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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICAS ÁREA DE MATEMÁTICAS PROYECTO DE PROBLEMATIZACIÓN TEMA: ANALIZAR LA APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS E INTEGRALES EN EL CAMPO DE LA INGENIERÍA PARA LOS ESTUDIANTES DEL PRIMER SEMESTRE DE LA UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ ANÁLISIS MATEMÁTICO I RESPONSABLES: Alcívar Loor Eisten Steven Cedeño Alarcón Roddy Javier García Macías Adrián Marcelo Macías Ureta José André Mastarreno Álava Jean Carlos Mendoza Anchundia Mercedes Stephany Monge Bravo Alexis Mateo Ureta Alay Alejandro Adalberto Vera Zambrano Luis Marcos PROFESOR GUÍA: Ing. José Cevallos S Mg.Sc. PARALELO "B" PERÍODO ACADÉMICO: OCTUBRE 2017 – FEBRERO 2018
PORTOVIEJO – MANABÍ – ECUADOR
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADISTICA
EVALUACIÓN DEL PROCESO DEL TRABAJO DE INVESTIGACIÓN
ÁREA DE MATEMÁTICA: CÁLCULO DIFERENCIAL
NOMBRES Y APELLIDOS DEL EQUIPO FIRMA REGISTRO TOTAL DE EVALUACIÓN COEVAL. AUTOEVAL . HETEVAL . ALCIVAR LOOR EISTEN STEVEN CEDEÑO ALARCÓN RODDY JAVIER GARCÍA MACÍAS ADRIÁN MARCELO MACÍAS URETA JOSÉ ANDRÉ TEMA GENERAL: FECHA: ÍTEMS A EVALUAR 1 2 3 4 5 Se evidencia la capacidad del estudiante para trabajar conjuntamente con otros miembros del equipo de trabajo para un mismo fin. El estudiante transmite información y conocimiento a los otros miembros del equipo, para facilitar el desarrollo del proyecto o trabajo. El estudiante demuestra capacidad para resolver conflictos cuando se manifiestan tendencias contradictorias en el equipo, capaces de generar problemas, enfrentamientos y discusiones que no permitan el desarrollo adecuado del proyecto o trabajo del equipo. El estudiante demuestra capacidad para establecer líneas estratégicas para la consecución de los objetivos y metas del proyecto o trabajo. Consultar investigaciones anteriores sobre el tema Desarrollar un marco teórico Diseñar los instrumentos (encuestas, entrevistas, experiencias, etcétera); Analizar e interpretar los datos Realizar el trabajo de campo o las experimentaciones previstas Seleccionar el modo de comunicar los datos (cuadros estadísticos, etcétera) Extraer conclusiones (aquí se verificarán o no las hipótesis Elaborar el informe o la monografía siguiendo las normas establecidas para la presentación de trabajos. Puntualidad en la entrega de los avances de la investigación. FIRMA DEL DOCENTE
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADISTICA
EVALUACIÓN DEL PROCESO DEL TRABAJO DE INVESTIGACIÓN
ÁREA DE MATEMÁTICA: CÁLCULO DIFERENCIAL
NOMBRES Y APELLIDOS DEL EQUIPO FIRMA REGISTRO TOTAL DE EVALUACIÓN COEVAL. AUTOEVAL . HETEVAL . MASTARRENO ALAVA JEAN CARLOS MENDOZA ANCHUNDIA MERCEDES STEPHANY MONGE BRAVO ALEXIS MATEO URETA ALAY ALEJANDRO ADALBERTO VERA ZAMBRANO LUIS MARCOS TEMA GENERAL: FECHA: ÍTEMS A EVALUAR 1 2 3 4 5 Se evidencia la capacidad del estudiante para trabajar conjuntamente con otros miembros del equipo de trabajo para un mismo fin. El estudiante transmite información y conocimiento a los otros miembros del equipo, para facilitar el desarrollo del proyecto o trabajo. El estudiante demuestra capacidad para resolver conflictos cuando se manifiestan tendencias contradictorias en el equipo, capaces de generar problemas, enfrentamientos y discusiones que no permitan el desarrollo adecuado del proyecto o trabajo del equipo. El estudiante demuestra capacidad para establecer líneas estratégicas para la consecución de los objetivos y metas del proyecto o trabajo. Consultar investigaciones anteriores sobre el tema Desarrollar un marco teórico Diseñar los instrumentos (encuestas, entrevistas, experiencias, etcétera); Analizar e interpretar los datos Realizar el trabajo de campo o las experimentaciones previstas
Seleccionar el modo de comunicar los datos (cuadros estadísticos, etcétera) Extraer conclusiones (aquí se verificarán o no las hipótesis Elaborar el informe o la monografía siguiendo las normas establecidas para la presentación de trabajos. Puntualidad en la entrega de los avances de la investigación. FIRMA DEL DOCENTE
