueltos/ [3] GeoGebra. 2019. Calculadora gráfica. [En línea]. Disponible en: https://www.geogebra.org/graphing [4] Espinoza Ramos, E. Análisis Matemático II. 5ta. Edición.
