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Reporte de practica de Polinomio de Lagrange
Tipo: Ejercicios
1 / 17
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Polinomio de Lagrange
El polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph Louis de Lagrange, sirve para interpolar
un conjunto de n datos siempre será de grado n- 1
0
1
2
2
3
3
𝑛
𝑛
𝑁
𝑖
𝑖
𝑛
𝑖= 0
Donde
N= es el grado del polinomio (N=n-1)
N=es el número de datos experimentales (n=N+1)
La interpolación consiste en encontrar un polinomio de grado n que pase pro los puntos
0
0
1
1
𝑛
𝑛
)), se construye un cociente 𝐿
𝑛
𝑖
) = 0 cuando
1
𝑛
𝑘
Se requiere entonces que el numerador contenga
0
1
𝑘− 1
𝑘+ 1
𝑛
El denominador debe coincidir cuando el numerador cuando 𝑥 = 𝑥 𝑘
𝑖
𝑗
𝑖
𝑗
𝑛
𝑗= 1
𝑖≠𝑗
Suponiendo experimentalmente que tenemos 2 datos experimentales n=
i=
1
= x
2
1
2
i=
2
1
2
1
x
𝑁
𝑖
𝑖
𝑛
𝑖= 0
1
1
1
2
2
3
1
3
1
2
3
2
x
4
3
4
i=
4
1
4
1
2
4
2
3
4
3
x
𝑃
1
(𝑥) = 𝑦
1
(
𝑥 − 𝑥
2
𝑥 1
− 𝑥 2
) (
𝑥 − 𝑥
3
𝑥 1
− 𝑥 3
) (
𝑥 − 𝑥
4
𝑥 1
− 𝑥 4
) + 𝑦
2
(
𝑥 − 𝑥
1
𝑥 2
− 𝑥 1
) (
𝑥 − 𝑥
3
𝑥 2
− 𝑥 3
) (
𝑥 − 𝑥
4
𝑥 2
− 𝑥 4
) + 𝑦
3
(
𝑥 − 𝑥
1
𝑥 3
− 𝑥 1
) (
𝑥 − 𝑥
2
𝑥 3
− 𝑥 2
) (
𝑥 − 𝑥
4
𝑥 3
− 𝑥 4
)
4
(
𝑥 − 𝑥
1
𝑥
4
− 𝑥
1
) (
𝑥 − 𝑥
1
𝑥
4
− 𝑥
1
) (
𝑥 − 𝑥
3
𝑥
4
− 𝑥
3
)
Ejemplo 1
Obtener el polinomio de Lagrange que pase por todos los datos que se encuentran en la siguiente
tabla.
Calcular, con el polinomio obtenido, el valor de Y cuando X=1.
1
2
1
2
3
1
3
2
2
1
2
1
3
2
3
2
3
1
3
1
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
𝑃
2
( 𝑥
) = − 0. 9 𝑥
2
2
2
2
Ejemplo 2
Obtener el polinomio de Lagrange que pasa por todos los puntos de la tabla anterior utilizando
Matlab y graficar en una misma figura los datos de la tabla y el polinomio encontrado. Estimar para
x=1.
clc;clear all; close all
x=[0 1 2];
y=[2.3 3.5 2.9];
syms X
L1=(X-x(2))/(x(1)-x(2))*(X-x(3))/(x(1)-x(3));
L2=(X-x(1))/(x(2)-x(1))*(X-x(3))/(x(2)-x(3));
L3=(X-x(1))/(x(3)-x(1))*(X-x(2))/(x(3)-x(2));
P2=y(1)L1+y(2)L2+y(3)*L3;
P2=vpa(expand(P2),5)
%interpolacion
x0=1.3;format short
i=double(subs(P2,x0))
%grafica
plot(x,y,'pm')
hold on
xg=0:0.01:2;
yg=subs(P2,xg);
plot(xg,yg,'c')
plot(x0,i,'dk')
legend('Datos experimentales')
Ejemplo 3
A partir de los datos anteriores obtener el polinomio de Lagrange de primer orden para interpolar el
valor de Y cuando X=1.3. comprar el resultado con el del ejercicio anterior.
