rectas y planos en 3D, Apuntes de Matemáticas

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RECTAS Y PLANOS

EN EL ESPACIO

MATEMÁTICAS II 2º Bachillerato

Alfonso González

IES Fernando de Mena

Dpto. de Matemáticas

IES FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS

Texto bajo licencia Crative Commons: se permite su utilización didáctica así como su reproducción impresa o digital siempre y cuando se respete la mención de su autoría, y sea sin ánimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso

Reemplazando

AX de (1) en (2) obtenemos la ecuación vectorial de la recta:

→ → →

x = a+ λur (donde λ ∈ ℜ) EC. VECTORIAL (3)

En la práctica, la ecuación vectorial no es útil en sí misma, pero sí si la descomponemos en sus tres coordenadas, obteniendo así las ecuaciones paramétricas :

= + λ

= +λ

= +λ

z c w

y b v

x a u EC. PARAMÉTRICAS (4)

Observaciones: 1ª) Dando valores a λ ∈ ℜ se obtienen los infinitos puntos (x,y,z) de la recta.

2ª) Y viceversa, a un mismo punto (x,y,z) le tiene que corresponder el mismo λλλλ para las tres ecuaciones. 3ª) Desventaja: La forma paramétrica de una recta no es única, es decir, una misma recta tiene infinitas formas de ecuaciones paramétricas^2 , todas ellas válidas.

Si despejamos λ de las tres ecuaciones e igualamos, obtenemos la ecuación continua :

w

z c v

y b u

x − a= − = − EC. CONTINUA (5)

Observaciones: 1ª) Todo punto (x,y,z) que verifique las tres igualdades ∈ r, y viceversa.

2ª) Desventaja: La forma continua de una recta no es única, es decir, una misma recta tiene infinitas formas de ecuación continua, todas ellas válidas. 3ª) Si algún denominador es 0, la recta no se puede poner en continua sino, como veremos en el apartado III, en implícitas.

Ejercicios final tema: 2 a 9 Ejercicios PAEG: 1B sept 2002

Condición para que 3 (o más) puntos estén alineados:

Como puede verse en el dibujo adjunto, es obvio que, para que tres puntos A 1 , A 2 y A 3 estén alineados, es condición necesaria y suficiente que al formar dos vectores cualesquiera con ellos^3 –por ejemplo,

→ A 1 A 2 y

→ A 1 A 3 -, estos sean proporcionales. Si colocamos ambos vectores formando una matriz 2x3, ello querrá decir que su rango será 1:

(^2) Ello es debido a que, obviamente, una recta tiene infinitos posibles vectores directores, y también podemos sustituir infinitos puntos (a,b,c) en las ecuaciones paramétricas.

(^3) También valdría el par → A 1 A 2 y

→ A 2 A 3

A 1

A 1 A 2 A 2

A 3

A 1 A 3

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A 1 , A 2 ,A 3 alineados A 1 A 3 A 1 A 2 rgA 1 A 2 ,A 1 A (^3) = 1 

→ → → → (6)

Ejercicio final tema: 10

II. ECUACIÓN PARAMÉTRICA Y GENERAL DEL PLANO

Determinación principal del plano:

Como puede verse en el dibujo, un plano va a quedar determinado,

por ejemplo, por un punto cualquiera sobre él (A ∈ π) y dos vectores no

nulos y no proporcionales paralelos a él (

→ → u y v), que llamaremos vectores direccionales del plano. Esta terna constituye la determinación principal del plano. En la práctica, escribiremos:

π =A,→u,→ v

Al igual que en el caso de la recta, obviamente existen infinitas formas de determinar un plano: la más habitual es considerar el plano que pasa por tres puntos no alineados, o un plano paralelo a otro y que pase por un punto exterior a éste, o perpendicular a una recta y que pase por un punto dado, etc.

Ejercicio final tema: 11

Ecuación del plano:

Considerar el plano π de la figura adjunta. Supongamos que

nos dan su determinación principal, es decir, {A ,u,v}

→→ .