Índice
1. GENERACIÓN DE PROBLEMATIZACIÓN ...................................................................... 3 2. JUSTIFICACIÓN .................................................................................................................... 5 3. OBJETIVOS ............................................................................................................................. 6 3.1. OBJETIVO GENERAL ........................................................................................................ 6 3.2 Objetivos específicos ............................................................................................................... 6 4. MARCO TEÓRICO ................................................................................................................ 7 4.1. Aplicación de las Derivadas e Integrales en los Problemas de la Ingeniería ..................... 7 4.2. Calculo de derivadas e integrales ......................................................................................... 8 4.2.1. La derivada ......................................................................................................................... 8 4.2.1.1. Noción de derivada de una función en un punto. ........................................................ 9 4.2.1.2. Función derivada de una función. .............................................................................. 10 4.2.1.3. Significado geométrico de la derivada en un punto. ................................................ 10 4.2.1.4. Derivadas de las funciones elementales. ................................................................... 12 4.2.1.5. Propiedades de las derivadas. .................................................................................... 12 4.2.1.6. Derivadas de funciones compuestas. ......................................................................... 12 4.2.1.7. Derivadas de orden superior. ..................................................................................... 13 Integrales ..................................................................................................................................... 13 CONCLUSIONES .......................................................................................................................... 15 RECOMENDACIONES ................................................................................................................ 16 Referencias....................................................................................................................................... 16
función matemática. Las Integrales son una generalización de la suma de infinitos sumandos, ínfimamente pequeños, ¿Para qué Sirven las Integrales? Es necesario que entiendas que no estás solo, todo estudiante de ingeniería o cualquier persona que haya llegado a toparse con integrales en matemáticas se ha hecho la misma pregunta, varias veces. Por eso vamos a intentar contestar a esa pregunta.
2. OBJETIVOS 3.1. OBJETIVO GENERAL Analizar la aplicación de las derivadas e integrales en el campo de la ingeniería mediante técnicas innovadora en el equipo de trabajo para fortalecer el proceso de enseñanza- aprendizaje de los estudiantes del paralelo B de la cátedra de Análisis Matemático I. 3.2 Objetivos específicos Identificar las diferentes técnicas de derivación e integración para así ser capaces de aplicar la técnica adecuada según el problema, esto mediante el refuerzo de la experiencia concreta adquirida en clase. Reconocer los criterios de convergencia para calcular volúmenes, esto mediante los ejercicios propuestos en este proyecto, para la comprensión de la temática analizada. Estimular la capacidad de emplear las derivadas para determinar diferentes aspectos de estudio como: la recta tangente a una curva en un punto determinado, determinar máximos y mínimos y ser capaces de resolver problemas de optimización, mediante el fortalecimiento de conceptos teóricos y resolución de ejercicios de aplicación.
