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materiales de matemáticas Determinantes. Rango de una matriz. Sistemas de ecuaciones 2 º Bachillerato - Matemáticas II
Examen de Matemáticas II – 2º de Bachillerato
- [ 2 puntos] Sabiendo que
x y z
, calcula el valor de los siguientes determinantes:
z z y y x x
x y z
- [2 puntos] Halla el rango de la siguiente matriz en función del parámetro (^) m .
2
A
m m
^
- [ 3 puntos] Estudia el carácter del siguiente sistema usando el teorema de Rouché-Frobenius. Caso de que tenga solución, resuélvelo usando la regla de Cramer. 2 1 2 3 0 2 2 3 2 1
x z x y z x y z y z
^ ^ ^
- Se considera el sistema de ecuaciones:
m x m y z mx y z x my z
^ ^ ^ ^ ^
a) [ 2 puntos] Discútelo para los distintos valores de m. b) [1 punto] Resuélvelo para m 1.
materiales de matemáticas Determinantes. Rango de una matriz. Sistemas de ecuaciones 2 º Bachillerato - Matemáticas II
Soluciones
z z x x x x x x y y y y y y y y x x z z z z z z
(^3 1 2 1 2 3 ) (^0 1 2 6 1 2 2 0 1) 6 0 2 6 12 (^7 1 2 1 2 7 ) 0 6 0 2
x (^) x x y (^) y y z (^) z z
(^)
2 2 2 3 1 3 2
A f f m m f f m m f f m m
^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^
Está claro que si m 1 , la última fila se anula, con lo que r A 2. En caso contrario, si m 1 , se tiene que r (^) A 3
- La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada del sistema
x z x y z x y z y z
^ ^ ^
son, respectivamente:
A
^
^
y
A b
^
^
El rango de la matriz A es tres pues contiene un menor de orden tres distinto de cero:
El rango de la matriz A b | también es tres pues el único menor de orden cuatro es igual a cero:
1 2 2 3
f f f f
Por tanto r A (^) r A b | (^) 3 n y el sistema es compatible determinado (solución única). Para resolverlo se elimina la última ecuación y, usando la regla de Cramer tenemos: 1 0 1 0 2 3 (^2 1 2 ) 5
x
^ ^ ,
y
^ ,
z
^