Supongamos un punto genérico X ∈ π, es decir, un punto

cualquiera de π, que puede variar. Es evidente que si X está en el

plano, entonces el vector

AX será combinación lineal de

→ u y

→ v (por ejemplo, en el dibujo se ve que

AX es aproximadamente → → 3 u + 2 v), es decir: → → ∈ π⇒ =λ + μ

→ X AX u v (7)

donde λ y μ ∈ ℜ son parámetros. Dando valores a ambos parámetros se irían obteniendo los infinitos puntos

X que irían trazando el plano^4.

(^4) Esto también puede verse de forma interactiva en el siguiente enlace: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Puntos_rectas_planos_d3/representacion_de_planos.htm

A

π → u

→ v

A(a,b,c)

π

→ u

→ v → λ u

→ μ v (^) X(x,y,z)

→ AX

→ a (^) → x

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3ª) Veremos en el próximo subapartado que los coeficientes (A,B,C) representan las

componentes de un vector ⊥ π, al que designaremos como

→ n (^) π, llamado vector normal

del plano π.

Ejercicios final tema: 12 a 21 Ejercicios PAEG: 2A jun 99; 4B jun 2004 ↔ 4A sept 97; 4A jun 2012 (+área triángulo+volumen tetraedro+optimización)

Vector normal del plano (

→ n (^) π) :

Como puede verse en el dibujo adjunto, otra determinación muy

habitual de un plano es dar un punto cualquiera sobre él (A ∈ π) y un

vector

→ n (^) πperpendicular al plano:

π =

→ A, n π Determinación normal del plano

A continuación, vamos a probar algo que ya hemos adelantado en el subapartado anterior: «Los coeficientes a, b y c de la ecuación general o implícita del plano, ax+by+cz+d=0, son las componentes de un vector ⊥⊥⊥⊥ a dicho plano».

Dem:

Supongamos que nos dan la determinación normal del plano, es decir, nos dan:

→ π A(x ,y ,z )

n (a,b,c) 0 0 0

como puede verse en el dibujo. Nótese que el punto A(x 0 ,y0,z 0 ) es fijo, y supongamos un punto genérico

X(x,y,z) del plano, es decir, un punto que puede variar a lo largo del plano. Si consideramos el vector que une

ambos puntos, es decir, AX =(x−x 0 ,y−y 0 ,z−z 0 )

, es evidente que dicho vector será ⊥ a

→ n (^) π, con lo cual

su producto escalar será nulo:

Efectuamos el producto escalar, y, para simplificar, renombramos la cantidad constante ax 0 -by 0 -cz 0 como d:

es decir, obtenemos la ecuación general o implícita del plano. (C.Q.D)

A

→ n π

π

n =(a,b,c )

→ π

X(x,y,z) →

π

( x− x 0 ,y−y 0 ,z−z 0 )·(a,b,c)=ax+by+cz−ax 0 −by 0 −cz 0 = 0 ⇒ ax+by+cz+d= 0

AX ⊥ n ⇒ AXn = 0 ⇒(x−x 0 ,y−y 0 ,z−z 0 )·(a,b,c)= 0

→ → → → π π

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Consecuencia: Familia o Haz de planos paralelos «La expresión ax+by+cz+K=0 representa un haz de infinitos planos, todos ellos paralelos, los cuales se obtienen dando valores a K»

Ejercicios final tema: 22 a 27 Ejercicios PAEG: 3B jun 2002; 4A sept 97; 3B jun 2002; 4B jun 2010

Condición para que 4 puntos (o más) sean coplanarios:

Supongamos cuatro puntos A 1 , A 2 , A 3 y A 4 no alineados^5. Si además están sobre el mismo plano, es obvio que al formar tres vectores cualesquiera con ellos –por ejemplo,

→ A 1 A 2 ,

→ A 1 A 3 y

→ A 1 A 4 (ver dibujo)^6 -, estos serán combinación lineal. Si colocamos los tres vectores formando una matriz 3x3, ello querrá decir que su rango será^7 exactamente 2:

A 1 , A 2 ,A 3 yA 4 coplanarios A 1 A 2 ,A 1 A 3 yA 1 A 4 soncomb.lin. rgA 1 A 2 ,A 1 A 3 ,A 1 A (^4) = 2 

 → → → ⇔

→ → → ⇔ (13)

o lo que es igual, que su determinante será cero.