3. MARCO TEÓRICO
4.1. Aplicación de las Derivadas e Integrales en los Problemas de la Ingeniería La ingeniería es una profesión en la que los conocimientos científicos y empíricos se aplican para la conversión óptima de los materiales y fuerzas de la naturaleza en usos prácticos para la humanidad, así como, la invención, perfeccionamiento y utilización de la técnica industrial, y a la resolución de problemas técnicos-sociales. Las derivadas e integrales son de suma importancia en la ingeniería y en nuestra etapa como estudiantes Universitarios. En el campo de la ingeniería se abarca algunos de los aspectos más importantes de las derivadas y sus aplicaciones más comunes en todas las ingenierías en general, es un tema de fundamental importancia en todas las ingenierías, por lo que se tiene que dominar para poderlo aplicar en nuestros problemas del día a día que se presenten en nuestra carrera. El cálculo integral, es una rama de las matemáticas que se encarga del estudio de las integrales y las anti derivadas, se emplea más para calcular áreas y volúmenes. Ahora, existe otra cuestión fundamental, que es el hecho de que sirve para calcular velocidades; no solo de un cuerpo, sino que velocidades de crecimiento, decrecimiento, enfriamiento, separación, divergentes de fluidos, etc. Esto es algo fundamental para el estudio
Gráfica No. 1 Fuente: [ CITATION GerNN \l 12298 ]. Cuando hablamos de derivadas nos referimos a variación y muchos de sus subtemas de aplicación de las derivadas nos hablan respecto a la variación, así como razón de cambio. La primera persona en formular explícitamente las ideas de los límites y derivadas fue Isaac Newton, en la década de 1660. Pero Newton reconoció: “Si he visto más lejos que otros hombres, es porque he estado parado sobre hombros de gigantes”, dos de estos gigantes fueron Pierre Fermat (1601-1665) y el maestro de Newton en Cambridge, Isaac Barrow (1630-1677).[ CITATION Jam12 \l 12298 ] 4.2.1.1. Noción de la derivada de una función en un punto. Sea una función y = f(x) , a partir de ella se puede definir otra función, y' = f '(x) , llamada "derivada de f(x) ", que va a jugar un papel fundamental en todo el Cálculo Infinitesimal, tal como vamos a ir viendo en éste y en posteriores temas. Pero comencemos por la definición de derivada en un cierto punto, digamos x = xo, de la función y = f(x) es:
Suponiendo que este límite exista (en cuyo caso se dice que f es derivable en xo). A esta cantidad h se la llama "incremento de x ", en muchas ocasiones se la suele representar como x (recuerde por ejemplo en Física el concepto de "incremento de temperatura", etc.), y puede ser tanto positiva ("incremento positivo") como negativa ("decremento"). Hemos dado la definición de la derivada en un punto, es decir, f'(xo) , lo cual representa un valor numérico. 4.2.1.2. Función derivada de una función. En general, las funciones elementales que tratamos en Cálculo poseen derivada en todos sus puntos (salvo quizás en algunos puntos específicos de los que luego hablaremos), por eso dada una función y = f(x) , diremos que su derivada es la función y ' = f '(x). Es decir, la función derivada de f(x) puede ser calculada mediante el límite: 4.2.1.3. Significado geométrico de la derivada en un punto. Supongamos una función y = f(x), y consideremos un cierto punto x = xo. A partir de ese punto xo, incrementamos la ordenada una pequeña cantidad h , llamada "incremento de xo" (también representado xo), y la función pasa de f (xo) a f (xo + h ), entonces la función ha sufrido un incremento y en ese punto, equivalente a:
Observando el punto xo de la gráfica adjunta, comprobamos que ahí no puede trazarse una única recta tangente para la curva, lo cual es un indicativo de la no existencia de derivada en este punto. 4.2.1.4. Derivadas de las funciones elementales. De la misma forma que en el apartado 3.2 hemos obtenido la función derivada de y = sin x , aplicando directamente la definición, así también podríamos obtener la derivada de cualquier otra función. Pero lo que se hace es calcular esta derivada para cada función elemental y apuntarla en una tabla. 4.2.1.6. Derivadas de funciones compuestas. En general nosotros nos encontraremos con funciones más complicadas que y = cos x , sin embargo cualquier función compleja que aparezca en nuestros cálculos estará compuesta de funciones elementales. El alumno podría repasar la noción de función compuesta antes de continuar con esta cuestión Sea una función compuesta: y = f o g ( x ), puede demostrarse que la derivada de esta función en un punto xo es:
y '( xo) = f ' [ g (xo)]. g' (xo)
4.2.1.7. Derivadas de orden superior. A esta derivada se la llama derivada segunda de f ( x ), y se expresa por f "( x ). Por ejemplo, para la función y = x ³, tenemos que su derivada primera es: y ' = 3 x ² y su derivada segunda es: y " = 6 x También se habla de derivadas terceras (la derivada de la derivada segunda ), derivadas cuartas (la derivada de la derivada tercera ), etc. En estos casos se expresan mediante números romanos como superíndices de la función: Integrales Según Ron Larson la integral tiene una amplia variedad de aplicaciones. Para cada una de las aplicaciones presentadas se puede comenzar con una formula conocida, tal como el área de una región rectangular, el volumen de un disco circular o el trabajo realizado por una fuerza constante.[ CITATION Ron11 \l 12298 ] La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación. Es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones vectoriales de una variable, y el intervalo de integración [a,b] se sustituye por el de la parametrización de la curva sobre la cual se está integrando, la cual, conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional. Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en la geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las necesidades de la física, y tienen un papel importante en la formulación de muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptos modernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida como integral de Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue. CONCLUSIONES Podemos concluir que los temas tratados en este proyecto son de gran importancia en el campo de la ingeniería que estamos estudiando por ende, adquirir experiencia concreta debe ser de gran interés para nosotros los estudiantes., además es importante destacar el amplio espectro de aplicación de todo lo que concierne a Análisis Matemático puesto que su aplicación simplifica las técnicas de resolución de problemas que surgen tanto en la vida diaria como profesional. Se puede afirmar que hay muchas falencias en la aplicación de las derivadas dentro del campo de la ingeniería como estudiantes del primer semestre de la Universidad Técnica de Manabí.