1
1
%polinomio grado 3
x=5:5:20;
y=[102.5 204.1 198.3 101.0]
L1=(X-x(2))/(x(1)-x(2))(X-x(3))/(x(1)-x(3))(X-x(4))/(x(1)-x(4));
L2=(X-x(1))/(x(2)-x(1))(X-x(3))/(x(2)-x(3))(X-x(4))/(x(2)-x(4));
L3=(X-x(1))/(x(3)-x(1))(X-x(2))/(x(3)-x(2))(X-x(4))/(x(3)-x(4));
L4=(X-x(1))/(x(4)-x(1))(X-x(2))/(x(4)-x(2))(X-x(3))/(x(4)-x(3));
P3=y(1)L1+y(2)L2+y(3)L3+y(4)L4;
P3=vpa(expand(P3),5)
%interpolacion
i=double(subs(P3,x0))
%grafica
xg=5:0.01:20;
yg=subs(P3,xg);
plot(xg,yg,'g')
1
1
2
2
2
3
3
2
3
Tarea del Polinomio de Lagrange
x F(x)
clc, clear, close all
%Ejercicio 1. Tarea de Polinomios de Lagrange
%Definiendo las variables
x=[1 2.7 3.2 4.8 5.6];
y=[14.2 17.8 22 38.3 51.7];
%Definiendo la variable simbóica
syms X
%Coonstrucción del polinomio
L1=(X-x(2))/(x(1)-x(2))(X-x(3))/(x(1)-x(3))(X-x(4))/(x(1)-x(4))*(X-
x(5))/(x(1)-x(5));
L2=(X-x(1))/(x(2)-x(1))(X-x(3))/(x(2)-x(3))(X-x(4))/(x(2)-x(4))*(X-
x(5))/(x(2)-x(5));
L3=(X-x(1))/(x(3)-x(1))(X-x(2))/(x(3)-x(2))(X-x(4))/(x(3)-x(4))*(X-
x(5))/(x(3)-x(5));
L4=(X-x(1))/(x(4)-x(1))(X-x(2))/(x(4)-x(2))(X-x(3))/(x(4)-x(3))*(X-
x(5))/(x(4)-x(5));
L5=(X-x(1))/(x(5)-x(1))(X-x(2))/(x(5)-x(2))(X-x(3))/(x(5)-x(3))*(X-
x(4))/(x(5)-x(4));
%Polinomio de grado 4
P4=y(1)L1+y(2)L2+y(3)L3+y(4)L4+y(5)*L5;
P4=vpa(expand(P4),5)
%Comprobación
xi=3.2;
i=double(subs(P4,xi))
%Gráfica de los datos experimentales y el polinomio ajustado
plot(x,y,'*r')
grid on
hold on
xg=0:0.01:6;
yg=subs(P4,xg);
plot(xg,yg,'b')
title('Gráfica de los datos proporcionados y el polinomio ajustado de
grado 4°')
xlabel('x')
ylabel('F(x)')
legend('Datos experimentales','Polinomio ajustado de grado 4')
𝟐
2
2
0
1
2
%p3 tarea
clc;clear all; close all
x=[0 1 0.9];
y=sqrt(1+(x.^2)+(3*x));
syms X
L1=(X-x(2))/(x(1)-x(2))*(X-x(3))/(x(1)-x(3));
L2=(X-x(1))/(x(2)-x(1))*(X-x(3))/(x(2)-x(3));
L3=(X-x(1))/(x(3)-x(1))*(X-x(2))/(x(3)-x(2));
P2=y(1)L1+y(2)L2+y(3)*L3;
clc;clear;close all
%Ejercicio 4 tarea
%% %Polinomio grado 1
x=[20 30];
y=[38.6 30.1];
syms X
%Estableciendo términos
L1=(X-x(2))/(x(1)-x(2));
L2=(X-x(1))/(x(2)-x(1));
%Polinomio de grado 1
disp('Polinomio de Primer grado')
P1=y(1)L1+y(2)L2;
P1=vpa(expand(P1),5)
%Interpolación
x0=24;
i=double(subs(P1,x0))
%Gráfica de puntos dispersos
x=[0 5 10 20 30];
y=[31.2 34.8 43.6 38.6 30.1];
plot(x,y,'b*')
hold on
%Gráfica
xg=20:0.01:30;
yg=subs(P1,xg);
plot(xg,yg,'--r')
grid on
hold on
%% %Polinomio grado 2
x=[10 20 30];
y=[43.6 38.6 30.1];
%Estableciendo términos
L1=(X-x(2))/(x(1)-x(2))*(X-x(3))/(x(1)-x(3));
L2=(X-x(1))/(x(2)-x(1))*(X-x(3))/(x(2)-x(3));
1
2
2
3
3
2
http://test.cua.uam.mx/MN/Methods/Interpolacion/Lagrange/Lagrange.php
https://es.slideshare.net/KikePrieto1/an- 18 - interpolacionmetodo-de-lagrange