Ejercicios final tema: 28 y 29

III. ECUACIONES IMPLÍCITAS DE LA RECTA (RECTA ∩∩∩∩ DE 2 PLANOS)

Si dos planos π y π ’ son no paralelos, es decir,

secantes, es evidente que van a definir una recta r , lo cual se conoce como ecuación o forma implícita de la recta r :

a'x b'y c'z d' 0

ax by cz d 0 r : EC. IMPLÍCITA de la recta (14)

De nuevo, la desventaja de esta forma es que no es única: hay infinitas parejas de planos que definen la misma recta.

(^5) El caso en el que tres o más puntos están alineados ya se vio en el apdo. I. (^6) Naturalmente, también valdrían otras ternas, como por ejemplo → A 2 A 1 ,^

→ A 2 A 3 y^

→ A 2 A 4 (^7) Nótese que no puede ser rango 1, porque ello supondría que están alineados.

ax+by+cz+k=

ax+by+cz+k ’ =

ax+by+cz+k’ ’ =

A 1

A 2

A 3 A 4

r

π: ax+by+cz+d=

π ’ : a’x+b’y+c’z+d’=

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1 er^ método: Utilizando la forma implícita de la recta:

Se trata de ir girando los planos auxiliares que contienen a ambas rectas de forma que sigan conteniendo a las rectas, pero además ambos pasen por P (es evidente que esto no siempre se podrá hacer, es decir, este problema no siempre tiene solución…):

Entonces, la recta pedida, t , será la intersección de los dos planos, es decir, vendrá dada en forma

implícita por:

Observaciones: 1ª) Como ya hemos dicho, este problema no siempre va a tener solución.

2ª) Hemos supuesto que las dos rectas se cruzan, pero lo dicho sería igualmente válido para el caso particular en que ambas rectas se corten.

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que se apoya en las rectas 1

z 1

y 2 3

r :x= + = y 1

z 2

y 6

s :x^1 = −

• (^) = , y

pasa por P(1,0,2)

P

r

s

t πr

πs

πr: Plano que contiene a r y pasa por P

πs: Plano que contiene a s y pasa por P

t:

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2º método: Utilizando la forma paramétrica y continua de la recta:

1º Pasamos r a paramétricas, obteniendo así un punto genérico de r, que, por tanto, dependerá de un parámetro, p. ej. λ 2º Pasamos s a paramétricas, obteniendo así un punto genérico de s, que, por tanto, dependerá de un parámetro, p. ej. μ 3º Hallamos la recta que pasa por los dos puntos anteriores, en continua. Obtendremos así una expresión que depende de λ y μ. 4º Sustituimos P en la expresión anterior. 5º Descomponemos la expresión anterior en dos ecuaciones con dos incógnitas, es decir, un sistema, que resolvemos, para hallar λ y μ 6º Sustituimos esos valores de λ y μ en la forma continua del 3er^ paso, operamos y simplificamos. De esta forma, la recta pedida la daremos en forma continua.

Ejemplo: Volver a hacer el ejemplo anterior por este método. Comprobar que se obtiene la misma recta.

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IV.2) Punto simétrico respecto a una recta.

Proyección ortogonal de un punto sobre una recta

Nos dan la recta r y el punto P, y tenemos que hallar el punto simétrico P’ respecto de dicha recta. Procederemos así:

1º) Hallamos la ecuación general del plano π que es ┴ a r y

que contiene a P. 2º) Hallamos el punto M, proyección ortogonal de P sobre r ,

resolviendo para ello el sistema formado por r y π.

3º) Utilizamos la fórmula del punto medio para hallar P’:

P' 2M P

M =P^ +P'⇒ = −

Ejercicios final tema: 55 y 56

IV.3) Proyección ortogonal de una recta sobre un plano

Nos dan la recta r y el plano π, y tenemos que hallar r’, proyección de r sobre π.