Vemos como el cálculo nos enseña muchas cosas pero no solo en números sino también en la vida diaria los integrales o derivabas es un tema muy extenso que nos ayuda a resolver problemas que involucran magnitudes cuyos valores medios se suelen definir indirectamente como razones entre valores de otras magnitudes, como la velocidad media, la aceleración media. RECOMENDACIONES A nivel general recomendamos la presente investigación como material de estudios o consulta para los estudiantes de la Universidad Técnica de Manabí u otro centro de estudio con la finalidad de facilitar y ampliar la enseñanza-aprendizaje de los estudiantes sobre derivadas e integrales. Se recomienda aplicar las reglas, teoremas y propiedades de las derivadas e integrales para responder de una manera ágil a los problemas de volúmenes y ante cualquier adversidad en nuestro proceso educativo como futuros ingenieros. Utilizar modelos matemáticos para facilitar y agilizar los procesos de aplicación al momento de realizar ejercicios de derivadas e integrales. Referencias Aguilar, A. (2010). Cálculo Diferencial. México: Pearson. Balavasquer, G. (N/N). EL CONCEPTO DE DERIVADA Y SUS FUNCIONES. N/N: Akal. Barrantes, A. R. (1997). ELEMENTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL. Costa Rica: DIEDIN. Espinoza, E. (2002). Análisis Matemático I. Lima: n/n. Larson, R. (2011). CÁLCULO. México: Mc. Graw. Hill. Lazo, S. (2007). Fundamentos de Matemáticas. MÉXICO: LIMUSA. Linés, E. (N/N). PRINCIPIOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICOS. Barcelona: Reverté, s.a.
4 GENERACIÓN DE LA PROBLEMATIZACIÓN
Mastarreno Álava Jean Carlos:
¿Cómo afectan las derivadas e integrales en el campo de la ingeniería civil? Las derivadas e integrales son muy importantes en todos los campos de ingeniería, y es aún más importante en la Ingeniería Civil, ya que siempre estamos en presencia de movimiento y variación con respecto a algo, desde el instante en que observamos variar el espacio dimensional de un cuarto en construcción, hasta el momento en que deducimos que una viga viene dada por la relación directamente proporcional entre el ancho y el cuadrado del espesor de la misma lo que se obtiene aplicando el cálculo de máximos y mínimos a partir de la primera derivada. Cedeño Alarcón Roddy Javier ¿Para qué sirve el cálculo integral en ingeniería civil? Es una de las mejores herramientas matemáticas aplicables en el soporte y análisis teórico de las diversas áreas de la ingeniería civil como la hidráulica, la ingeniería estructural, la programación lineal, la toma de decisiones, la estadística, la mecánica de suelos, la mecánica de sólidos, etc., ya que engloba (y requiere) al álgebra, geometría analítica, trigonometría, etc. Ureta Alay Alejandro Adalberto ¿Cómo aplicamos las derivadas e integrales en el campo eléctrico? La aplicamos mediante los proceso calculo y diferente mólelos matemáticos. En el campo de la Ingeniería eléctrica, las integrales cumplen una función muy importante, para calcular corrientes, capacitancias, tiempos de carga y descarga de corriente, entre otras. Pero fundamentalmente, el cálculo integral es utilizado en circuitos RLC (resistencia, condensador y bobina) para analizar su comportamiento dentro del circuito. Vera Zambrano Luis Marcos ¿Por qué son importantes las derivadas e integrales en la Ing. civil?