Para ello, calculamos en primer lugar el plano Ω que contiene a

r y es ┴ a π. La recta r’ será entonces la intersección de dicho

plano y π, expresada por tanto en forma implícita:

r’= Ω ∩ π

Ejercicios final tema: 57 y 58

Ejercicios PAEG: proyección ⊥⊥⊥⊥ de P sobre ππππ : 4A sept 2012, 4B sept 98; 1B jun 2002; 2B sept 2000;

4B jun 2006; 4B sept 2013 proyección ⊥⊥⊥⊥ de P sobre r: 3B jun 2000; 3B jun 2001; 4B sept 2006

proyección ⊥⊥⊥⊥ de r sobre ππππ : 1A jun 99

π^ P^ M^ P’

r

r

r’

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58 EJERCICIOS de RECTAS y PLANOS 2º BACH.

NOTA: En los ejercicios de Geometría se recomienda comenzar, antes de nada, por:

Imaginarse la situación; podemos ayudarnos, para ello, de bolígrafos (para representar rectas), la mesa o una hoja de papel (planos), una goma de borrar (puntos), etc.
O bien, procurar representar gráficamente , de una forma aproximada, la situación. Esto último es lo más recomendable (aunque en la PAEG no se exija…).

A continuación, tendremos que preguntarnos, ¿qué nos piden?:
Si nos piden una recta: Tendremos que obtener , a partir de los datos, un punto de ella y un posible vector director.
Si nos piden un plano: Tendremos que decidir, en función de los datos, cuál de las dos determinaciones más usuales nos interesa más:

• Un punto del plano y un vector normal (^) π

→ n

• Un punto del plano y dos vectores direccionales.

Por último, se recomienda vivamente comprobar que las ecuaciones obtenidas satisfacen los datos y las condiciones del enunciado.

Ecuación de la recta:

1. Razonar si las siguientes situaciones pueden ser, o no, una posible determinación de una recta. Puede ser útil un dibujo: a) Recta r // a otra r' y que pasa por un punto P exterior a ésta última. b) Recta r que corta ⊥ a otra r' y pasa por un punto P exterior a esta última. c) Recta r ⊥ a otra r' y que pasa por un punto P exterior a ésta última (Tener en cuenta que las rectas ⊥ se pueden cortar o cruzar). d) Recta r ⊥ a un plano π y que pasa por un punto P. e) Recta r // a un plano π y que pasa por un punto P exterior a dicho plano.

f) Recta r ∩ de dos planos π y π' no paralelos.

(Sol: a) SÍ; b) SÍ; c) NO; d) SÍ; e) NO; f) Sí)

2. Dado el punto P(-1,1,2) y el vector , se pide: a) Hallar la recta determinada por ambos, en

paramétricas y continua. b) Obtener tres puntos cualesquiera de dicha recta. c) Estudiar si los puntos (-3,-5,- 2) y (2,10,6) pertenecen a la recta.

3. Dados los puntos A(1,-2,4) y B(3,2,10) se pide: a) Hallar la recta determinada por ambos, en paramétricas y continua. b) Obtener tres puntos cualesquiera de dicha recta. c) Estudiar si los puntos (1,2,3) y (2,1,0) pertenecen a la recta. (Soluc: c) NO; NO) 4. Con los datos del ejercicio anterior, hallar otras dos posibles formas paramétricas alternativas, y volver a hacer los apartados b y c.

u (1,3,2)

→

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14. Dados los puntos A(5,-1,-1), B(1,0,1) y C(-2,-3,0) se pide:

a) Hallar la ecuación paramétrica y general del plano que determinan. (Soluc: x - 2y+3z - 4=0) b) Estudiar si los puntos (3,1,1) y (1,2,3) pertenecen a dicho plano. (Soluc: SÍ; NO) c) Hallar otros dos puntos cualesquiera de este plano. d) Comprobar que el vector formado por los 3 coeficientes de la ecuación general es ⊥ al plano.

15. Hallar una ecuaciones paramétricas para el plano x-2y+3z-1=0 (Soluc: x=1+2 λ- 3 μ , y= λ , z= μ ) 16. Hallar la ecuación de los planos cartesianos OXY, OYZ y OXZ en paramétricas e implícita. 17. ( S ) Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta x=2t, y=3+t, z=1-t, y por el punto A(2,-1,2). (Soluc: 3x+4y+10z - 22=0) 18. a) Hallar la ecuación paramétrica y continua de la recta s que pasa por A(2,3, - 1) y es paralela a la recta

x y z

= λ = λ  = λ 

b) Hallar la ecuación general del plano que contiene a ambas rectas. Hacer un dibujo de la situación. (Soluc: 4x - 3y - z=0)

19. ( S ) Hallar la ecuación del plano paralelo a las rectas r: x=2+λ s: x=- 2 - 3 λ y=3 y=1+λ z=1+2λ z= - λ

y que contiene al punto P(2,3,4). (Soluc: - 2x - 5y+z+15=0)

20. ( S ) Dadas las rectas x + 2 y 1 z + 1 x 1 y 3 z r : = = s : = = 3 2 1 2 2 3

determinar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s. (Soluc: 4x - 7y - 2z+13=0)

21. Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a la recta

x 2 y 3 z 1

= + λ  = − λ   = 

(Soluc: x+y - 5z=0)

Vector normal π

→

n

22. Hallar la ecuación del plano perpendicular al vector n^ (2,^ 3,1)

→ π =^ −^ y que pasa por el punto P(1,1,-3) (Soluc: 2x - 3y+z+4=0)

23. Hallar la ecuación del plano paralelo a x+2y+3z+4=0 y que pasa por el punto (3,0,-1) (Soluc: x+2y+3z=0) 24. Comprobar que los vectores ur^ y us

→ → del ejercicio 15 son ⊥ al vector normal n

→ π del plano.

25. ( S ) Dada la recta

r : x^ = y + 1^ = z 2 3 − 2 y los puntos A(3,1,2) y B(1,5,6), hallar la ecuación del plano que contiene los puntos A y B y es perpendicular a la recta r. (Soluc: 2x+3y - 2z - 5=0)

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26. ( S ) Hallar el plano que pasa por los puntos A(0,2,0) y B(1,0,1) y es perpendicular al plano x-2y- z=7.

(Soluc: 2x+y - 2=0)

27. ( S ) Dados el plano π: 2x-3y+z=0 y la recta r: x=1+λ y=2-λ z=- 1+2λ hallar la ecuación del plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano π. (Soluc: 5x+3y - z - 12=0) 28. Hallar el valor de a para que los puntos A(1,2,-1), B(2,1,a), C(0,4,0) y D(2,0,-2) sean coplanarios. (Sol: ∀ a ∈ IR) 29. ( S ) ¿Qué relación se ha de verificar entre los parámetros a , b y c para que los puntos A(1,0,1), B(1,1,0), C(0,1,1) y D(a,b,c) sean coplanarios? (Soluc: a+b+c=2)

Recta en implícitas:

30. a) Pasar la siguiente recta, expresada en implícitas, a paramétricas, resolviendo el sistema:







• • − =
• • − = x y 3 z 4 0

2 x y z 3 0

b) Ídem con 3

z 2

y 1 1

x (^2) = −

− (^) = + c) Pasar 

 



= + λ

= − λ

= −λ

z 3

y 2

x 1 a implícitas.

31. Dada se pide: a) Hallar un posible vector director.

b) Hallar un punto cualquiera de r c) Con la información anterior, indicar unas ecuaciones paramétricas para dicha recta.

32. ( S ) Dadas las rectas r: x- y+2z+1=0 s: 2x+y-3z-4= 3x+y- z-1=0 x+y+z=

hallar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s. (Soluc: 27x+17y - 23z - 17=0)

33. ( S ) Se consideran el plano π: 2x- y+z+1=0, la recta s: x-3y=0, z=1 y el punto A(4,0,-1). Hallar el plano que pasa por A, es paralelo a la recta s y perpendicular al plano π. (Soluc: x - 3y - 5z - 9=0) 34. ( S ) Determinar la ecuación de la recta r que pasa por el punto A(1,0,2) y es perpendicular al plano determinado por el origen de coordenadas y la recta x=2z- 1 (Soluc: x=1 - 2 λ, y=λ, z=2+3λ) y=z- 35. Hallar unas ecuaciones implícitas de la recta que pasa por P(2,-1,3) y es ⊥ a la recta

x 1 2 y 3 z 0

= − + λ = − λ   =  

Recta que se apoya en otras dos rectas y un punto:

36. ( S ) Determinar la recta que pasa por el punto A(1,-1,0) y corta a las rectas





 − + =

• − = x 2 y 3 z 0

3 x 2 y z 1

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46. ( S ) Hallar los valores de a para que los planos - x+y+az=0 y ax+2y+2z=0 corten al plano x- y+z=1 en dos rectas perpendiculares. (Soluc: a=6) 47. ( S ) Calcular un punto P de la recta r: x=0, z=0 de forma que el plano que contiene a P y a la recta s: x+y=1, 2x- z=-1 sea paralelo a la recta t: y+z=1, - x+y+z=0. (Soluc: P(0,2,0))

Áreas y volúmenes:

48. ( S ) Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano 2x+y+3z-6=0 con los ejes de coordenadas. (Soluc: 3 √ 14 u^2 ) 49. ( S ) Un triángulo tiene vértices (0,0,0), (1,1,1) y el tercer vértice situado en la recta x=2y, z=1. Calcular las

coordenadas del tercer vértice, sabiendo que el área del triángulo es √2/2. (Soluc: Hay 2 soluc: (0,0,1) y (2,1,1))

50. ( S ) Hallar un plano que pasando por A(0,2,0) y B(0,0,2) corte al eje OX en un punto C tal que el área del triángulo ABC valga 4. (Advertencia: Hay 2 soluciones) (Soluc: x/ √ 6+y/2+z/2=1 y x/- √ 6+y/2+z/2=1) 51. ( S ) Determinar un punto de la recta x/2=y=z/2 que forme con los puntos (0,0,0), (1,0,0) y (0,1,-1) un tetraedro

de volumen 1. (Soluc: Hay 2 soluc: (4,2,4) y ( - 4, - 2, - 4))

52. ( S ) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P(1,2,3), siendo equilátero el triángulo formado por los puntos en que corta a los ejes cartesianos. Calcular el volumen determinado por dicho plano y los ejes coordenados. (Soluc: x+y+z=6; 36 u^3 )

Problemas de proyecciones:

53. ( S ) Dado el plano de ecuación x+2y+3z=1 y el punto A(1,1,1), hallar las coordenadas del pie de la

perpendicular trazada desde A a ese plano (la proyección ortogonal de A sobre él). (Soluc: A'(9/14,4/14, - 1/14))

54. ( S ) Calcular el área del triángulo de vértices A', B', C', proyección ortogonal del triángulo de vértices A(1,1,1),

B(1,1,2), C(1,2,1), sobre el plano x+y+z=1. (Soluc: A'(1/3,1/3,1/3), B'(0,0,1), C'(0,1,0); área= √ 3/6 u^2 )

55. ( S ) Hallar la proyección del punto P(2,-1,3) sobre la recta r: x=3t y calcular la distancia del punto P a la recta r. y=5t- 7 (Soluc: P'(3,-2,4); distancia= √ 3 u.) z=2t+ 56. ( S ) Hallar el punto simétrico de (2,0,3) respecto de la recta r : x^1 = y^2 =z^1 1 1 2

− − − (Soluc: (1,5,1))

57. ( S ) Dados los puntos A(3,7,-2) y B(- 1,9,1), calcular la longitud del segmento A'B', proyección ortogonal del

segmento AB sobre el plano x+3y- z-4=0. (Soluc: A'(1,1,0), B'( - 32/11,36/11,32/11); longitud= √ 318/11 u)

58. ( S ) Hallar las ecuaciones de la recta r', proyección ortogonal de r: x=1+λ sobre el plano x- y+2z+4= y=- 2+3λ (Soluc: 3x - y - 2z+1=0, x - y+2z+4=0) z=